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Geometria: teorema de Pitágoras, construções com compassos (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Vamos lá. Problema 51: Um diagrama de uma demonstração do Teorema de Pitágoras está desenhado abaixo. Ele pergunta assim: "Qual afirmação não seria usada na demonstração do Teorema de Pitágoras?" Como ele nos dá o diagrama aqui, eles querem que, na verdade, a gente faça a prova e depois analise as opções para ver qual é a que combina mais com essa solução. E essa daqui é uma boa prova do Teorema de Pitágoras. Primeiramente, nós vamos descobrir qual é a área deste quadrado maior aqui. E há duas formas de pensar sobre isso. Uma delas é a seguinte: aqui é "a", aqui é "b", aqui vai ser também "b", aqui vai ser "a". Então, a área desse quadrado vai ser igual à medida de um dos lados elevada ao quadrado. Logo, a área total desse quadrado grande vai ser "a" mais "b" elevado ao quadrado. Isso aqui é a mesma coisa que "a²" mais 2 vezes "ab" mais "b²". E a outra maneira de ver a área desse quadrado maior aqui é que a área dele vai ser a área desses 4 triângulos (esse aqui, esse, esse e esse) mais a área desse quadrado menor, que está inclinado. Então, a área do quadrado grande vai ser essa área que nós acabamos de calcular, que, por sua vez, vai ser igual à área desses triângulos, mais a área desse quadrado. Então, eu tenho quatro triângulos retângulos. Vai ser 4 vezes a área de cada um. Qual é a área de cada um, ali? Vamos escolher este, por exemplo. A área do triângulo é a metade da base vezes altura. Então, é a metade de "a" vezes "b". Portanto, vou colocar aqui 4 vezes 1/2 vezes "a" vezes "b". Daí a gente tem que essa área aqui, a de um dos triângulos, mas como eu multiplico por 4, eu tenho a área desses 4, aqui. E nós vamos somar a isso a área desse quadrado menorzinho, que tem como lado "c" e, portanto, a área do quadrado vai ser "c²". Então, mais "c²". Agora, vamos tentar simplificar isso. Então, a gente tem a² + 2ab + b² e isso é igual a 4 vezes 1/2, que é a mesma coisa que 2 vezes "a" vezes "b", vai ficar 2ab, mais "c²". E daí nós podemos subtrair esse "2ab", aqui, nos dois lados da equação. Apesar de parecerem duas equações, na verdade é uma só, não é? Então, posso subtrair "2ab" daqui e "2ab" daqui. E com isso, o que é que eu tenho? "a²" + "b²" é igual a "c²". E olha só que legal: esse aqui nada mais é do que o Teorema de Pitágoras. Nós acabamos de provar o Teorema de Pitágoras através dessa figura. Agora, vamos ver se alguma das opções combina com a nossa resposta. Qual afirmação não seria usada na demonstração do Teorema de Pitágoras? A letra "A" diz que a área do triângulo é igual à metade de "a" vezes "b". Nós usamos isso. Na letra "B", os 4 triângulos retângulos são congruentes. Nós usamos isso aqui, também. Na letra "C", a área do quadrado interno é igual à metade da área do quadrado maior. Nós não usamos isso aqui. Então, a resposta só pode ser a letra "C". Esta foi a afirmação que nós não usamos para demonstrar este teorema. Mas vejamos a letra "D". A área do quadrado maior é igual à soma das áreas do quadrado menor e dos 4 triângulos congruentes. Nós usamos isso, este é o ponto crucial dessa demonstração. Então, realmente, a resposta é a letra "C". Vamos agora para a questão número 52. Olha ela aí. A hipotenusa de um triângulo retângulo tem comprimento 5. Se um cateto tem comprimento 2, qual é a medida do outro cateto? Beleza. Aqui nós temos a hipotenusa 5, a qui nós temos o cateto 2. Ele quer saber qual é a medida deste outro cateto aqui, que vou chamar de "x". Pelo Teorema de Pitágoras, x² + 2² vai ser