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Geometria: teorema de Pitágoras, área (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Estamos no problema 36. Aqui diz qual é a área em unidades quadradas do trapézio desenhado abaixo? Quando você olha para isso, diz: "Beleza, trapézio. Conheço a fórmula para a área do trapézio". E aí, de alguma forma, poderia ficar confuso. Mas diz: "Bom, eu posso transformar trapézio em um retângulo e um triângulo". Se eu fosse desenhar uma reta aqui, se eu desenhar uma reta bem aqui, divido o trapézio em um retângulo e em um triângulo. E, se conheço as medidas de cada um deles, sei a área de cada um deles, e vou saber a área da figura inteira. Vejamos. Qual é o cumprimento aqui? Ou, talvez, deveria dizer, a largura. Bom, estamos indo do zero para onde? "x" é igual a 8 aqui. Desci direto. "x" é igual a 8 e "y" é igual a 5, essa medida é 8. E vamos de "x" igual a 8 para "x" igual a 12. Qual é essa distância? Ela será igual a 4. E isso é 4, e isso é 8. Beleza! Então, qual é a altura desse retângulo? Estamos indo de "y" igual a zero para "y" igual a 5. Então, aquilo é 5, é claro que isso também é 5. Então, pronto! Estamos prontos para calcular a área. A área da parte retangular é 8 vezes 5, que é 40, a área desse triângulo é 5 vezes 4 dividido por 2. Se não colocássemos aquele dividido por 2, estaríamos calculando a área desse retângulo. 5 vezes 4 é 20, dividido por 2 é 10. A área das duas figuras combinadas é 10 mais 40, que é 50. 37: a figura abaixo é um quadrado com 4 paralelogramos congruentes dentro dele. Isso parece interessante. Qual é a área em unidades quadradas da parte sombreada? A parte sombreada, então, é o quadrado total menos a área dos 4 paralelogramos. O quadrado inteiro, isso é fácil, é 12. E a altura é 12. E como vocês sabem que ele é um quadrado, sabemos que a largura também é 12, correto? Então, a área total do quadrado é 144. Agora, temos que calcular a área. Se a gente souber a área de um dos paralelogramos, vamos saber as áreas de todos eles, porque são congruentes. Vejamos se conseguimos calcular a área de um dos paralelogramos. Na verdade, existe uma fórmula para a área de um paralelogramo que é, na verdade, apenas a base vezes a altura e, de fato, eles nos dão isso. Mas vou mostrar para vocês que eles dão porque pode não parecer óbvio, vou desenhar isso, vou usar a ferramenta para desenho. Não, essa não é a ferramenta certa. Então, um lado, aí vamos direto assim, e então, descemos assim. Ficou bom, beleza! Agora, se olhar para esse paralelogramo, eles nos dizem que a altura é 3, certo? A altura é 3. E eu sei que é a altura porque eles disseram que é um ângulo de 90°. E eles nos dizem que a base é 5. Eu digo a vocês que a área de um paralelogramo é apenas a base vezes a altura. É igual a 15. Mas vocês não precisam acreditar em mim, isso deveria fazer sentido intuitivamente para vocês. E a forma intuitiva de pensar nisso é imaginar se fôssemos pegar essa parte do paralelogramo, e se a gente fosse mover para cá, se fôssemos cortar e mover para cá, então o paralelogramo ficaria parecido com isso. Vocês teriam a parte que não cortamos, certo? E aí vocês movem a parte cortada para cá. Agora, as medidas, esta base seria 5 e essa altura, 3. E a área desse retângulo é 15. Não há nenhum motivo para que a área disso seja diferente daquilo, apenas rearranjamos as partes. Então, esse é o motivo da área do paralelogramo ser apenas a base vezes a altura. A área de cada um desses paralelogramos é 15, a área de todos eles somados é 15 vezes 4, que é 60. Então, 144 menos 60 é quanto? É 84. E a resposta é "B". Problema 38: Qual é a área em metros quadrados do trapézio desenhado abaixo? Para calcular a área, e conseguimos dividir nesses retângulos e triângulos, para calcular a área desse retângulo, precisamos saber a sua altura. E, na verdade, vamos precisar disso para calcular a área dos triângulos também. Então, qual é a altura aqui? Vejamos. Sabemos que essa distância vai ser 6. É um retângulo. Se aquela distância é 6 e essas 2 são 5, esses dois triângulos serão congruentes. Correto? Porque esse comprimento é igual a esse comprimento. Esse comprimento é igual a esse comprimento. E também nós temos que este ângulo é igual àquele ângulo. Mas, de qualquer forma, eu vou fazer em outra cor. Qual é o comprimento desses dois lados verdes? Vamos chamar de "x". Bom, sabemos que a soma de "x" mais 6 mais "x" tem que ser igual a 12. Toda a parte superior. E você faz "x" mais "x" é 2x, mais 6 é igual a 12. 