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Geometria: demonstração por contradição (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

e aqui no problema número 4 nos dão teorema um triângulo tem no máximo um ângulo obtuso muito bem Eduardo que é provar o teorema acima por contradição ele começou afirmando bem para provar um teorema por contradição você se pergunta Ok Isso isso aqui não for verdadeiro eu vou provar que isso é impossível mas antes um continuar lendo aqui o enunciado ele começou afirmando que no triângulo ABC o ângulo a e o ângulo B são ambos obtusos qual teorema Eduardo usar a para chegar a uma contradição muito bem teu desenhar aqui o que o Eduardo ele tentou dizer vamos lá desenhar esse aqui é um pouco complicado mas está aí não está na escala certa mas tudo bem ele nos diz que o ângulo aí o ângulo B são obtusos ambos os ângulos então Digamos que se ângulo aqui seja maior que 90 graus é que é o nome do ar Aqui tá o ângulo B esse ângulo B também o ângulo maior do que 90 graus Pois é isso que obtuso quer dizer ângulo maior que 90° e ao teorema Eduardo usar a para chegar uma contradição ou monte de ler aqui as opções Vamos pensar um pouquinho sobre o problema que a gente sabe sobre triângulos a gente sabe que todos os ângulos internos de um triângulo eles somam 180 graus não é isso aqui nós temos um regular o ângulo B vamos chamar esse ângulo aqui descer daí nós sabemos que o ângulo a mais o ângulo B mais um ângulo ser tem que ser igual a 180 graus concorda uma outra maneira de escrever isso seria dizer que o ângulo C = 180 graus menos o ângulo a menos o ângulo B ou ainda uma outra forma né eu tô escrevendo aqui de várias maneiras diferentes é pensar que o ângulo C = 180 graus menos a mais ver bom e daqui eu te faço uma pergunta nós presumimos no início como Eduardo fez que tanto o ângulo a quanto ângulo B são ambos maiores que 90° então a + b vai ser maior que o que bom se isso aqui é maior que 90 isso aqui é maior que 90 então a mais ver também vai ser maior do que 90 mais 90 então isso daqui vai ser maior que 180° esse isso aqui é a maior que 180° nós estamos subtraindo isso de 180 bom eu escrevi aqui o ângulo a ele é maior do que 90 graus e o ângulo B também maior do que 90 graus e o que nós podemos deduzir dessa equação aqui I had no São aqui é que se o armário que 90 o bem maior que 90 então ângulos e ele teria que ser menor do que zero menor que zero grau o que não existe não existe ângulo negativo logo aqui está contradição você não pode ser menor que zero grau vamos ver qual alternativa que representa melhor essa situação já que você não pode também não quiser daí a gente tira aqui o ângulo Largo ângulo b não podem ser ambos maiores que 90° não posso ter dois ângulos maiores que 90° dois ângulos obtusos e essa seria a prova por contradição vamos ver então se alguma das opções nos revela algo do que fizemos na letra A se dois ângulos de um triângulo são iguais os lados opostos aos ângulos são iguais não daqui não a letra B se dois ângulos suplementares são iguais cada ângulo mede 90 graus também não nós não usamos isso na letra c o maior ângulo no triângulo É oposto ao lado mais longo também não na letra de A soma das medidas dos ângulos de um triângulo é cento o graus Sim foi isso que nós usamos bem aqui ó Tá certo daí eu vou escolher a letra de foi esse o teorema que Eduardo usou para chegar a contradição vamos agora a próxima Questão questão número 5 aí está ele diz o seguinte use a prova para responder à questão abaixo então dados que o lado AB esse lado aqui a ver é poluente ao lado BC esse lado aqui desse não podemos dizer que esse lado aqui é igual a esse lado isso é dado para gente e de o ponto médio the Acer logo o ponto de ele tá aí que distante do ponto alto como ser Ou seja a de e descer é a mesma medida deixa eu escrever aqui ó a de mesma medida de descer prove que o triângulo ABC a b d estrangulo aqui é congruente ao triângulo cbd esse triângulo aqui e vem triângulos congruentes são triângulos que são iguais em todos os aspectos mas que eventualmente podem tecido rotacionados enfim se eles fossem triângulos e as medidas dos lados poderiam ser diferente Eles teriam o mesmo formato mas seriam maiores tenham sido expandido sou encolhidos né portanto seriam maiores ou menores e os triângulos congruentes eles são semelhantes Só que os lados são todos iguais tem a mesma medida porém apesar de ter lados iguais eles podem tecido refletidos como nesse caso aqui por exemplo estrangulo aqui de cima é um reflexo desse triângulo daqui de baixo é como se fosse uma imagem espelhada e só da gente olhar a gente percebe que eles são congruentes mas vamos ver como a gente pode provar isso aqui ó a primeira afirmação diz que o lado AB é congruente ao lado BC ele nos deu isso aqui ó lado AB com durante a lado BC odeia o ponto médio de acertar me foi dado a de é congruente a CD esses dois lados aqui ó são congruentes pelo fato do de seu ponto médio nós fizemos isso né definição de ponto médio Ok número 3 bd é congruente a BD e eles são o mesmo lado só um lado comum aos dois triângulos e qualquer coisa é congruente a si própria E aí quer dizer que o bebê desse triângulo aqui de cima esse lado aqui é igual o bd do Triângulo daqui de baixo também é esse mesmo lado beleza essa é a propriedade reflexiva é uma expressão um pouco difícil para uma ideia que é simples a Ok e daí Finalmente eles dizem que o triângulo ABC é congruente