Demonstração da fórmula de Heron (2 de 2)

[RKA20C] No último vídeo, afirmei que este resultado que a gente obteve para a área de um triângulo com lados com comprimentos A, B e C é equivalente à fórmula de Heron. Neste vídeo, quero mostrar que isso é equivalente à fórmula de Heron quando fazemos várias manipulações algébricas. A primeira coisa a fazer é colocar este ½c sob o sinal de uma raiz. Então, ½c é igual a raiz quadrada de c²/4. Se calcularem a raiz quadrada disso, obterão ½c. Então, toda essa expressão é igual a... Em vez de desenhar o radical, vou apenas escrever a raiz quadrada de c²/4 vezes tudo isso. Vou copiar e colar esta expressão. Copiar e colar... Vezes tudo isso. E é claro que tem que ser distribuído: c²/4 vezes tudo isso. Vamos agora fechar a raiz quadrada e distribuir o c²/4. Isso será igual a raiz quadrada... Deve ser difícil, mas acho que vocês vão gostar de ver como pode se transformar em algo tão simples como a fórmula de Heron. A raiz quadrada de c²/4 vezes a² é c²a² sobre 4 menos c² sobre 4. Estou só distribuindo. Vou escrever como um numerador ao quadrado sobre um denominador ao quadrado. Isso vezes (c² + a² - b²). Se eu elevar o denominador, que é 4c², imediatamente a gente vê que este c² e aquele c² se cancelam. Vou fechar os parênteses, assim. Claro, este 4 vezes aquele 4 vai resultar em... Bom, vou escrever assim: é igual a 4² (em vez de escrever 16). Vocês vão ver por que estou escrevendo assim. Agora, posso reescrever. Isso será igual a raiz quadrada... Estou trocando de cor arbitrariamente. Raiz quadrada de (ca/2)²... Que é igual àquilo, certo? Estou apenas escrevendo como tudo ao quadrado. Se eu elevar "ca/2" ao quadrado, menos... Vou escrever toda essa coisa como uma expressão ao quadrado. Então, é (c² + a² - b²)/4. Estamos elevando o numerador e o denominador ao quadrado. Agora, pode estar parecendo interessante... Vou usar uma cor diferente para os parênteses. Talvez se lembrem da fatoração de polinômios... Se tenho algo na forma de "x² - y²", isso é fatorado em: "(x + y) vezes (x - y)". Vamos usar isso muitas vezes! Agora, se eu chamar "ca/2" de "x" e chamar toda essa coisa grande de "y", teremos "x² - y²", e a gente pode fatorar. Toda essa coisa será igual a raiz quadrada de (x + y)... Neste caso, é "ca/2" + y, que é (c² + a² - b²)/4, vezes (x - y). (Este é o nosso x). "ca/2" menos todo esse negócio. Ou, até melhor, vou colocar o sinal negativo. Então, mais (-c² - a² + b²), tudo sobre 4. Portanto, tudo o que fiz foi dizer que isto é igual a isto mais isto... Isto mais isto vezes isto menos isto. Isto menos... Eu disse apenas "mais" o negativo disso: (-c² - a² + b²). Tudo que fiz foi isto aqui. Vamos ver agora se a gente consegue simplificar ou se a gente pode somar essas frações. Podemos pegar um denominador comum: ca/2 = 2ca/4. ca/2 = 2ca/4, vou apenas multiplicar o numerador e o denominador por 2. Agora, dá para somar os numeradores. Então, toda a nossa expressão será igual a: raiz quadrada desta primeira expressão... Que será... Eu vou escrever assim... Eu vou escrever: c² + 2ca + a² - b², tudo sobre 4. Esta é nossa primeira expressão. Nossa segunda expressão será... Bom, tudo será sobre 4. Vou escrever agora tudo sobre 4. Depois, a gente pode escrever como: b² - (c² - 2ca + a²). Apenas para me certificar: tenho um -a² aqui, mais vezes