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Geometria: mais demonstrações (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Nós estamos, agora, no problema número 7. Ele diz o seguinte: use a demonstração para responder à questão abaixo. E ele nos dá que o ângulo 2 é congruente ao ângulo 3, portanto, aqui: ângulo 2 congruente a esse ângulo 3 aqui. Eu estou usando aqui a mesma linguagem que é usada nas aulas de geometria. Mas, está ok, eu admito que essa linguagem tende a desaparecer depois que você deixa de frequentar as aulas de geometria, mas, como nós estamos na aula de geometria, eu vou tentar usar essa linguagem. Então, o ângulo 2 é congruente ao ângulo 3, o que significa, na verdade, que eles têm a mesma medida. Está ok? Muito bem, então. Então, beleza. Vamos lá! Afirmação número 1: o ângulo 2 é congruente ao ângulo 3. Isso aqui é dado para a gente, já está até marcado aqui. Na afirmação número 2, ele diz que o ângulo 1 é congruente ao ângulo 2, e que o ângulo 3 é congruente ao ângulo 4. Então, ele está nos dizendo aqui que esse ângulo 1 é congruente ao ângulo 2 e que esse ângulo 4 é congruente ao ângulo 3, né? Está aqui. E, aí, ele te pergunta qual é o motivo por que isso acontece. E, aí, eu pensei: ora, os ângulos opostos pelo vértice, eles têm a mesma medida, são iguais. Você pode pensar em alterar esse ponto de intersecção entre as duas retas e você verá que os ângulos opostos pelo vértice, eles terão sempre a mesma medida, são sempre congruentes. E essa seria a razão que eu daria aqui para a afirmação número 2, que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Vamos ver qual das afirmações aqui abaixo se aproxima mais do que eu acabei de dizer. Na letra "A", ele diz: complementos de ângulos congruentes são congruentes. Aqui na letra "B": ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Então, já está aqui a nossa resposta, na letra "B". Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Mas, vamos continuar! Na letra "C", ele diz: suplementos de ângulos congruentes são congruentes. Isso aqui não é verdade. E na letra "D": ângulos correspondentes são congruentes. Está beleza? O que importa aqui, na verdade, é você entender, ter essa intuição, e perceber que esses ângulos aqui são opostos pelo vértice, logo, eles têm a mesma medida, que vai ser o motivo dessa afirmação número 2. Então, deixa eu escrever aqui o motivo número 2: é porque são ângulos opostos pelo vértice. Vamos, então, agora, para o próximo problema. Está aqui; problema número 8. Vamos ler aqui o problema. Duas retas num plano sempre se interceptam em exatamente um ponto. Beleza. Qual das seguintes alternativas melhor descreve um contraexemplo da afirmação acima? E eu gosto de pensar nas respostas antes mesmo de olhar as alternativas. Ele quer um contraexemplo. Então, eu posso pensar em duas retas num plano que se interceptam exatamente em um ponto, mas, e se elas forem paralelas? E se eu tiver, no caso, essa reta e essa reta aqui? Elas nunca vão se cruzar. Por quê? Porque elas são paralelas. Essa é a definição de reta paralela, elas não têm nenhum ponto em comum. Outra forma de pensar sobre isso seria se as duas retas fossem, na verdade, uma só; estivesse sobre a mesma reta. Digamos que tenha uma reta aqui, e uma outra reta por cima dessa. Elas se cruzariam, então, em todos os pontos; não em apenas um. E esses dois exemplos que eu dei aqui são contraexemplos dessa ideia da questão número 8, que diz que duas retas num plano sempre se interceptam em exatamente um ponto. Não é verdade. E aqui, entre as alternativas, a que melhor responde a essa questão aqui com um contraexemplo é a letra "B": retas paralelas (que nunca se cruzam em ponto algum). Vamos, agora, para o problema número 9. Está aí ele. Qual figura pode servir como um contraexemplo para a conjectura abaixo? Se um par de lados opostos de um quadrilátero é paralelo, então o quadrilátero é um paralelogramo. Novamente, uma