2x é igual a 6, "x" é igual a 3. E vocês poderiam ter sido capazes de resolver isso de cabeça. Esso é 6, se aquilo é 6 e eles são iguais, então, os dois serão iguais a 3. Agora, podemos usar essa informação para calcular essa altura. Porque se vocês só desenharem esse triângulo, isso é 3, aquilo é 5, isso é o lado desconhecido, "a". Vocês talvez já tenham reconhecido, vamos usar o Teorema de Pitágoras. É um exemplo típico de um triângulo retângulo. Então, provavelmente, já adivinharam quanto é. Mas vamos resolver. Já sabemos que a² mais 3² é igual ao quadrado da hipotenusa. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°. Então, isso é igual a 25. 5² é 25. a² mais 9 é igual a 25. a² é igual a 16. "a" é igual a 4. "a" é igual a 4. Agora estamos prontos para calcular a área. Qual é a área do retângulo? 6 vezes 4 é 24. Qual é a área de cada um desses triângulos? 3 vezes 4 dividido por 2. 3 vezes 4 é 12, dividido por 2 dá 6. A área daquele triângulo é 6. A área desse triângulo é 6. Então, 6 mais 24, mais 6 é 36. "B". Problema 39: Qual é a área do triângulo abaixo em centímetros quadrados? Interessante! Beleza, então este é um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. E, daí, poderíamos dizer que como esses dois triângulos são simétricos, aquilo é igual àquilo. E isso nos leva à fórmula geral para o cálculo de área de um triângulo equilátero. Vamos calcular isso tudo. Então, esse lado será igual a 5 e esse lado será igual a 5. Se isso é 5 e aquilo é 10, quanto será esse lado? Vamos chamar de "x". Teorema de Pitágoras. Aquilo é hipotenusa. Então, x² mais 5², mais 25 será igual à hipotenusa ao quadrado, que é igual a 100. x² é igual a 100 menos 25, dá 75. "x" é igual à raiz quadrada de 75. 75 é igual a 25 vezes 3. Então, aquilo é igual à √25 vezes 3, que é igual à √25 vezes a √3, que é igual a 5√3. Então, "x" é igual a 5√3. E agora, qual será a área apenas desse triângulo aqui? Esse aqui do lado direito. Bom, a sua base é 5, a altura é 5√3. Então, a área será 1 sobre 2 vezes a base, 5 vezes a altura, 5√3. E quanto vai ser isso? 1 sobre 2 vezes 5, vezes 5. Então, é 25√3 sobre 2, que é esse triângulo aqui. Bom, nesse triângulo terá que ser igual, terá que ter exatamente a mesma área, eles são triângulos congruentes. Então, a área da figura é isto vezes 2. Daí, 2 vezes e isto é igual a 25√3. E a resposta é a opção "B". Próximo problema, problema 40: A razão entre o perímetro de dois quadrados é 4 para 9. Qual será a razão entre as áreas desses dois quadrados? Eu vou desenhar. Vou desenhar dois quadrados. Isso é um quadrado. Vou desenhar o outro quadrado. Vou chamar os lados deste de "x" e os lados desse outro de "y". Então, eles nos dizem que a razão entre os perímetros desses dois quadrados é 4 para 9. Se o perímetro do primeiro quadrado é 4x, "x" mais "x", mais "x", mais "x", então, o perímetro do primeiro quadrado é 4x, o perímetro do segundo quadrado é 4y. Então, essa é a razão entre o perímetro do primeiro quadrado e o perímetro do segundo quadrado, e ela é igual a 4 para 9. Ela é igual a 4 para 9. E eles perguntam: "Qual será a razão entre as áreas dos dois quadrados?". Então, eles querem que a gente calcule a área do primeiro quadrado, que é x², e a razão, certo? Base vezes a altura, "x" vezes "x". E a área do segundo quadrado que é "y" vezes "y". Daí eles querem que calculemos o resultado. Bom, isso é x² sobre y², e isso é a mesma coisa que "x" sobre y². Se conseguirmos calcular quanto será "x" sobre "y", poderemos quadrar isso, e vamos ter x² sobre y². Vamos tentar. Vejamos: se a gente dividir, bom, isso simplifica, não é? 4 sobre 4, "x" sobre "y" é igual a 4 sobre 9, certo? x sobre 9 é igual a 4 sobre 9, vamos substituir. Daí x² sobre y² é igual a "x" sobre y², que é igual a 4 sobre 9², que é igual a 16 sobre 81. Ou a razão entre as áreas dos dois quadrados é 16 para 81. Opção "D". Acho que podemos encaixar mais um problema aqui. Na verdade, não! Eu passei dos dez minutos. Vou encerrar aqui. Vejo vocês no próximo vídeo.