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Geometria: mais sobre triângulos congruentes e similares (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Muito bem estamos no problema 17. Diz aqui: como podemos definir melhor os triângulos abaixo ilustrados? Triângulos abaixo ilustrados. Querem saber se eles são semelhantes, se são congruentes etc. Primeiro, analisem um pouco, eles nos dizem que isto é um ângulo de 60°, este é um ângulo de 90°, eles desenham esse pequeno quadrado com um ponto no meio para indicar isso. A soma dos ângulos de um triângulo tem que ser igual a 180°. Se isso é 90° e isso é 60°, a soma deles é 150°. Isso aqui é 180° menos 150°, então, isso tem que ser um ângulo de 30°. Legal. Agora vamos adiante. Aquilo é 30°, aquilo é 90°. Pelo mesmo motivo, isso tem que ser 60°, porque a soma deles tem que ser 180°. Agora, sabemos que todos os ângulos dos dois triângulos são congruentes, ou que as medidas de seus ângulos são iguais. Já sabemos definitivamente que os dois são triângulos semelhantes. Triângulos semelhantes. Agora, triângulos semelhantes nos indicam que a razão entre os lados correspondentes é igual para todos os pares de lados correspondentes. Então, se apenas der uma olhada e disser: ok, os lados opostos ao ângulo reto, estes lados são correspondentes, certo? Porém, estamos vendo que eles dão os comprimentos e a hipotenusa dos dois triângulos é 8. A razão é 1 para 1. Quando a razão entre os lados é 1 para 1, quando os lados são, de fato, congruentes, e se a gente tem um dos lados, isso é o bastante. Então, você pode, de fato, calcular o resto deles usando... Bom, você pode usar um pouco de trigonometria, ou algo assim. Não vamos fazer isso agora, mas nas aulas de geometria você aprendeu que se alguma coisa é semelhante e pelo menos um par de lados correspondentes é congruente, então, a coisa toda terá que ser congruente. Esses dois triângulos são semelhantes e congruentes. Isto é, opção "A". Problema 18. Vamos ao problema 18. Vou cortar e colar. Tudo bem. Qual das seguintes afirmações tem que ser verdadeira se o triângulo GHI é semelhante a, eles colocam esse símbolo ondulado apenas, então, quando colocam isso significa congruente e se colocarem apenas isso, significa semelhante. Qual das seguintes afirmações tem que ser verdadeira se o triângulo GHI é semelhante ao triângulo JKL? Antes de olhar as opções, isso significa que a razão entre todos os lados é igual, ou que todos os ângulos são iguais. Vamos ver o que nos foi dado: os dois triângulos têm que ser escalenos. Temos triângulos semelhantes que são isósceles ou equiláteros, isso não está certo. Os dois triângulos precisam ter exatamente um ângulo agudo. Os dois triângulos precisam ter exatamente um ângulo agudo. Não, eles poderiam ter dois ângulos agudos; eles poderiam ter três ângulos agudos, do jeito que eles estão desenhados aqui, de fato, todos eles são agudos, nenhum desses ângulos é maior do que 90° do jeito que eles foram desenhados, isso não está certo. Algumas dessas afirmações são tão malucas que fica difícil de entender. Enfim, opção "C". Pelo menos um dos pares de lados correspondentes dos dois triângulos precisam ser paralelos. Não importa como eles estão posicionados, pelo menos um dos pares de lado os correspondentes dos triângulos precisa, digamos, não importa o posicionamento dos triângulos. Os lados correspondentes dos triângulos têm que ser proporcionais. Sim, é uma das formas de saber que alguma coisa é semelhante, que os lados correspondentes sejam proporcionais. A resposta é "D". Então, isso é "D" e você já conhece a definição de um triângulo semelhante. Questão 19. Dezenove. Vou apagar isso aqui. Legal. Já copiei aqui. Agora, vou colar. Na figura abaixo, AC é congruente a DF. OK, então eles são iguais entre si, AC e DF são congruentes. E o ângulo "A" é congruente ao ângulo "D". O ângulo "A" é congruente ao ângulo "D". Certo, aquele é um ângulo "A", aquele é um ângulo "D", isso é o que nos dizem. Qual é a informação adicional seria suficiente para provar que o triângulo ABC é congruente ao DEF? Nos deram apenas um lado e um ângulo, se tivessem dado outro lado, ou se tivessem dito que DE é congruente a AB, teria sido bem legal. Se tivessem nos dado este ângulo, se tivessem dito que o ângulo "F" é congruente ao ângulo "C", também seria bom. Vamos ver o que nos deram: AB é congruente a DE. É, com certeza. Se AB é congruente a DE, então, nós definitivamente temos triângulos congruentes. E vocês conhecem o teorema que tinham que repetir na sua aula de geometria, se tem um lado, um ângulo e um lado, então, você diria: "por LAL, Lago-Ângulo-Lado, eu sei que esses dois ângulos são congruentes". AB é congruente a DE. Vamos olhar os outros lados para ter certeza de que não esquecemos nada. AB é congruente a BC. Certo, mas isso não nos diz qual a relação entre AB e DE; Essa afirmativa é inútil. BC é congruente a EF, BC é congruente a EF. De novo, estou um pouco incomodado pela forma com que eles estão fazendo isso, porque se BC fosse congruente a EF, se isso fosse verdade, se BC fosse