porção de terminologias e eu lembro delas das minhas aulas de geometria. Quadrilátero significa que uma figura tem quatro lados, tá? Então, isso é um quadrilátero. E um paralelogramo significa que esse quadrilátero tem dois pares de lados paralelos. Vou desenhar aqui para vocês o que que é um paralelogramo. Então, vamos lá desenhar esse paralelogramo aqui. Isso aqui, seria, então, um paralelogramo. No caso, se você ignorar essa partezinha aqui que sobrou, essa figura toda aqui é um paralelogramo. Se todos esses lados aqui fossem iguais, esse paralelogramo seria um losango, e por aí vai. E isso aqui é um paralelogramo. Por quê? Porque esse lado aqui é paralelo a esse lado aqui. E, da mesma forma, esse lado aqui é paralelo a esse lado aqui. Todos os lados opostos são paralelos. Então, ele diz: se um par de lados opostos de um quadrilátero é paralelo, então o quadrilátero é um paralelogramo. Ele está falando um par de lados opostos. E o que eu quero fazer aqui é dar um contraexemplo para isso. Então, o que eu vou fazer aqui vai ser desenhar uma figura que tenha um par de lados paralelos... digamos que esse lado aqui seja paralelo a esse lado aqui... e eu não quero que os outros dois lados sejam paralelos, pois, senão seria um paralelogramo. Então, como os outros dois lados não são paralelos, digamos que eles sejam assim. Está aí. E, aí, novamente buscando na minha biblioteca mental de formas geométricas, isso aqui para mim se parece com um trapézio. Então, vamos dar uma olhada aqui nas opções: retângulo, losango, quadrado, trapézio. Está aqui. Temos o trapézio como uma das opções. Portanto, letra "D": trapézio. E todos os outros aqui são paralelogramos. Um retângulo, ele é um paralelogramo. Todos os lados opostos do retângulo são paralelos. Um retângulo teria mais ou menos esse formato aqui. Os lados opostos são paralelos e todos os ângulos são ângulos retos (de 90 graus). Os retângulos formam, portanto, um subconjunto dos paralelogramos. O losango é um paralelogramo em que todos os lados têm a mesma medida, mas não necessariamente todos os ângulos sejam iguais. Ele tem mais ou menos esse formato aqui o losango. E, no quadrado, todos os lados são paralelos e iguais também. E, além disso, os ângulos são todos eles iguais a 90 graus. Então, isso aqui seria um quadrado; lados iguais, ambos de 90 graus. Num losango, os lados são iguais, mas os ângulos não precisam ter 90 graus, está certo? Todos esses aqui são subconjuntos de paralelogramos, com a exceção do trapézio. Apesar de o trapézio ter um par de lados paralelos, os outros lados aqui não são paralelos. Então, esse será o nosso contraexemplo para essa afirmação aqui. E você já deve ter percebido o padrão, né? Na geometria, a terminologia, normalmente, é a parte mais complicada e as ideias não são tão profundas assim quanto a terminologia sugere para a gente. Vamos agora à questão número 10. Aqui, a questão número 10. Vamos ler. Dado que o TRAP... (ou "TRAP"... esse, ele já me deixou até preocupado porque "trap" em inglês significa armadilha, mas vamos lá)... dado que o TRAP é um trapézio isósceles com diagonais "RP" e "TA", qual das seguintes alternativas, necessariamente, é verdadeira? Bom, se é um trapézio isósceles, isso significa que os dois lados que conectam a base inferior e a base superior, eles têm a mesma medida. Algo como um triângulo isósceles. Vamos desenhar a figura aqui. Então, eu vou desenhar para vocês aqui um trapézio isósceles. Eu vou tentar fazer aqui o mais perfeitinho possível para que esses lados que conectam as bases inferior e superior... para que eles pareçam ter a mesma medida. Está aí. E, bem, se ele nos diz que isso daqui é um trapézio isósceles, então, esse lado aqui é paralelo a esse lado aqui. E, além disso, esse lado é igual, tem a mesma medida, que esse outro lado aqui. Está aí o trapézio isósceles. Qual das seguintes alternativas, necessariamente, é verdadeira? Ele