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Geometria: área, teorema de Pitágoras (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Estamos no problema 26. Para o quadrilátero mostrado abaixo (lembrando que um quadrilátero tem 4 lados), a medida do ângulo "a" mais a medida do ângulo "c" é igual a qual número? Você deve saber que a soma dos ângulos em um quadrilátero é igual a 360 graus. E deve pensar que deve memorizar isso, mas não precisa. Vou mostrar uma forma de deduzir isso. Os ângulos em um triângulo somam 180. Se imaginar qualquer quadrilátero... (vou desenhar um quadrilátero para você)... e isso será verdade para qualquer polígono. Vamos dizer que isso é um quadrilátero. Você não precisa memorizar que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus, mesmo que isso seja muito útil em alguns casos. Vou mostrar como sempre deduzir e provar isso para qualquer polígono. Deve dividir esse polígono em triângulos e só terá que memorizar uma coisa: se quebrar um polígono em triângulos, esse ângulo, mais esse ângulo, mais aquele ângulo têm que ser igual a 180 graus. E esse ângulo, mais aquele ângulo, mais aquele ângulo tem que ser igual a 180 graus também. Então, os ângulos do quadrilátero são: esse ângulo, esse ângulo, esse ângulo e esse ângulo. Bom, esse aqui é só a soma desses dois, e esse aqui é igual à soma daqueles dois. Então, se esses três somaram 180 graus e esses três somaram 180 graus, esse mais esse, mais esse, mais esse vão somar 360 graus. E pode fazer isso com o polígono de forma aleatória, pode fazer um de 5 lados. Vamos fazer um pentágono! Então, um, dois, três, quatro, cinco lados. Uau, quantos ângulos tem em um pentágono! Vamos dividi-lo em triângulos. Quantos triângulos podemos formar aqui? Vamos ver 1, 2... cada um desses triângulos, os ângulos deles somam 180, então, se sabe o valor disso, disso, disso, mais disso, disso, disso, mais disso, disso e disso; e isso seria 180 vezes 3 que é 540. Esse valor é igual à soma dos ângulos internos do polígono porque esses três ângulos se somam àquele ângulo; e é isso. Aqueles ângulos somados são esse, aqueles ângulos são esse e aqueles ângulos são esses. Então, agora, espero que, se eu te der um polígono de 20 lados, você possa descobrir quantos triângulos posso colocar dentro dele, saber quantos ângulos ele terá e a soma de todos eles. Mas, enfim, de volta ao quadrilátero. Em um quadrilátero, a soma dos ângulos vai ser igual a 360 graus. Se somarmos a medida do ângulo "a" mais a medida do ângulo "c", mais esses dois ângulos... (deixa eu escrever)... mais 95, mais 32 vai ser igual a 360. Só vou escrever... "a + c"... vejamos, "95 + 32" é 127... mais 127 é igual a 360. "a + c = 360 - 127"; e quanto é isso? Isso é 233. Certo, a alternativa é a "D". E esse foi. Questão 27. Se "ABCD" é um paralelogramo, ou seja, os lados são paralelos. Qual é o comprimento do segmento "BD"? O exercício pede a medida daqui até aqui. E isso é só outra coisa interessante. Não vou provar agora, mas isso é uma boa coisa para saber porque aparece em competições de matemática de vez em quando: se tem um paralelogramo, os lados opostos são paralelos. Então, suas diagonais são, na verdade, mediatrizes umas das outras. O que significa que uma diagonal divide a outra diagonal em duas exatamente no ponto médio dela. Ou seja, divide em medidas iguais. Então essa diagonal divide essa diagonal em duas. Se isso é 6, isso também será igual a 6. E essa diagonal divide "BD" em duas. Então, se isso é 5, então isso também é 5. Então "b" é 5, "ED" é 5, "BD" tem que ser igual a 10. Opção A. Deixa eu copiar e colar o 28 aqui. Um cone circular reto tem raio de 5 cm e altura de 8 cm. Tudo bem, podemos visualizar o desenho. Qual é a área lateral do cone? Bom, foi dada uma definição: a área lateral do cone é igual a "π" vezes "r" vezes "l", onde "l" é a geratriz do cone. A gente sabe quanto é "r" (foi dado o valor de "r"), "r" é 5. Só temos que achar qual é a geratriz, esse "l". Bom, isso se parece com um problema