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Demonstração da fórmula de Heron (1 de 2)

Neste vídeo, testamos a fórmula de Heron para calcular a área de um triângulo, sabendo apenas as medidas de seus lados. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar scuttlebug green style do usuário Matheus
    neste caso, quando ele determina a altura do triangulo (h), o segmento (altura) corta o lado "c" em duas partes iguais ? se sim, poderia chamar ambos os lados de c/2 ?

    ja vi em outros videos, de demonstrações de teoremas que ele sempre assume uma altura dividindo o lado perpendicular em duas metades iguais.
    (2 votos)
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    • Avatar hopper jumping style do usuário Lucas De Oliveira
      Em geometria, você nunca pode confiar no desenho, pois você não sabe se ele está totalmente em escala e proporcional. Você tem que pensar qual é a ideia por trás das coisas. Por exemplo, a definição de altura é a reta que sai do vértice e é perpendicular ao lado oposto ou reta suporte, isto é, se a definição de altura não te diz que ela divide o lado oposto em duas partes iguais, então você não pode tomar isso como verdade. Por outro lado, a reta que sai do vértice e divide o lado oposto em duas partes iguais é exatamente a definição de mediana. Existe algum triângulo em que a mediana coincide com a altura? Sim! No triangulo equilatero, a mediana coincide com a altura, logo se você souber previamente que o triângulo é equilátero, então a altura divide o lado oposto em duas partes iguais, porque ela é também a mediana, que por definição o faz. Assim, você só pode supor que a altura divide o lado oposto em duas partes iguais se você sabe que o triangulo é equilatero, caso contrário não. Espero ter ajudado. Bons estudos!
      (3 votos)
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Transcrição de vídeo

