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RKA - Aqui, um problema interessante envolvendo um perímetro do ano 2000 do exame da Olimpíada de Matemática. O diagrama mostra um retângulo que foi dividido em nove quadrados sobrepostos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quadrados sobrepostos. Dado que a altura e a largura do retângulo são inteiros positivos com maior divisor comum, então, eles estão falando sobre a largura e a altura do retângulo, a razão pela qual eles estão dizendo, o maior divisor comum é, eles dizem que não têm o divisor comum que pode dividir aos dois para obter uma relação mais simplificada e, pensar sobre o que é que pode ser enfrentado com duas escolhas. Uma, onde, talvez, esse lado aqui, deixe-me desenhar isso, 5 e 15, mas aqui, nosso maior divisor comum não é um, eles são os dois divisíveis por cinco aqui. Então, o que gostaria de fazer é dizer: "Não, ao invés de 5 e 15, eles precisam ser 1 e 3". Agora, tem a mesma relação dos dois lados mas, o maior divisor comum é 1. Você tem isso simplificado em uma forma ou a forma mais simplificada, se dividir as duas alturas e larguras por 5. Então, é por isso que eles estão dizendo, o maior divisor comum de 1. E dizem: encontre o perímetro do retângulo, vamos ver o que a gente pode fazer aqui. Convido você a fazer uma pausa e tentar resolver sozinho antes que eu continue o problema. Vamos começar do começo! Vamos começar com esse quadrado aqui, esse centro do quadrado. Dizem que são todos quadrados, digamos que o quadrado aqui tem um comprimento "x" e uma altura "x", é um quadrado "x" por "x". Deixa eu escrever isso. Sendo que isso é um "x" e isso é um "x", então, esse aqui é um quadrado "x" por "x". Tem esse quadrado aqui, não sabemos suas medidas, digamos que esse quadrado aqui é "y" por "y", então, e isso tem largura "y" e altura "y". Agora, qual é a medida do lado desse quadrado aqui? É um quadrado (x + y) por (x + y) porque a largura desses dois quadrados juntos feitos com a largura desse quadrado maior. Eu estou indo, na verdade, isso pode ser uma forma mais fácil de escrever isso, desde que são todos quadrados, vou escrever a dimensão daquele quadrado dentro do quadrado. Então, isso vai ser um quadrado "x" por "y", meio que uma anotação não convencional mas, vai nos ajudar a manter as coisas um pouco mais naturais. Isso vai ser um quadrado "y" por "y", então não estou dizendo que a área é "y", estou dizendo que é "y" por "y". Esse aqui será (x + y), será cada uma de suas dimensões: a altura (x + y) e largura (x + y). Esse aqui, bom, se essa dimensão é (x +y), e essa dimensão aqui é "x", então, esse lado inteiro ou, qualquer um dos lados desse quadrado, será a soma disso. Então, (x + x + y) é (2x + y). Você pode imaginar que eu esteja apenas rotulando o lado esquerdo de cada um desses quadrados, o lado esquerdo desse quadrado tem um comprimento "y", o lado esquerdo desse aqui é "x", esse aqui é (x + y) e esse aqui é (2x + y). Então, podemos ir para esse aqui em cima. Se essa distância aqui é (2x +y) e essa distância aqui é (x +y), você soma tudo junto para obter a dimensão inteira de um lado do quadrado. Vai ser 3x + 2y. 3x + 2y. Só somei o 2x + x e y + y para obter 3x + 2y, é o comprimento de uma dimensão ou, um lado desse quadrado e, eles são todos os mesmos. Agora, vamos a esse próximo quadrado, esse comprimento é (3x + 2y) e esse comprimento e (2x + y), então esse comprimento inteiro aqui será 5x + 3y. 5x + 3y será esse comprimento inteiro