congruente a EF, deixa eu pensar nisso. Poderia desenhar esse triângulo de um jeito que eles não fossem congruentes? Porque eu tenho esse ângulo aqui impedindo isso, foi o que nos disseram. Não poderia desenhar essa reta, FE saindo daqui, certo? Porque se ela saísse daqui, então, DE teria que ser dessa forma, e aí esse ângulo não poderia ser o que eles disseram que é. Estou tentando pensar e acredito que isso seria suficiente, que seria suficiente se disserem que esse lado é congruente àquele lado. Acredito que poderiam facilmente argumentar trigonometricamente que esses dois triângulos têm os lados correspondentes iguais, mas enfim. Não vou me preocupar com isso de novo. Vamos ver. Vamos ver a opção D: BC é congruente a DE; BC é congruente a DE. Eles nem são lados correspondentes, isso é certamente inútil. Eu suspeito que isso também teria sido suficiente para provar, mas, enfim. Estou meio, ligeiramente, não gostaria de ofender qualquer pessoa do Departamento de Educação da Califórnia, mas estou ligeiramente desapontado com algumas dessas questões, porque eu sinto que eles, na realidade, não estão testando a intuição. Estão apenas testando para saber se conhecem as definições de algum desses termos geométricos e se conseguem declamar "Lado-Ângulo-Lado", "Ângulo-Lado-Ângulo" e coisas assim. Vocês vão esquecê-las cerca de três horas depois que fizerem o teste. Isso é completamente inútil. O que é útil é se souberem de algo que desenvolva a sua intuição sobre triângulos, isso será muito útil para vocês fazem as provas, será muito útil para quando forem fazer trigonometria. Eu vou contar um segredinho: vocês jamais vão ver, jamais vão usar os teoremas ALA, LAL ou qualquer coisa desse tipo de novo nas suas carreiras matemáticas. Sua aula de geometria na 9ª série será a primeira e a última vez em que irá ver isso, daí eu não concordar por eles quererem que vocês memorizem esses teoremas e tudo mais, e mesmo algumas destas notações nunca mais vão aparecer nas suas carreiras matemáticas, mesmo que faça um PhD em matemática. Provavelmente a única vez que vão ver isso de novo é se vocês se tornarem professores de geometria. Mas, enfim, isso até que é bom, quer dizer, que devem saber como fazer isso, pelo menos para poder ultrapassar aquelas barreiras que a sociedade nos obriga a passar. Então, problema 20. Não quer que outra pessoa ganhe mais só porque ela está disposta a dizer LAL! ALA! De qualquer forma, tudo bem. Problema 20. Dado que: AB e CD se interceptam no ponto "E"; Tudo bem, dado que: AB e CD se interceptam no ponto "E", por outro lado, penso que vocês podem deduzir da minha entonação que eu gosto muito mais de problemas desafiadores, porque de alguma forma, na verdade, de todas as formas, os problemas desafiadores realmente testam sua compreensão de geometria, mas eles nunca mencionam as palavras semelhante, congruente, LAL, ALA, nunca mencionam todas essas coisas que essencialmente memorizam nas aulas de geometria. Conheço muitas pessoas que vão bem geometria e não vão bem nas avaliações externas, e conheço gente com quem se dá o oposto. Sinceramente, prefiro empregar uma pessoa que vai bem nas avaliações externas porque acredito que desenvolveu mais a intuição. Mas, enfim, nós temos que fazer isso. Provavelmente não deveria discursar assim. Vamos lá. Dado que AB e CD se interceptam no ponto "E", ângulo 1. OK, dado que AB e CD se interceptam no ponto "E", beleza. E nos dizem que o ângulo 1 é congruente ao ângulo 2. Então, o ângulo 1, então, aquele e aquele são iguais. Tudo bem, eles já parecem ser ângulos alternos internos, se essa reta for paralela. De fato, eu creio que isso é suficiente para mostrar que essa reta é paralela à essa reta, mas essas duas retas são paralelas. Porque se enxergarem isso como uma transversal, se virem DC como uma transversal, então, verão que ela é transversal a essas duas retas e, por ser em ângulos alternos internos, eles são iguais ou são congruentes. Então, sabem que elas serão retas paralelas. Porém, de qualquer modo, não sei se isso tudo é útil. O que eles vão nos perguntar: quais dos teoremas ou postulados podem ser usados para provar que AED é semelhante a BEC? Bom, vamos ver: semelhante. Não preciso nem dizer que essas são retas paralelas. Nós sabemos que, o que é que foi dito mesmo? Antes de qualquer coisa, os ângulos 3 e 4 são congruentes, porque eles são ângulos opostos pelo vértice. Novamente, não gosto da palavra ângulos verticais, como alguns autores dizem, porque esses ângulos claramente não estão na vertical, estão mais para lado a lado, mas eles certamente são opostos. Esses dois ângulos são iguais, se esses dois ângulos 1 e 2 são iguais, 3 e 4 também o são. Se conhecem dois ângulos de um triângulo, vocês conhecem o terceiro, esse ângulo e aquele ângulo têm que ser iguais. Daí, temos que isso é um triângulo similar, poderíamos usar Ângulo-Ângulo. Sabemos que dois ângulos são iguais a dois outros ângulos, então, sabemos que estamos lidando com triângulos semelhantes. Enfim, meu tempo acabou por causa do meu discurso. Vejo vocês no próximo vídeo.