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Biblioteca de Geometria
Demonstração da fórmula de Heron (2 de 2)
Neste vídeo, testamos a fórmula de Heron para calcular a área de um triângulo, sabendo apenas as medidas de seus lados. Versão original criada por Sal Khan.
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- da onde veio o -(c^2/4) ?1:33(2 votos)
- Você precisa enxergar em () que o C^2/4 em rosa é distribuido. Ou seja multiplicado pelo a^2 que ele colocou o resultado diretamente em (c^2a^2)/2 (a 1º parte amarela), Já quando ele foi distribuir o restanto ele não colocou o resultado direto. Ele colocou o c^2/4 (aquele mesmo o rosa) que iria a multiplicar ou distribuir com o restante da expressão em verde. 1:33
Fica meio dificil de explicar assim por escrito. Mas foi isso.....(1 voto)
Transcrição de vídeo
[RKA20C] No último vídeo,
afirmei que este resultado que a gente obteve para a área
de um triângulo com lados com comprimentos A, B e C é equivalente à
fórmula de Heron. Neste vídeo, quero mostrar que isso
é equivalente à fórmula de Heron quando fazemos várias
manipulações algébricas. A primeira coisa a fazer
é colocar este ½c sob o sinal de uma raiz. Então, ½c é igual a
raiz quadrada de c²/4. Se calcularem a raiz quadrada disso,
obterão ½c. Então, toda essa expressão é igual a... Em vez de desenhar o radical,
vou apenas escrever a raiz quadrada de
c²/4 vezes tudo isso. Vou copiar e colar
esta expressão. Copiar e colar... Vezes tudo isso. E é claro que
tem que ser distribuído: c²/4 vezes tudo isso. Vamos agora fechar a raiz quadrada
e distribuir o c²/4. Isso será igual a raiz quadrada... Deve ser difícil, mas acho
que vocês vão gostar de ver como pode se transformar
em algo tão simples como a fórmula de Heron. A raiz quadrada de
c²/4 vezes a² é c²a² sobre 4
menos c² sobre 4. Estou só distribuindo. Vou escrever como
um numerador ao quadrado sobre um denominador ao quadrado. Isso vezes
(c² + a² - b²). Se eu elevar o denominador, que é 4c², imediatamente a gente vê que este c² e
aquele c² se cancelam. Vou fechar os parênteses, assim. Claro, este 4 vezes aquele 4
vai resultar em... Bom, vou escrever assim: é igual a 4²
(em vez de escrever 16). Vocês vão ver por que
estou escrevendo assim. Agora, posso reescrever. Isso será igual a raiz quadrada... Estou trocando de cor
arbitrariamente. Raiz quadrada de (ca/2)²... Que é igual àquilo, certo? Estou apenas escrevendo
como tudo ao quadrado. Se eu elevar "ca/2"
ao quadrado, menos... Vou escrever toda essa coisa como
uma expressão ao quadrado. Então, é (c² + a² - b²)/4. Estamos elevando o numerador
e o denominador ao quadrado. Agora, pode estar parecendo
interessante... Vou usar uma cor diferente
para os parênteses. Talvez se lembrem da
fatoração de polinômios... Se tenho algo na forma de "x² - y²",
isso é fatorado em: "(x + y) vezes (x - y)". Vamos usar isso
muitas vezes! Agora, se eu chamar
"ca/2" de "x" e chamar toda essa
coisa grande de "y", teremos "x² - y²",
e a gente pode fatorar. Toda essa coisa será igual
a raiz quadrada de (x + y)... Neste caso, é "ca/2" + y, que é (c² + a² - b²)/4, vezes (x - y).
(Este é o nosso x). "ca/2" menos
todo esse negócio. Ou, até melhor, vou colocar
o sinal negativo. Então, mais (-c² - a² + b²),
tudo sobre 4. Portanto, tudo o que fiz foi dizer
que isto é igual a isto mais isto... Isto mais isto vezes
isto menos isto. Isto menos... Eu disse apenas "mais"
o negativo disso: (-c² - a² + b²). Tudo que fiz foi
isto aqui. Vamos ver agora se a gente
consegue simplificar ou se a gente pode
somar essas frações. Podemos pegar um
denominador comum: ca/2 = 2ca/4. ca/2 = 2ca/4, vou apenas multiplicar o numerador
e o denominador por 2. Agora, dá para somar
os numeradores. Então, toda a nossa expressão
será igual a: raiz quadrada desta
primeira expressão... Que será...