nos diz aqui que "RP" e "TA" são diagonais desse trapézio TRAP. Então, vamos desenhar essas diagonais aqui. Na verdade, eu vou colocar os pontos aqui dos vértices desse trapézio TRAP ou "TRAP" (lembrando que "TRAP" é armadilha em inglês, então, cuidado!) E, agora, eu vou desenhar aqui as diagonais. A diagonal "RP" é essa daqui (RP) e a diagonal "TA" vai ser essa que liga o ponto "T" ao ponto "A", assim. Beleza. Vamos ver o que a gente pode deduzir aqui. Qual das seguintes alternativas, necessariamente, é verdadeira? Na letra "A": "RP" é perpendicular ao "TA". E eu já vejo logo que isso aqui não é verdade. Eu não preciso nem provar porque dá para perceber só de olhar para essa figura aqui que essas duas diagonais não são perpendiculares; ou seja, se você pudesse aqui fazer um exercício de imaginação... experimente espremer essa base superior e essa base inferior aqui... essas diagonais não vão ter um ângulo de 90 graus quando você espremer isso daqui. Portanto, esse ângulo aqui e esse ângulo aqui, se nós espremêssemos esse trapézio, eles ficariam menores e menores e menores a cada vez que espremêssemos mais. Portanto, não formariam um ângulo de 90 graus. Então, já dá para ver que esse não é o caso. A letra "A" aqui está errada. Na letra "B", ele diz que "RP" é paralelo ao "TA". E isso, claramente, também não é o caso, porque a gente já vê aqui que elas se interceptam essas duas diagonais. Elas têm um ponto em comum. Então, eu vou descartar aqui a letra "B" também. Na letra "C", ele me diz que "RP" é congruente a "TA". E a letra "C" faz todo o sentido para mim, porque essa figura aqui é um trapézio isósceles; e, se nós traçarmos um eixo de simetria nessa figura, aqui, tudo o que a gente vê desse lado esquerdo vai ser uma imagem refletida do lado direito, e vice-versa. É como se fosse um espelho e, portanto, é congruente o que está do lado esquerdo com o que está do lado direito. Então, esse pedacinho aqui vai ser igual a esse pedacinho aqui. Como isso daqui é um trapézio, eu poderia, por exemplo, imaginar a continuação desse trapézio até formar um triângulo isósceles, e, aí, a gente saberia que esse ângulo aqui é igual a esse ângulo aqui e, definitivamente, você percebe que a diagonal "RP" será, realmente, congruente à diagonal "TA". Então, "RP" congruente a "TA", pois os dois lados desse eixo de simetria aqui, lado esquerdo e lado direito, serão congruentes (eles são simétricos). Então, não há uma maneira de "RP" ser diferente de "TA" por exemplo, uma vez que esse trapézio aqui é totalmente simétrico, ele é um trapézio isósceles. E, aqui, na letra "D", fala que "RP" é a mediatriz de "TA". Será que o "RP" divide "TA" exatamente no seu ponto médio? Bom, para a gente ver isso, deixa eu desenhar esse trapézio de uma maneira diferente. Eu vou desenhá-lo assim. Esse aqui também vai ser um trapézio isósceles, só que um pouquinho diferente desse que nós acabamos de desenhar. Perceba, aqui mais um trapézio isósceles. E as diagonais desse trapézio seriam assim: uma diagonal; aqui a outra diagonal. Então, aqui nesse trapézio, fica bem claro que as diagonais, elas não são mediatrizes uma da outra, elas não se cruzam no ponto médio. Esse lado aqui teria que ser igual a esse lado aqui. Claramente, não é. Esse lado aqui também não é igual a esse. E elas, definitivamente, não são mediatrizes. A letra "D", portanto, está errada também. Então, você já pode descartar a letra "A", "B" e "D". E nos resta a letra "C", que me parece que está realmente correta. Você poderia usar um argumento aqui dos ângulos e tal, mas eu não vou fazer você perder mais tempo com isso. Mas, de qualquer maneira, é um exercício bem bacana você tentar construir um argumento formal para demonstrar que "RP" é congruente ao "TA"; apesar de dar para construir um argumento intuitivo, como nós fizemos aqui. Tranquilo? Então, beleza. Letra "C" é a resposta. E a gente se vê, então, no próximo vídeo! Tchau, tchau!