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Geometria: triângulos semelhantes 1 (padrão californiano)

Transcrição de vídeo

RKA - Na verdade, logo depois que parei aquele vídeo, eu percebi que existe uma maneira bem simples de mostrar para você que RP é congruente a TA, um pouco mais do que uma definição estrita. Se a gente conseguisse mostrar que esse triângulo (esse triângulo bem aqui, esse que eu desenhei em roxo) e esse triângulo que eu desenhei aqui são congruentes (esse triângulo é congruente), então, conseguimos raciocinar de forma razoável que RP vai ser congruente a TA porque são lados essencialmente correspondentes de dois triângulos congruentes. Esses triângulos congruentes devem estar invertidos um em relação ao outro. Então, como eu posso fazer esse raciocínio? No triângulo roxo, esse ângulo vai ser igual a este ângulo no triângulo amarelo. Na verdade, obtemos isso pelo fato de que este é um trapézio isósceles, de forma que os ângulos da base vão ser iguais. Nos dizem que este é um trapézio isósceles, de forma que sabemos que este lado vai ser congruente a esse lado, certo? E, finalmente, os dois dividem esse lado aqui. Os dois dividem o mesmo lado. Assim, podemos usar mais uma vez esse raciocínio: lado-ângulo-lado, em que lado, ângulo e lado são congruentes a este lado, ângulo e lado. Podemos dizer por lado-ângulo-lado, o triângulo TRP é congruente ao triângulo... qual? TAP. E, se os triângulos são congruentes, todos os lados correspondentes são iguais. Então, TA é congruente a RP. Mais uma vez, você não teria que fazer tudo isso pois é um teste de múltipla escolha; mas eu queria te dar... eu me sinto mal porque não estava dando mais definições, mais demonstrações exatas. Enfim... Problema número 11. Ok. Problema número 11. Uma declaração condicional é mostrada abaixo: se um quadrilátero tem diagonais perpendiculares, então é um losango. Pois bem. Qual das respostas abaixo rebate a afirmação acima? Dizem que, se temos diagonais perpendiculares, então é um losango. Se conseguirmos achar algo que tenha diagonais perpendiculares que não seja um losango, então teremos um exemplo contrário, certo? E isso não seria verdade. Então, vamos achar algo com diagonais perpendiculares que não seja um losango. Bom, esse tem diagonais perpendiculares, certo? As diagonais são perpendiculares uma a outra, todas compondo ângulos de 90 graus. E, claramente, isso não é um losango: parece uma pipa. Isso não é paralelo a isso, e aquele não é paralelo, então isso não é um losango. Assim, sem dúvida, esse é um exemplo contrário. Esse tem mesmo diagonais perpendiculares, mas também é um losango. Não é um exemplo contrário, é apenas um exemplo do que tentam dizer. Esse tem diagonais perpendiculares, é um quadrado; mas um quadrado é um subconjunto de losangos, então esse é outro exemplo. E, obviamente, esse não tem diagonais perpendiculares, não é um ângulo reto. Enfim, A é um exemplo contrário. Próxima pergunta. Problema 12. Vamos lá! Quais triângulos são semelhantes? Dois triângulos obtusângulos. Você sabe, obtusângulo significa que eles têm um ângulo obtuso. Pode parecer que onde isso é maior do que 90 graus, e o outro obtusângulo pode ser superobtuso, e deve ser parecido com isso. Pode ser bem obtuso, como esse. Claramente não são semelhantes; obviamente, esse ângulo é maior do que aquele. Ok, então, esses não são semelhantes. "Semelhante" significa que todos os ângulos correspondentes têm as mesmas medidas. É como congruente, mas você pode medir o tamanho. É como penso sobre eles. Esse triângulo... deixe-me... pode ser congruente a... deixe-me tentar desenhar para parecerem exatamente iguais... esse triângulo... não!... mas você pode imaginar se eu copiar e colar aquele, né?... mas só seria semelhante a esse triângulo se eu desenhasse tudo em escala, porque os tamanhos são diferentes. Mas todos os ângulos são os mesmos; é o significado de "semelhante". Então, vamos ver: dois triângulos escalenos com bases congruentes. Não, não é verdade, isso não é semelhante. Vamos dizer que dividem a mesma base. Um triângulo escaleno pode parecer assim, pode sair um pouco e vir para baixo assim, tá? E o outro triângulo escaleno tem a mesma base bem aqui; e os lados devem estar um pouco mais perto um do outro. Claramente, esses dois não são semelhantes. Esse ângulo é diferente daquele ângulo; todos os ângulos são diferentes. Então, não são triângulos semelhantes; então, esse não está certo. Dois triângulos retângulos devem ser semelhantes? Bom, não. Você pode ter um triângulo retângulo que se pareça com isso, onde talvez os dois lados sejam iguais, tá? É um triângulo 45-45-90. Ou pode ter algo assim, onde você tem um triângulo de 30-60-90. Claramente não são semelhantes: todos os ângulos não são os mesmos, mas os dois têm o de 90 graus. Então, já estou adivinhando que D é a resposta certa, mas vamos ver. Dois triângulos isósceles com ângulos de vértices congruentes. Então, estou assumindo que, quando dizem "ângulos de vértices congruentes", estou assumindo que quer dizer que todos os ângulos são congruentes. Talvez eu esteja esquecendo alguma coisa, então... dois triângulos isósceles... deixa