de teorema de Pitágoras. Esse é um ângulo reto, eu sei que isso está estranho porque está em três dimensões, mas isso forma um triângulo retângulo. Só estamos pegando uma fatia do cone que inclui o vértice (que é a parte pontuda). Fizemos que 5² mais 8² é igual a "l²" ("5² + 8² = l²"). Esse é um ângulo reto, "l" é a hipotenusa. Temos "25 + 64 = l²". Então, isso é "89 = l²". "l" é igual à raiz quadrada de 89 (a menos que eu tenha errado em algum lugar, raiz quadrada de 89). Bom, vejo a raiz quadrada de 89 ali, então, provavelmente, estamos no caminho certo. "l" é igual à raiz quadrada de 89; e eles nos deram a fórmula para a área lateral de um cone: "(π ‧ r ‧ l)". Então, "π" vezes "r" vezes "l" é igual a "π" vezes "r" (o raio da base que é 5) vezes a geratriz (que é a raiz quadrada de 89). Isso é igual a "5π" vezes a raiz quadrada de 89, que é a opção D. Sempre que surgir um número como 89, você começa a se preocupar, mas é bom que essa foi uma das opções. Problema 29. Está legal, vou copiar e colar... limpar essa imagem... aí. É cedo, num sábado de manhã, minha esposa ainda está dormindo, e estamos esperando nosso primeiro filho (em um mês). Eu acho que dormir faz bem para ela; me dá mais tempo para gravar vídeos de matemática. Beleza... (não sei porque eu arrumo essas desculpas... está legal)... A figura "ABCD" é como uma pipa parece com uma pipa), qual é a área da figura "ABCD" em cm²? Bom, tudo que estão dando está em centímetro. Então, se mantivermos as unidades em centímetros, não teremos problemas. Então, qual é a área disso? Só vamos achar a área de cada um desses triângulos. E qual é a área de um triângulo? A área de um triângulo é igual à base vezes a altura dividido por 2. E qual é a área desse triângulo? Bom, na verdade, isso é simétrico. Se sabemos a área desse triângulo, sabemos a área desse triângulo, porque isso é 6 e 8 e isso é 6 e 8. Então, a área desse é 6 vezes 8, que é 48. 48 vezes 1/2 é 24. Esse aqui também vai ser 24 pela mesma razão; então, quando você os soma, tem 48. Esses dois combinados vão ser 48. Agora esse triângulo, 8 vezes 15 vezes 1/2, isso é 4 vezes 15, que é igual a 60. E isso vai ter a mesma área pela mesma razão, 60. Nós nem temos que multiplicar por 1/2 porque vamos multiplicar por 2, eventualmente, ou somar um ao outro de novo. Então, de qualquer forma, temos "60 + 60 + 24 + 24", isso é 120... mais 48... então, é 168. Opção C. Próximo problema: problema 31. Gosto desses problemas agora que estamos fora de toda parte que estavam entrando em congruências e semelhanças. Eu achei que eles cometeram alguns erros em algumas, mas, enfim... Se um barril cilíndrico mede 22 centímetros de diâmetro, quantos centímetros ele vai rolar em 8 revoluções por uma superfície lisa? Podemos imaginar uma roda, um pneu de algum tipo. Vou desenhar um círculo. Então, se olharmos para um barril cilíndrico (porque acho que é isso que nos importa), esse é o lado. É dito que esse barril cilíndrico mede 22 cm de diâmetro; essa distância aqui, essa distância aqui é 22. E o que é dito é que essa coisa vai rolar 8 revoluções em uma superfície lisa (vai rolar 8 vezes), vai rolar e se mover para a direita. Quantos centímetros vai rolar? Então, se pensar nisso, ele vai cobrir a própria circunferência 8 vezes. Se esse ponto começa tocando o chão, depois que se mover uma circunferência de distância, esse ponto vai tocar o chão de novo. Um jeito fácil de pensar nisso é: ao se mover para a direita, conforme rola, quando se move 1 metro... então, 1 metro à frente na circunferência vai tocar o chão, ou um centímetro ou dois centímetros, tanto faz. Então, 2 cm pela sua circunferência vai estar tocando o chão. Então, vão ser 8 circunferências em 8 revoluções. Qual é o comprimento da circunferência disso? Circunferência é igual a π vezes o diâmetro. O diâmetro já foi dado e é 22. O comprimento da circunferência é igual a 22π. Vai se mover 8 circunferências em 8 revoluções, então 22π vezes 8 é 176π, e essa é a opção C. Vejo vocês no próximo vídeo!