If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:10:06

Geometria: área, cordas e tangentes de círculo (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Estamos no Problema 71. Aqui diz: Qual é o valor de "x" no triângulo abaixo? Ok, podemos só usar o Teorema de Pitágoras aqui. Se esses dois lados são iguais, então esses dois ângulos de base serão os mesmos, e se esses ângulos de base são iguais, então isso é um... bom, se isso é 90, então há 90 graus para dividirmos entre esses dois ângulos. Eles têm que ser 45, porque são iguais. Isso é 45, 45 e 90. E, se ainda não fez, eventualmente poderá memorizar como os lados de um triângulo 45, 45, 90 se relacionam com a hipotenusa. Mas não tem de memorizar, pode provar aqui, às vezes, é mais rápido em testes padronizados, e coisas assim. O que Pitágoras nos diz? Nos diz que este lado ao quadrado, vamos dizer x², mais esse lado ao quadrado, mais x², é igual a hipotenusa ao quadrado, é igual a 10², que é 100. Temos 2x² = 100. x² = 50, se a gente dividir os dois lados por 2. Então, qual o resultado disso? Podemos dizer "x" é igual à raiz quadrada de 50. Podemos fazer alguma coisa aqui para simplificar? Vamos pensar. Ah, claro! 50 é 25 vezes 2, que é igual à raiz quadrada de 25 vezes a raiz quadrada de 2, que é igual a 5 vezes a raiz quadrada de 2. Opção B. Problema 72. Qual é o valor de X, em centímetro? Tá legal. Alguns problemas atrás, a gente viu um triângulo com ângulos de 30, 60 e 90. Esse é outro, 30 graus, 90 graus, eles têm que somar 180, esse é igual a 60 graus. Fiz aquele desenho grande e complicado, que revirei e tudo mais, e acho que é uma boa hora para memorizar esses lados de um triângulo 30, 60, 90, porque isso é uma coisa que tem que saber na vida. É surpreendentemente útil, especialmente quando começa a fazer testes padronizados, ou trigonometria. Vou te dar a regra geral, deixa eu desenhar outro aqui. Digamos que esse é outro triângulo de 30, 60 e 90. Aqui, claramente é a hipotenusa, aqui em cima. Isso, eu chamo isso de lado de 30 graus, oposto ao ângulo de 30 graus, ou é o lado mais curto. A regra geral é: se esse lado aqui é "x", a hipotenusa vai ser 2x. Vimos isso naquele vídeo anterior. Na verdade, pode usar o Teorema de Pitágoras, aqui, para resolver esse último lado, só precisa memorizar que a hipotenusa é 2 vezes o lado mais curto. Nesse caso, qual é o lado mais curto? É oposto ao lado de 30 graus, então, é 7. A hipotenusa seria 2 vezes isso, que é 14. Você pode usar o Teorema de Pitágoras para achar o "x" agora, ou pode só memorizar que o lado médio, eu acho que pode dizer, ou o lado longo, que não é a hipotenusa, ou o lado de 60 graus, o lado oposto ao ângulo de 60 graus, é igual a raiz quadrada de 3 vezes o lado curto. Nesse caso, "x" é a raiz quadrada de 3 vezes 7, "x" é igual a 7 vezes a raiz quadrada de 3. Não confiem somente na minha palavra, você poderia confiar que isso é o dobro disso, provamos isso alguns vídeos atrás. Mas você pode fazer o Teorema de Pitágoras aqui, pode dizer que 7², que é 49, mais x², vai ser igual à hipotenusa ao quadrado, 14 ao quadrado dá 196, certo? Subtraia 49 dos dois lados, tem x² = 196 - 50. Seria 157. Está correto isso? Deixa eu ter certeza, 14 vezes 14. 4 vezes 4 é 16, 56, 140, certo. 196. E se for subtrair 49 disso, isso é um 8, isso é 16, temos um 7, desculpa, 147, ainda bem que eu chequei isso, hein? 147, certo. Então, "x" é igual à raiz quadrada de 147. 