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Geometria: construções com compasso (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Estamos na questão 56. Scott está construindo uma reta perpendicular à reta "L" a partir do ponto "P". Muito bem. Qual das opções abaixo deve ser seu primeiro passo? Então, ele quer construir uma reta passando por esse ponto "P", aqui, de maneira que ela seja perpendicular à essa reta "L". Se ele usasse só uma régua, essa reta poderia sair um pouco inclinada, mas ele quer ter certeza que a reta é totalmente perpendicular à reta "L". Bom, nessa primeira opção eu não sei como ele desenhou estes arcos, nem como determinou o lugar desses arcos. E, portanto, essa opção (A) não me parece correta. Na letra (B), parece que ele escolheu dois pontos, esse e esse, aqui. E aí, com a ponta seca do compasso, ele desenhou esses dois arcos. Mas eu não sei bem como esse arcos ajudariam a fazer uma reta perpendicular, pois o que ele quer achar aqui, na verdade, seria um ponto bem embaixo desse ponto "P", de maneira que, quando ele traçasse uma reta, ela fosse totalmente perpendicular. E isso aqui não parece ajudar nem um pouco. Na letra (C), ele escolheu este ponto aqui e fez esse arco, mas eu não vejo como esse arco ajuda muito, também. Ele não me diz muita coisa. Aqui na letra (D) parece mais interessante. Ele apoiou a ponta seca no ponto "P e desenhou esse arco, aqui. E agora, o que ele poderia fazer? Ele poderia marcar esses dois pontos aqui, certo? E agora, se ele colocasse a ponta seca do compasso nesses dois pontos aqui, ele poderia criar novos arcos. E digamos que ele fizesse, por exemplo... Ele poderia fazer isso aqui, mudando um pouquinho o raio, ele faria algo assim. E para cá a mesma coisa, ele poderia fazer assim. Mas este ponto aqui, onde esses dois arcos se cruzam, seria equidistante desse ponto e desse ponto, também. Quando você começa colocando a ponta seca do compasso no ponto "P" e fazendo esse arco, esses dois pontos aqui, por definição, são equidistantes do ponto "P", já que, se eu ligar esses pontos ao ponto "P", assim, isso aqui serão raios dessa circunferência. E aí, se desses novos pontos você fizer, com a ponta seca do compasso sobre eles, fizer novos arcos, digamos, assim e assim, você pode pensar: "Ora, esse ponto aqui também é equidistante tanto desse ponto quanto desse outro ponto". Se eu desenhasse uma reta passando pelo ponto "P" e por esse outro ponto de intersecção desses dois arcos, essa reta seria perpendicular à reta "L" e passaria pelo ponto "P". Então, o que ele fez na letra (D) realmente seria o primeiro passo para fazer essa reta perpendicular. E chegamos à conclusão que a letra (D) é o primeiro passo. Beleza? Vamos agora para o problema 57. Está aí o problema 57. Qual tipo de triângulo pode ser construído usando os passos a seguir? Ok, isso é bem interessante. Vamos lá. Primeiro passo: Coloque a ponta seca do compasso no ponto "A". Então, ele está colocando a ponta seca do compasso nesse ponto "A". E depois, no passo 2, ele diz assim: "Abra o compasso de maneira que o grafite fique sobre o ponto B." Beleza? O grafite vai ficar sobre o ponto "B" e, então, ele vai desenhar esse arco aqui, que é o arco sobre o segmento "AB". Deixe eu colorir para ficar mais fácil de enxergar. Então, o passo 3 já fizemos, que é desenhar um arco sobre "AB". O passo 4: "Sem modificar a abertura, coloque a ponta seca sobre o ponto "B" e desenhe um arco interceptando o primeiro arco no