menos, ainda é -a². Tenho um +2ca aqui, menos vezes menos, é +2ca. Tenho um -c² aqui e um -c² aqui, essas duas coisas são equivalentes. A próxima coisa que precisamos reconhecer, ou espero que a gente possa reconhecer, é que pode ficar um pouco bagunçado. Isto é igual a: (c + a)². Isto é igual a raiz quadrada... Vou abrir parênteses. (c + a)² - b² sobre 4. Este é o primeiro termo. Depois, o segundo termo é igual a: (c - a)². Então, tudo será simplificado para: b² - (c - a)² sobre 4. Estamos progredindo. Como eu disse, este é um problema complicado. Mas estamos vendo algumas aplicações bacanas da fatoração de polinômios. e vendo como uma equação bizarra pode ser transformada em uma equação simples. Dá para usar exatamente a mesma propriedade, a gente tem esse padrão: alguma coisa ao quadrado menos outra coisa ao quadrado, podemos fatorar. Vou fazer na mesma linha. Então, será igual a... Vou escrever um pouco menor para não ficar sem espaço. A raiz quadrada... Isto será fatorado em isto mais isto. Então, (c + a + b) vezes (c + a - b), certo? É exatamente o mesmo padrão que fizemos aqui. x², que é y²... Vezes (c + a - b). Tudo sobre 4. Depois, a gente tem esta, que será (b + c - a). Vou rolar um pouquinho para a direita. Vezes (b + c - a), que é (x + y), vezes b - (c - a), isso é igual a (b - c + a). Isto é igual a: b - (c - a), certo? Certo! Tudo sobre 4. Agora dá para reescrever toda essa expressão. Não quero ficar sem espaço. então, reescrevo a expressão como? Bom, 4 é o produto de 2 × 2. Toda a nossa expressão, sem dúvida, foi simplificada para isto, que é igual a raiz quadrada... Estamos realmente na reta final! Posso simplesmente escrever como: (a + b + c) sobre 2. Isso é este termo aqui, vezes este termo, vezes aquele termo. Vou escrever uma simplificação. (c + a - b) = (a + b + c - 2b), essas duas coisas são equivalentes, tá? Nós temos um "a", um "c", depois, "-2b", que será igual a "-b". Certo? b - 2b = -b. Então, este próximo termo será (a + b + c - 2b) sobre 2. Ou, em vez de escrever assim, vou escrever sobre 2, menos isto sobre 2. Para o nosso próximo termo aqui, exatamente a mesma lógica. Isto é igual a: (a + b + c - 2a), tudo sobre 2, certo? Se a gente soma o "-2a" ao "a", obtemos "-a". E obtemos, então: (b + c - a). Estas são coisas idênticas. Assim, tudo sobre 2, ou a gente pode dividir os denominadores como isso sobre 2. Agora, o último termo, já podem ver a fórmula de Heron surgindo aqui. Não estava pensando na fórmula de Heron... Este termo é exatamente igual a: (a + b + c - 2c). Se tirarem "2c" de "c" obterão "-c". E ainda terão o "a" e o "b". Tudo sobre 2. Poderíamos escrever isso sobre 2 menos aquilo sobre 2. E, é claro, vamos calcular a raiz quadrada disso tudo. Agora, se a gente definir S = (a + b + c)/2, vamos simplificar muito essa equação! Aqui é S, ali é S. Aqui é S e ali é S. Podemos simplificar muito essas outras. -2b/2 = -b. -2a/2 = -a. -2c/2 = -c. Então, toda essa equação para a área é igual a... Eu vou reescrever a raiz quadrada. O radical, a raiz quadrada de S é isto aqui. Vou usar as mesmas cores. Vezes (S - b) vezes (S - a), vezes... Estamos na última: (S - c). Provamos que a fórmula de Heron é exatamente como o que provamos no final do último vídeo! E foi muito bacana, a gente só teve que usar um pouco de álgebra para provar isso. Até o próximo vídeo! Fui!