igual a 5². Pois 5 é a hipotenusa do triângulo retângulo. Então, x² + 4 (que é o valor de 2²) é igual a 25 (o valor de 5²). Subtraindo 4 dos dois lados, temos que x² é igual a 21. Logo, o "x" é igual à raiz quadrada de 21. Chegamos à resposta: letra "B". Próxima questão. Questão 53. Questão número 53. Um novo oleoduto está sendo construído para redirecionar o fluxo de petróleo ao redor de uma área de proteção ambiental. Imagine que esta seja área de proteção ambiental. A planta mostrando o antigo oleoduto e a nova rota é mostrada abaixo. Beleza, está aqui. Quantos quilômetros a mais o petróleo percorrerá quando a nova rota for criada? A nova rota vai ter 60 quilômetros mais 32 quilômetros. Logo, 92 quilômetros. Portanto, a nova rota será de 60 quilômetros mais 32 quilômetros. A nova rota vai ser igual a 92 quilômetros. E a antiga? A antiga está aqui: é a hipotenusa desse triângulo retângulo. Vamos chamar essa antiga rota de "x". Daí, pelo Teorema de Pitágoras, eu tenho 60² + 32² é igual a x². E eu fiquei com alguns números um pouco grandes aqui, é meio chato de trabalhar. Vou ver se eu consigo fatorar para tornar as coisas mais interessantes. Pelo que estou percebendo, 60 e 32 são ambos múltiplos de 4. Mas, na verdade, neste caso não vai adiantar muita coisa, não. Vou fazer a conta. 60² vai dar 3.600. E 32²? Vou fazer aqui, 32 vezes 32. 32 vezes 2 dá 64, 32 vezes 3 dá 96. Somando: aqui vai dar 4. 6 + 6 = 12, vai 1. E aqui vai dar 10. 1.024. Então, 3.600 + 1.024 vai ser igual a x². Portanto, x² vai ser igual à soma desses dois valores. Vai dar 4.624. Agora, vamos ver se eu consigo calcular uma aproximação para esse valor. Vamos olhar as opções. A letra "A" diz que dá 24, mas eu sei que 20 vezes 20 dá 400, está bem longe de 4.000. Então, provavelmente não é 24. Na letra "B", 68. 60 vezes 60 dá 3.600, Então, 68 vezes 68 pode ser que dê 4.624. Me parece mais correto ainda, porque 8 vezes 8, que é 64, termina em 4. Olha aí. Vamos fazer a conta. 68 vezes 68. 8 vezes 8 dá 64, vai 6. 6 vezes 8 dá 48. 48 + 6 dá 54. Vou colocar um zero. 6 vezes 8 dá 48, vai 4. 6 vezes 6 dá 36, mais 4 dá 40. Somando tudo isso, já dá para perceber. 4 + 0 dá 4. 4 + 8 dá 12, vai 1. 1 + 5 dá 6. E aqui vai dar 4. 4.624, certinho esse valor. Portanto, "x" é igual a 68. Mas cuidado! Na verdade, 68 não vai ser a resposta, porque ele não quer a medida do antigo oleoduto. 68 está em uma das opções aqui porque, na verdade, eles queriam fazer uma pegadinha para ver se você está atento. Mas cuidado, temos que ficar atentos ao enunciado e à pergunta que está sendo feita. O que eles querem saber, na verdade, é quantos quilômetros a mais o petróleo percorrerá quando a nova rota foi criada. Portanto, a nova rota tem 92 quilômetros e a antiga, 68. Então, quantos quilômetros a mais o petróleo percorrerá? 92 menos 68, isso vai dar 24. Essa é a resposta: a letra "A". Então, cuidado, não é a letra "B". A letra "B" é só o tamanho do antigo oleoduto. Nós queremos saber a diferença do tamanho do antigo em relação ao novo oleoduto. Então, a diferença é 24 quilômetros. Mas vamos para a questão 54. Márcia está usando uma régua e um compasso para fazer a construção mostrada abaixo. É bem interessante. O que descreve melhor a construção que Márcia está fazendo? Eu presumo que, quando ele fala construção, ela está desenhando alguma coisa aqui, não é? E parece que ela pegou o compasso, apoiou a ponta seca do compasso aqui, o grafite aqui e desenhou esse arco. Depois, ela colocou a ponta seca do compasso aqui e desenhou esse arco. Daí, ela colocou a ponta seca do compasso aqui e desenhou esse arco. Esse arco, aqui. E, finalmente, ela colocou