147 é 49 vezes 3, é igual a raiz quadrada de 49 vezes 3. Bom, isso é igual a raiz quadrada de 49 vezes a raiz quadrada de 3, que é igual a 7 vezes a raiz de 3, que é o que temos. Mas pode ser mais fácil só memorizar que o lado oposto ao ângulo de 60 graus será a raiz quadrada de 3, vezes o lado curto, e o lado curto vai ser metade da hipotenusa. Enfim, quanto mais prático, mais vai fazer sentido. Beleza, um quadrado está circunscrito a um círculo. Qual é a razão entre o círculo e a área do quadrado? O quadrado está circunscrito ao círculo, vou desenhar o círculo e o quadrado. Bom, se esse é meu círculo, e se quero desenhar um quadrado, vamos ver se eu consigo. Não, não era o que eu queria fazer, queria desenhar um quadrado sólido. E isso é, vejamos se consigo desenhar sem apertar o "Shift". Acho que está perto o bastante. Sabemos que o quadrado está do lado de fora, porque está circunscrito ao círculo. Qual é a razão entre a área do círculo e a área do quadrado? Digamos que isso é o centro do círculo, aqui. Esse é o raio, vamos chamar de "r". Qual vai ser a área do quadrado? Se esse é o raio, esse também é o raio, então, um lado desse quadrado aqui em cima vai ser 2r. Então, isso também vai ser 2r. É um quadrado, os lados são iguais. Eles querem saber a razão entre a área do círculo e a área do quadrado. A área do quadrado é 2r vezes 2r, que é 4r². A área do círculo é π r². Você deve ter aprendido a fórmula da área do círculo. Divida o numerador e o denominador por r². Fica com π/4. π/4, essa é a opção D. Problema 74: No círculo abaixo, AB e CD são cordas com intersecção no ponto E. Beleza. Se AE é igual a 5, vou escolher outra cor, BE é igual a 12. CE é igual a 6. Qual é o valor de DE? Vamos chamar de "x". Agora, vou provar isso aqui, só para a economia de tempo. Mas tem uma propriedade legal de cordas em um círculo: se eu tenho duas cordas se cruzando dentro de um círculo, formam dois segmentos em cada corda, e, quando os multiplica, um vezes o outro, os resultados são sempre iguais. Nesse caso, 5 vezes 12, deixe eu escrever, os dois segmentos da corda AB. Então, 5 vezes 12, isso vai ser igual a esses dois segmentos multiplicados um pelo outro, e vou fazer em outra cor, isso vai ser igual a "x" vezes 6. Então, você tem 60 = 6x. Divida ambos por 6, tem x = 10. E essa é a opção C. Pode ser uma coisa divertida para pensar, depois desse vídeo, o porquê disso acontecer. Talvez você queira brincar com cordas e provar para você mesmo que esse é sempre o caso, pelo menos que faz uma intuição para você, faz sentido. 75: RB é tangente a um círculo no ponto B. "Tangente" significa que só toca o círculo em um único ponto, no caso, no ponto B, e é perpendicular ao raio, nesse ponto. Esse é o raio AB, o centro é em A, e esse é o raio, e a tangente, no ponto B. Então, é perpendicular ao raio nesse ponto. BD é o diâmetro, tudo bem. Bom, A é o centro, então é meio óbvio, e eles querem saber qual é a medida do ângulo CBR. Eles querem saber a que valor esse ângulo é igual. Bom, eu meio que fiz isso sem querer. Sabemos que, quando uma reta é tangente de um círculo em um ponto, ela é perpendicular ao raio nesse ponto. Esse ângulo todo é 90 graus. O ângulo que estamos tentando achar, vamos chamar de "x", é o complemento de 25, certo? x + 25 = 90. Subtraia 25 dos dois lados, x = 65 graus. E essa é a opção B. Tá legal, eu vejo vocês no próximo vídeo. Fui!