eu pensar um pouquinho... dois triângulos isósceles... ah, na verdade, eu acho que querem dizer o ângulo do meio quando dizem "ângulo do vértice"... deixe-me... se esse é um dos meus triângulos isósceles... e "triângulo isósceles" significa que esse lado é igual a esse e esse ângulo é igual a esse... o ângulo do vértice, eu acho, quer dizer que é esse ângulo aqui... se eu tiver outro triângulo isósceles... vamos dizer que talvez seja um pouquinho menor, algo parecido com isso (e os ângulos do vértice são os mesmos)... se esse ângulo é igual a esse ângulo... bom, se aquele ângulo é igual a esse ângulo, e sabemos que é isósceles... se sabemos que é isósceles, isso é igual a isso, e esse tem que ser igual a esse, e sabemos que todos os ângulos são iguais. Como sabemos que esse ângulo é igual a esse? Bom, pensa só: qualquer que seja esse ângulo, vamos chamá-lo de "x", tá? Vamos chamar esse de ângulo "y", e esse de ângulo "y". Sabemos que "x + 2y = 180". 180 graus, certo? Ou que "2y" é igual a 180 graus menos "x"; ou "y = 90 - (x/2)", certo? Agora, se este é "x", e vamos chamar esses de "z" e "z", então, sabemos que "x + 2z = 180". A soma de todos os ângulos em um triângulo tem que ser 180. Subtraia "x" dos dois lados e tem "2z" que é igual a "180 - x" dividido por 2, que é igual a "z = 90 - (x/2)". Então, "z" e "y" vão ser ângulos iguais. Então, todos os ângulos são iguais e, assim, lidando com triângulo semelhantes, então, é a opção D. A opção D é definitivamente a resposta correta. 13... Ok. Vamos lá! Qual dos fatos a seguir seria suficiente para provar que o triângulo ABC (que é o triângulo maior), e o triângulo DBE (esse menor) são semelhantes? Temos que provar que todos os seus ângulos são semelhantes. Não posso olhar para as opções e posso adivinhar onde isso... assim, queremos provar que esses são semelhantes. Assim, antes de mais nada, eles compartilham o mesmo ângulo, certo? O ângulo ABC. Esse ângulo é igual ao ângulo DBE. Dessa forma, compartilham o mesmo ângulo. Então, temos um ângulo embaixo, certo? Vamos pensar. Se a gente soubesse que esse ângulo é igual àquele ângulo, e aquele ângulo é igual àquele ângulo, teríamos resolvido. E a melhor forma de chegar a essa conclusão é se, de alguma forma, nos dizem que isto e isso são paralelas. Acho que é por onde estão indo, mas posso estar indo por uma tangente completamente errada, porque esses dois são paralelos. Assim, essas duas linhas são transversais da paralela, de forma que este ângulo e este ângulo seriam correspondentes; então, seriam congruentes. Esse ângulo e esse ângulo seriam correspondentes e também congruentes. Se disseram, está resolvido! Esses são definitivamente triângulos semelhantes. E, claro, a alternativa C (diz que AC e DE são paralelas). Essas são paralelas; essa é a transversal; este é um ângulo correspondente àquele; então, são congruentes. Esse é o ângulo correspondente a esse; congruente. Então, todos os ângulos são congruentes. Temos dois triângulos semelhantes. Problema 14. Beleza! Paralelogramo ABCD é mostrado abaixo. Paralelogramo tem os lados opostos paralelos. Este é paralelo a este, e esse é paralelo a esse. Ok! E todas as alternativas estão embaixo, mas vou copiá-las de novo. Talvez eu vá copiá-las em cima da pergunta. Bom, deixe-me ver o que eu posso fazer... se eu colar aqui... é, acho que está bom... pouco convencional... ok... o paralelogramo mostrado abaixo... qual o par de triângulo que pode ser estabelecido para ser congruente para provar que o ângulo DAB é congruente ao ângulo BCD? Então, querem nos mostrar que DAB... DAB é esse; deixe-me fazer com outra cor... DAB é esse ângulo... é congruente a BCD. Querem nos demonstrar que têm a mesma medida de ângulo. Está bem! O que temos que demonstrar é que um par de triângulos pode ser estabelecido para ser congruente para provar que... ok! Se os dois são parte de dois triângulos congruentes diferentes e são ângulos correspondentes, então, saberemos que são congruentes. E, aí, está resolvido. Vamos ver o que dizem: os triângulos ADC e BCD. BCD tem esse ângulo nele, não é? BCD realmente nos ajuda porque tem esse ângulo nele; mas o triângulo ADC não tem esse ângulo nele. O triângulo ADC tem esse ângulo menor. ADC não envolve essa coisa toda, então, não vai nos ajudar. Triângulo AED: mais uma vez, não envolve esse ângulo maior, não envolve o ângulo DAB. Ele envolve apenas os ângulos menores, portanto, não vai nos ajudar. Triângulo DAB: parece bom! Tem esse ângulo inteiro dentro dele, DAB. E, então, BCD. Certo! Se a gente demonstrar que esse triângulo é congruente a este triângulo aqui, acho que resolvemos. Isso seria o suficiente para demonstrar que esse ângulo é congruente a esse ângulo, porque seriam ângulos correspondentes de um triângulo congruente. Acho que vamos, então, com a alternativa C. Só vamos olhar a alternativa D: DEC (triângulo DEC). Vamos esclarecer isso. O triângulo DEC não envolve qualquer um dos ângulos que nos interessa. Claramente, não envolve esse ângulo; e só envolve parte desse ângulo (somente essa parte; não envolve esse ângulo inteiro). Então, não vai nos ajudar também. A resposta é C. Bom, é C. Até o próximo vídeo!