a ponta seca do compasso, aqui, para desenhar esse arco, aqui. E, bem, a razão pela qual ela escolheu este ponto é porque este ponto passa pela reta "L". Então, depois ela encontrou um outro ponto, aqui, porque ela está com interesse de fazer uma reta, já que ela tem uma régua. A régua serve exatamente para isso, para desenhar retas, enquanto o compasso vai servir para fazer as curvas. Se ela tivesse traçado uma reta entre esses dois pontos, aqui, o que ela teria feito? Ela teria feito uma reta paralela à reta "L" e as retas seriam paralelas, porque estes ângulos são correspondentes. E eles são congruentes. Se você tem uma reta transversal e os ângulos são congruentes, logo, essa reta que passa por "P" é paralela a essa reta "L", aqui. Então, o meu palpite é que ela, provavelmente, está tentando fazer uma reta paralela a essa reta "L". E a letra "A" diz assim: Uma reta por "P" paralela à reta "L". É exatamente isso que ela está tentando fazer. Portanto, a resposta certa é letra "A". Questão número 55. Está aí para você, questão 55. Dado o ângulo "A" (está aqui, o ângulo "A"). Dado esse ângulo, qual é o primeiro passo para a construção da bissetriz do ângulo "A"? E aí, qual será o primeiro passo para construir essa bissetriz aqui, do ângulo "A"? Bom, eu imagino que se eu tivesse um compasso... O compasso, você sabe como é. Ele tem uma ponta seca, mais ou menos assim. Aqui está a ponta seca dele e aqui, na outra ponta, é onde a gente coloca o grafite. E aqui é onde você ajusta a abertura dele. Daí, você gira o grafite e consegue desenhar círculos. Cada círculo com um raio arbitrário, um raio que você determina. Me parece que foi exatamente isso o que foi feito aqui. Se eu quiser traçar a bissetriz desse ângulo "A", eu posso colocar a ponta seca do compasso aqui, colocar a ponta com grafite aqui e fazer esse círculo. Esse arco, na verdade. Contanto que eu consiga encontrar dois pontos que interceptem esses dois raios, para mim está tudo bem. Esses dois pontos poderiam estar por aqui, assim, ou poderiam estar por aqui, assim. Tanto faz a abertura do compasso. E depois, o que foi feito? Colocou-se a ponta seca do compasso aqui e traçou-se esse arco, com essa abertura, com esse raio. Depois, colocou-se a ponta seca do compasso aqui e foi construído esse outro arco, aqui. E aqui, este ponto de intersecção nos dá a indicação de onde a bissetriz tem que passar. Vai ser exatamente aqui. Portanto, vamos responder: "Qual é o primeiro passo para a construção da bissetriz do ângulo "A"? Na letra A, ele diz que é desenhar o raio "AD". Na verdade, não. Na verdade, isso foi o último que foi feito, não é? "AD" é o último passo, ele é a própria bissetriz do ângulo "A". Na letra B, ele fala que é desenhar um segmento de reta conectando os pontos "BC". Não, isso aqui não é um segmento de reta, isso é um arco. Na letra C, ele diz: "Dos pontos "B" e "C", desenhar arcos iguais que se interceptam em "D"". Também não foi isso, esse foi nosso segundo passo depois que nós construímos esse arco, aqui, nós fizemos esses outros dois, o que ocasionou este ponto de intersecção por onde nós passamos a bissetriz. E, finalmente, a letra D: "Do ponto "A", desenhar um arco que intercepta os lados que formam o ângulo nos pontos "B" e "C". E, sim, foi exatamente isso que fizemos. Colocamos a ponta seca aqui, foi o primeiro passo e fizemos esse arco passando por "B" e por "C", determinando esses dois pontos aqui, não é? Portanto, o primeiro passo para construir a bissetriz é a letra "D". Beleza? Bom, na verdade, acabaram os problemas e acabou meu tempo também. Então, nos vemos nos próximos vídeos. Valeu. Tchau, tchau.