Eu vou escrever assim... Eu vou escrever: c² + 2ca + a² - b²,
tudo sobre 4. Esta é nossa
primeira expressão. Nossa segunda expressão será... Bom, tudo será sobre 4. Vou escrever agora
tudo sobre 4. Depois, a gente pode
escrever como: b² - (c² - 2ca + a²). Apenas para me certificar:
tenho um -a² aqui, mais vezes menos,
ainda é -a². Tenho um +2ca aqui,
menos vezes menos, é +2ca. Tenho um -c² aqui
e um -c² aqui, essas duas coisas
são equivalentes. A próxima coisa que
precisamos reconhecer, ou espero que
a gente possa reconhecer, é que pode ficar
um pouco bagunçado. Isto é igual a:
(c + a)². Isto é igual a raiz quadrada... Vou abrir parênteses. (c + a)² - b²
sobre 4. Este é o primeiro termo. Depois, o segundo termo
é igual a: (c - a)². Então, tudo será
simplificado para: b² - (c - a)²
sobre 4. Estamos progredindo. Como eu disse, este é um
problema complicado. Mas estamos vendo algumas aplicações
bacanas da fatoração de polinômios. e vendo como uma equação bizarra pode
ser transformada em uma equação simples. Dá para usar exatamente
a mesma propriedade, a gente tem esse padrão:
alguma coisa ao quadrado menos outra coisa ao quadrado,
podemos fatorar. Vou fazer na mesma linha. Então, será igual a... Vou escrever um pouco menor
para não ficar sem espaço. A raiz quadrada... Isto será fatorado
em isto mais isto. Então, (c + a + b) vezes (c + a - b), certo? É exatamente o mesmo padrão
que fizemos aqui. x², que é y²... Vezes (c + a - b). Tudo sobre 4. Depois, a gente tem esta,
que será (b + c - a). Vou rolar um pouquinho
para a direita. Vezes (b + c - a), que é (x + y), vezes b - (c - a), isso é igual a
(b - c + a). Isto é igual a:
b - (c - a), certo? Certo! Tudo sobre 4. Agora dá para reescrever
toda essa expressão. Não quero ficar sem espaço.
então, reescrevo a expressão como? Bom, 4 é o produto de 2 × 2. Toda a nossa expressão, sem dúvida,
foi simplificada para isto, que é igual a raiz quadrada... Estamos realmente na reta final! Posso simplesmente escrever como:
(a + b + c) sobre 2. Isso é este termo aqui, vezes este termo,
vezes aquele termo. Vou escrever
uma simplificação. (c + a - b) = (a + b + c - 2b), essas duas coisas são
equivalentes, tá? Nós temos um "a",
um "c", depois, "-2b",
que será igual a "-b". Certo? b - 2b = -b. Então, este próximo termo será
(a + b + c - 2b) sobre 2. Ou, em vez de escrever assim,
vou escrever sobre 2, menos isto sobre 2. Para o nosso próximo termo aqui,
exatamente a mesma lógica. Isto é igual a:
(a + b + c - 2a), tudo sobre 2, certo? Se a gente soma o "-2a" ao "a",
obtemos "-a". E obtemos, então:
(b + c - a). Estas são coisas idênticas. Assim, tudo sobre 2, ou a gente pode dividir os denominadores
como isso sobre 2. Agora, o último termo, já podem ver a fórmula de Heron
surgindo aqui. Não estava pensando
na fórmula de Heron... Este termo é exatamente igual a:
(a + b + c - 2c). Se tirarem "2c" de "c" obterão "-c". E ainda terão o "a" e o "b". Tudo sobre 2. Poderíamos escrever isso sobre 2
menos aquilo sobre 2. E, é claro, vamos calcular
a raiz quadrada disso tudo. Agora, se a gente definir
S = (a + b + c)/2, vamos simplificar muito essa equação! Aqui é S, ali é S. Aqui é S e ali é S. Podemos simplificar muito
essas outras. -2b/2 = -b. -2a/2 = -a. -2c/2 = -c. Então, toda essa equação
para a área é igual a... Eu vou reescrever
a raiz quadrada. O radical, a raiz quadrada de S
é isto aqui. Vou usar as mesmas cores. Vezes (S - b)
vezes (S - a), vezes... Estamos na última: (S - c). Provamos que a fórmula de Heron é exatamente como o que provamos
no final do último vídeo! E foi muito bacana, a gente só teve que usar
um pouco de álgebra para provar isso. Até o próximo vídeo!
Fui!