ao triângulo cbd e logo de cara usando essas informações já mostramos que eles têm as mesmas medidas de lado os dois tem um lado e comum que é o BD os dois triângulos tem um lado a de e descer que tem a mesma medida e os dois lados tem um lado B A ou B C que também tem a mesma medida e todos esses lados aqui né os correspondentes a eles têm a mesma medida e a gente sabe disso Depois desses Três Passos aqui então vai pergunta qual o motivo pode ser usado para provar que os triângulos são congruentes bom o esses três passos aqui nós provamos que os três lados são todos congruentes entre si e esse é o caso de congruência lá do lá Ah tá aqui na letra de ó lll significa lado lado lado é o que significa lll e esse é o argumento que você usa na aula de geometria para dizer que os três lados dos dois triângulos são congruentes e só que significa que você tem ângulo ângulo lado isso aqui significa que você tem um ângulo um lado entre os dois ângulos e o outro ângulo e todos eles são congruentes e isso é que diz que um dos lados o ângulo entre dois lados e o outro lado são também congruentes a gente deve ver isso nas próximas aulas mas de qualquer maneira Isso prova é esse aqui ó que os três lados dos dois triângulos são iguais têm a mesma medida então a gente pode dizer pelo raciocínio lá do lá do lado que os dois triângulos são congruentes beleza uma das formas de você pensar em dois triângulos congruentes é através do lado lá do lado Ou seja que todos os lados dos dois triângulos considerados tem as mesmas medidas e a nossa próxima questão isso 16 Olha aí na figura abaixo o lado AB é maior que o lado BC portanto a b maior que BC apesar de na figura parecer que eles são iguais vamos ver o que ele pede aqui supondo-se que a medida do ângulo A é igual a medida do ângulo C portanto aqui esse ângulo a vai ter a mesma medida desse ângulo ser aqui segue-se que o lado AB é igual ao lado BC portanto aqui ao lado AB vai ser igual ao lado BC eu não sei se você já viu isso mas você Nós temos dois ângulos são congruentes quer dizer tem a mesma medida Ele tá dizendo aqui ó medida do ângulo a igual a medida do ângulo C equivalente dizer que o ângulo a é congruente ao ângulo c e essa é a definição de congruência e dois ângulos são congruentes quer dizer que estamos já medida logo são iguais você poderia ter escrito isso aqui assim também ó que o ângulo a é congruente ao ângulo C Mas enfim se você tem dois ângulos iguais Então os lados que estão o E aí esses ângulos também tem a mesma medida logo esse lado aqui vai ser igual a esse lado aqui e foi exatamente isso que escreveram segue-se que AB = BC beleza Eles continuam Agora sim isso contradiz a afirmação dada que o lado AB é maior que o lado BC até aqui tudo bem realmente se ele fala que AB = BC isso contradiz que lado AB maior que vc onde eles querem chegar com isso eles perguntam que conclusão pode ser tirada dessa contradição vamos analisar aqui as alternativas na letra a medida do ângulo A é igual a medida do ângulo b e não não pode ser eu posso até um exemplo disso se o ângulo aí eu ângulos e os dois tiverem medida de 30 graus a soma deles dois daria 60 e o ângulo B teria que ser de 120 graus para que a soma dos três ângulos desce 180 graus importante aqui a letra A não está correta na letra B ele diz que a medida do ângulo a não é igual é diferente a medida do ângulo B analisando aqui bem pode ser não é mesmo e se todos os ângulos Aqui foram de 60° Isso é verdade todos os ângulos aqui poderiam ter sessenta graus em um momento nós descemos que o ângulo b não é igual ao ângulo A então se você que fosse 60 e sessenta e esse aqui 60 também esse triângulo seria um triângulo equilátero aí nós temos que a letra B também não é a resposta na letra C ele diz que a medida do ângulo A é igual a medida do ângulo C medida do ângulo a medida do ângulo C Ah tá agora que eu entendi o que ele quis dizer aqui nessa questão foi falha minha olha só aqui no enunciado Ele disse que na figura abaixo definitivamente o lado AB é maior que o lado BC portanto esse lado aqui AB definitivamente vai ter uma medida maior que oa do BC e depois eles dizem supondo-se que a medida do ângulo é igual a medida do ângulo C Aí sim segue-se que o lado AB é igual ao lado BC e região disseram que isso daqui a umidade absoluta ele disseram que a só uma suposição e é aí que tá a contradição o que se Março puséssemos isso então definitivamente e o lado AB ele não poderia ser maior que o lado BC pois o lado AB ele seria igual ao lado BC então e continua isso contradiz a afirmação da daquele lado a b é maior que lado BC E aí ele continua dizendo que isso contradiz a afirmação que foi dada que o lado AB é maior que o lado BC beleza Isso é verdade e qual é a conclusão que pode ser tirada dessa contradição então fizemos uma suposição que a medida do ângulo A é igual a medida do ângulo C E daí segue-se que esses dois lados aqui tem a mesma medida o que contradiz a afirmação que foi dada em cima que o lado AB é maior que descer logo a gente chega à conclusão que as medidas esses dois ângulos aqui não podem ser iguais beleza porque se elas fossem iguais mas estaríamos contradizendo a suposição foi nada então nós sabemos aqui por contradição que a medida do ângulo a tem que ser diferente da medida do ângulo C mas não podemos fazer essa afirmação porque ela nos leva a uma contradição Aí a gente vê que a resposta correta é a letra tá tranquilo então nos vemos no próximo vídeo