RKA - Digamos que eu tenho um triângulo. Esse é meu triângulo. E só conheço os comprimentos dos lados do triângulo. Esse lado tem comprimento "a", esse tem comprimento "b" e esse "c". Me pedem para determinar a área desse triângulo. Até agora a única coisa que eu tenho é a ideia de que a área de um triângulo é igual a 1/2 vezes o comprimento da base do triângulo, vezes o comprimento da altura do triângulo. Então eu desenhei esse triângulo, a base desse triângulo seria o lado "c", mas não sabemos a altura. A altura seria "h" e nem sabemos quanto é "h". Opa! Isso seria "h". A pergunta é: como determinamos a área desse triângulo? Se você assistiu ao último vídeo, sabe que deve usar o teorema de Herão, mas a ideia é provar o teorema de Herão. Então, vamos tentar determinar "h" usando somente o teorema de Pitágoras para daí sabendo "h", a gente consegue aplicar essa fórmula e determinar a área desse triângulo. Bom, já chamamos de "h". Eu vou definir outra variável, esse é um truque que você vai ver algumas vezes na geometria. Eu vou definir esse "x". E se isso em magenta é "x", então, nessa cor roxo vai ser "c - x", certo? O comprimento inteiro é "c". Toda a base é "c", então se esta parte é "x" essa parte é "c - x". O que eu poderia fazer agora já que os dois são ângulos retos. E sei disso porque esta é a altura. Eu posso montar duas equações com o teorema de Pitágoras. Primeiro eu posso fazer esse lado esquerdo e escrever esse "x² + h²" que é igual a "a²". É isso que eu tenho do triângulo do lado esquerdo. Já do triângulo do lado direito eu tenho c - x² + h² = b². Eu estou considerando que conheço "a", "b" e "c". Então eu tenho duas equações com dois valores desconhecidos. Os valores desconhecidos são: "x" e "h". Lembre-se "h" é o que estamos tentando determinar porque já conhecemos "c", se souber "h" a gente pode aplicar a fórmula da área. Então, como podemos fazer isso? A gente vai substituir "h" para determinar "x". quando digo isso quero dizer calcular "h²". Para isolar "h²" é só subtrairmos "x²" dos dois lados e podemos escrever que "x²". Desculpe. Dá para escrever que h² = a² - x². Então vamos pegar essa informação e substituir aqui para isolar "h²". Esta equação, aqui embaixo, fica c - x² + h². Conhecemos "h²" desse lado esquerdo da equação, "h²" será igual a... vou fazer nessa cor a² - x² = b². É só substituir o valor disso aqui, o valor disso aqui. Agora vamos expandir essa expressão c - x² é c² - 2cx + x² e tenho menos... Ops, desculpa! Tenho + a² - x² = b². Tem 1x² e 'a - x²' ali, e eles se cancelam. Eles se cancelam. Vamos somar "2cx" dos dois lados da equação. Agora nossa equação seria c² + a²... estou somando 2cx dos dois lados, você soma 2cx aqui e tem zero é igual a b² + 2cx. Eu só cancelei o "x²" e depois somei o 2cx aos dois lados da equação. Meu objetivo é calcular "x", uma vez tendo "x" calculado eu posso calcular "h" e aplicar essa fórmula. Para calcular "x" vamos subtrair "b²" dos dois lados. Tem c² + a² - b² = 2cx. E se dividir os dois lados por 2c tem, c² + a² - b² sobre 2c e é igual a "x". Calculamos "x". Nosso objetivo é calcular a altura para poder aplicar a fórmula '1/2 vezes o comprimento da base vezes o da altura e para isso voltamos para esta equação para calcular a altura. Vou descer um pouquinho. Sabemos que a "h²" é igual a a² - x². Em vez de escrever "x²" vamos substituir. Então, é menos "x²". "x" é isso aqui: c² + a² menos b² sobre 2c². Isso é igual a "x²". Acabamos de calcular. "h" será igual a raiz quadrada de todo esse negócio aí dentro. Vou trocar as cores. de a² - c² + a² - b². Tudo ao quadrado, deixa eu arrumar um pouco. A raiz quadrada. Cuide para ter espaço o bastante. A raiz quadrada de a² menos todo esse negócio ao quadrado. Tem c² + a² - b² tudo sobre 2c. Esta é a altura do nosso triângulo, triângulo com o qual começamos. Vou dar um copiar e colar só para lembrar com o que estamos lidando. Copiar e colar aqui embaixo. Muito bem, sabemos que a altura é esta fórmula grande e complicada. A altura em função de "a", "b", e "c" é essa aqui. Se quiser determinar a área do nosso triângulo. Vou fazer em rosa. A área do triângulo será 1/2 vezes a nossa base. Nossa base é o comprimento total "c". vezes c, vezes nossa altura, que é essa expressão. Vou copiar e colar. Vezes a altura. Esta é a nossa expressão para área. Bom, você deve estar pensando, espera aí isso não está nada parecido com o teorema de Herão. E você tem razão não parece mesmo com o teorema de Herão, mas no próximo vídeo eu mostro que, basicamente, isso é o teorema de Herão. Essa é uma versão do teorema de Herão mais difícil de lembrar. Eu vou usar um monte de álgebra para simplificar e chegar ao teorema de Herão, mas funciona. Se conseguir memorizar, acho que Herão é muito mais fácil de memorizar, mas se memorizar... você conhece "a", "b" e "c" e aplica a fórmula e terá a área de um triângulo. Na verdade, vamos só aplicar para mostrar que dá o mesmo número que Herão. Então no último vídeo tinha um triângulo com lados 9, 11 e 16. E sua área usando Herão era igual a 18 vezes √7. Vamos ver o que tem quando aplicamos essa fórmula. Tem área que é igual a 1/2 vezes 16, vezes √a², isso é 81 menos... vamos ver, c² = 16 e é 256. 256 mais a², que é 81, menos b². Então, menos 121. Tudo ao quadrado, tudo sobre 2 vezes "c", tudo sobre 32. Vamos ver se dá para simplificar um pouco 81 - 121 = -40. Então, fica 216/32. A área é igual a 1/2 vezes 8... Vou mudar de cor. 1/2 vezes 16 é 8, vezes √81 menos [216/32]². 81 - 121 = -40. 256 - 40 é [216/32]². Agora tem bastante matemática pela frente, eu vou pegar a calculadora. Só estou tentando mostrar que esses dois números deveriam dar o mesmo número. Então, ligando a calculadora... Primeiro vamos determinar quanto é 18√7. 18 vezes √7 foi o que deu o teorema de Herão. Tem 47,62 vejamos se é 47,62. Então tem 8 vezes √81 menos 216 dividido por 32². E achamos nossas raízes quadradas que têm exatamente o mesmo número. Eu estava preocupado, na verdade, não fiz esse cálculo antes, então poderia ter cometido um erro. Mas esta aí tem exatamente o mesmo número. Nossa fórmula deu exatamente o mesmo valor que o teorema de Herão. E no próximo vídeo eu vou provar que isso pode ser reduzido com álgebra para chegar no teorema de Herão. Até o próximo vídeo!