ponto "C"". Então, agora, a ponta seca vai ficar sobre o ponto "B" e o grafite, sobre o ponto "A". Então, não vai mudar a abertura. Vai fazer esse arco sobre o segmento "AB", também. E o último passo: "Desenhe "AC" e "BC"". Esses segmentos aqui. "AC" e "BC". E o que nós desenhamos aqui, então? Pois bem. Quando fizemos esse primeiro arco, que é um semicírculo, esse "AC" é um raio. O raio desse semicírculo, claro, é sempre constante. Daí, nós sabemos que "AB", essa distância do "A" até "B", vai ser a mesma distância do "A" até "C", pois são ambos os raios desse semicírculo que eu construí aqui, em roxo. E de maneira análoga, similar, quando você coloca a ponta seca no ponto "B", faz a abertura até "A" e desenha esse outro semicírculo, em verde, essa distância do "B" até "A", que é um raio desse semicírculo, também vai ser a mesma distância do "B" até "C", que também é um raio. Beleza? Esses dois segmentos são raios desse semicírculo verde aqui. Então, uma vez que esses três lados são iguais, têm a mesma medida, esse triângulo é um triângulo equilátero. Letra (D), triângulo equilátero. Beleza? Vamos para a questão 58. O diagrama mostra o triângulo "ABC". Qual afirmação provaria que o triângulo "ABC" é um triângulo retângulo? Pelo desenho, a gente já sabe que esse ângulo "A" não é um ângulo reto e o ângulo "C" também não é um ângulo reto. Então, provavelmente, o ângulo "B" é o ângulo reto desse triângulo. E isso que eu vou falar você já aprendeu na aula de álgebra, mas se não aprendeu, vai aprender agora. Bem, olhando as opções, eles falam muito sobre inclinação. Então, se eu tenho uma reta aqui, com coeficiente angular "m", que é a inclinação dessa reta, eu te pergunto: "Qual vai ser o coeficiente angular de uma reta perpendicular a essa reta que acabamos de desenhar?" Essa reta, aqui. Essa reta seria perpendicular. Portanto, aqui faria um ângulo de 90 graus e a sua inclinação seria o inverso negativo. Então, 1 sobre "m" negativo. Portanto, a inversa negativa desse primeiro coeficiente angular, aqui. Então, se a inclinação de "A" até "B" for o inverso negativo da inclinação de "B" até "C", isso daria certo e eu teria esse ângulo aqui, que seria de 90 graus. E esses dois segmentos seriam perfeitamente perpendiculares. Resumindo, o que nós acabamos de falar é que a inclinação, a inclinação de "B" até "C", é igual ao inverso negativo da inclinação de "A" até "B". E aí, se nós multiplicarmos dos dois lados da igualdade pela inclinação de "AB", nós vamos ter que a inclinação de "AB" vezes a inclinação de "BC" vai ser igual a -1. Eu só multipliquei dos dois lados pela inclinação de "AB" e a gente tem essa relação, aqui. Se olharmos as alternativas, a letra (B) é exatamente o que nós fizemos. E, agora, a questão 59. A figura "ABCO" é um paralelogramo. Beleza, então. Esse lado é paralelo a esse. Esse é paralelo a esse, aqui. Qual é a pergunta que eles fazem? "Quais são as coordenadas do ponto de intersecção das diagonais?" Logo, o que ele quer é a coordenada desse ponto de intersecção das diagonais. E o ponto chave para resolver esse problema é saber que as diagonais de um paralelogramo se interceptam no seu ponto médio uma da outra. Elas se cortam exatamente ao meio. Isso quer dizer que a distância do "O" até esse ponto e desse ponto até "B" é a mesma. E de maneira similar, pode-se dizer que esse pedaço do "A" até o ponto é igual ao pedaço do ponto até "C". Então, se esse ponto, aqui, realmente é o ponto central do "O" até "B", então basta