aqui. Também, podemos ir para esse lado aqui onde temos esse comprimento, vou usar a mesma cor, esse comprimento é 3x + 2y e isso é x + y e esse é "y". Se adicionar 3x mais 2y mais "x" mais "y" mais "y", vai obter 4x + 4y. Podemos expressar as dimensões desse em termos de "x" e "y". Isso vai ser 5x + 3y e eles terão 2x + y então, você terá "x". Você adiciona os "x" juntos, 5x mais 2x é 7x mais "x", é 8x e, adiciona os "y" juntos, 3y mais "y" e você não tem um "y" ali, isso vai ser +4y, são as dimensões desse quadrado. Finalmente, temos esse quadrado aqui, suas dimensões serão "y" mais (4x + 4y), então é 4x + 5y E, se pensarmos sobre as dimensões desse perímetro, desse retângulo real aqui, se pensarmos sobre a altura dele aqui, vai ser 5x mais 3y mais 8x mais 4y. Então, o 5 mais 8 é 13, 13x mais 3 mais 4 é 7y, essa é a altura. Também podemos pensar sua altura indo para o outro lado dele, talvez, isso nos dê algumas restrições úteis. Isso vai ter que ter o mesmo comprimento que esse aqui e se, a gente somar 4x mais 4x, obtemos 8x e se, somarmos 4y mais 5y, obtemos 9y, então, vão ter que ser iguais um ao outro. Então, é uma restrição interessante. 13x + 7y terá que ser igual a 8x + 9y. Podemos simplificar isso, se subtrair 8x dos dois lados, obtém: 5x e, se você subtrair 7y dos dois lados, obtém: 5x igual a 2y, ou poderia dizer "x" igual a 2⁄5 de "y". Para esses aparecerem como números inteiros, temos que pegar os números inteiros, mas vamos ver se temos outras restrições interessantes. Se olharmos embaixo desse aqui de cima e, isso nos dá mais informações, se somarmos 5x + 3y, mais 3x + 2y, mais 4x + 4y, essa dimensão de cima, 5x mais 3x é 8x, mais 4x é 12x, você obtém 12x, e tem 3y mais 2y mais 4y é, 5 mais 4 é 9y, +9y. É essa dimensão de cima, se for lá embaixo tem 8x mais 4x é 12x, deixa eu fazer da mesma cor, 12x e, então, você tem 4y mais 5y é 9y. Esses, na verdade, acabaram sendo os mesmos em termos de "x" e "y", então não estão dando mais nenhuma informação sem restrições. Obviamente, 12x + 9y será igual a 12x + 9y. Nossa única restrição nesse problema é o que conseguimos fazendo esse lado esquerdo igual a esse lado direito, "x" precisa ser igual a 2⁄5 de y. Vamos só pegar alguns números para obter números inteiros para "x" e "y" e conseguirmos descobrir o perímetro. Queremos ter certeza de que as dimensões não terão nenhum divisor comum, então, se pegarmos "y" igual a 5. Se pegarmos "y" igual a 5, olhando essa restrição, o que é x? Bom, então "x" é 2, será 2⁄5 vezes 5, "x" é igual a 2. Vamos ver o que conseguimos para as dimensões destes retângulos então. A altura desse retângulo será, vamos ver, 13 vezes 2 é 26, mais 7 vezes 5 é 35, 26 mais 35 dá, dá o quê? 61? Isso é igual a 61. Fiz certo? Vamos ver: 55 55 mais 6 é 61. Quando você olha para essa largura tem, 12x que é 24 mais 9y "y" é 5, então, mais 45. 24 mais 45 é 69, é igual a 69 e 61 e 69 não dividem nenhum divisor comum além de 1. Parece que terminamos ou, quase terminamos! Sabemos as dimensões do retângulo é um retângulo de 61 por 69 e, se quiser saber seu perímetro atual, você só soma todos. O perímetro aqui será, nós podemos ter os tambores agora, o perímetro será a 61 mais 69 mais 61 mais 69 que é igual a 61 mais 69 é 130, é um 130 aqui, 130 mais 130 é 260. Na verdade, não foi um problema tão ruim se a gente começar no meio e desenvolvermos dali e, achamos as dimensões em termos de dimensões destes dois quadrados menores e aí conseguimos achar o perímetro. Maravilha! Perfeito! Fui!