que nós calculemos o ponto central das suas coordenadas. E a gente pode fazer isso de maneira muito intuitiva, pois basta calcular a média das coordenadas. Portanto, a média da coordenada do "x", aqui, vai ser: "a" + "c", que é desse ponto "B", mais o zero, e tudo isso dividido por 2. Portanto, essa vai ser coordenada do "x". E a coordenada do "y" vai ser igual a coordenada do "y" do "B", que é o próprio "b", mais a coordenada do "y" desse ponto zero, que é zero, dividido por 2. Então, isso vai me dar o ponto "a" + "c" sobre 2 para o "x". E "b" sobre 2 para o "y". Então, vai ser exatamente aqui. Aqui é a parte do "x", que vai ser "a" + "c" sobre 2, o que faz todo o sentido do mundo, porque "a" + "c" vai estar em algum lugar por aqui e nós estamos calculando a média. E a coordenada do "y" vai ser "b" sobre 2. O "b" vai estar em algum lugar entre o zero e aqui, não é? Então, calculando a média, vai estar por aqui, assim. Aqui vai ser "b" sobre 2, beleza? Então, ele vai estar no meio do caminho entre esse "b", aqui, e o zero. Portanto, é "a" + "c" sobre 2 e "b" sobre 2, que é a resposta da letra (C). A letra (A) está errada, a letra (B) está errada também e a letra (D) também está errada. Só nos resta a letra (C), que foi o que nós fizemos. Para finalizar, problema 60. Ele nos pergunta o seguinte: "Qual tipo de triângulo é formado pelos pontos A (4, 2), B (6 e -1) e o ponto C (-1 e 3)?" Portanto, a melhor maneira de fazer isso é tentar colocar em um gráfico, determinar as distâncias entre os pontos e perceber qual o tipo de triângulo vai ser. Portanto, vamos fazer um gráfico, algo mais ou menos assim. O primeiro ponto é o ponto "A": 4 para "x" e 2 para "y". Portanto, 1, 2, 3, 4 para "x" e 1, 2 para "y". Então, vai estar bem aqui o ponto "A". O ponto "B" é 6 e -1. Então, 5, 6. E o -1 vai estar bem aqui, assim. Então, o ponto "B" vai estar por aqui. E o ponto "C" é -1 para "x" e 3 para "y". Portanto, -1 para "x" está aqui, e 3 para "y", 1, 2, 3. O ponto "C" vai estar por aqui. Beleza? Agora, vou conectar esses pontos. O ponto "C" até o ponto "A", o ponto "A" até o ponto "B" e o ponto "B" até o ponto "C". Logo de cara, já estou vendo que não vai ser um triângulo retângulo, muito menos um triângulo equilátero. E a única maneira de ser isósceles é se este lado for igual a este lado. Vamos tentar calcular isso. Bem, a distância do "A" até "C", ou seja, a distância ao quadrado do "A" até "C", vai ser igual à diferença da distância entre as coordenadas do "x", dos dois pontos. Quer dizer, 4 menos -1, que vai dar 5. Então, 5 ao quadrado. Mais a diferença da sua distância no eixo "y", que vai ser 2 menos 3 ou 3 menos 2, tanto faz, vai ser 1². O que importa aqui é a diferença. Então, a distância ao quadrado vai ser igual a 25 + 1, que dá 26. Portanto, essa distância vai ser a raiz quadrada de 26. E a distância do "A" para "B" segue a mesma lógica. A distância ao quadrado vai ser igual à diferença do "x", que é entre 6 e 4. A diferença vai dar 2. Então, 2² mais a diferença no eixo "y". Se a gente olhar, 2 menos -1 vai dar 3. Então, 3². Isso aqui é igual a 4 + 9. Então, a distância ao quadrado vai ser igual a 13. Logo, essa distância do "A" até "B" vai ser a raiz quadrada de 13. A distância do "C" até "B" eu não preciso calcular, porque esse lado aqui é maior que esses outros dois. Portanto, esse triângulo definitivamente é um triângulo escaleno, já que todos os três lados são diferente. Tranquilo? Vejo vocês no próximo vídeo. Tchau, tchau.