Área do floco de neve de Koch (2 de 2)

RKA - No último vídeo conseguimos determinar que a área deste floco de neve Koch tem um perímetro infinito e pode ser expresso como esta soma infinita. A nossa tarefa neste vídeo é tentar simplificar isso e chegar em um valor finito. Vamos tentar simplificar. A parte mais fácil para simplificar é isso aqui, então vamos nos focar nisso. E se conseguir um valor para esta parte que eu estou separando com colchete, então dá para colocar esse valor aqui e simplificar o resto. O que eu separei com colchete pode ser reescrito como 3 vezes 4/9, mais (4/9)², mais 4/9³ e você continua assim indefinidamente. Mais 4/9 elevado a todas as potências até o infinito e além. E sorte nossa que existe uma forma de determinar este infinito que chamamos de série geométrica. Tem alguns vídeos, na verdade, eu acho que já fiz vários vídeos onde eu provo isso de forma geral. Mas dessa vez eu vou fazer a mão para não ter que recorrer às fórmulas mágicas. Digamos que definimos uma soma chamada de "S". Vou dizer que "S" é igual ao que tem neste parênteses e vai ser igual a 4/9 + (4/9)² + (4/9)³ até o infinito e além. Agora vamos também considerar que multiplicar "S vezes 4/9". Vou escrever...se multiplicar "S vezes 4/9" como fica "4/9S"? Basicamente estou multiplicando cada termo aqui por 4/9. Então, se eu pegar esse primeiro termo e multiplicar por 4/9 o resultado será (4/9)² . E se eu pegar o segundo termo e multiplicar por 4/9, vou ter (4/9)³. Agora é continuar assim até o infinito e além. Isso é interessante. Quando multiplico 4/9 por "S" eu tenho todos os termos menos esse primeiro 4/9. Agora é meio mágico porque podemos encontrar a soma de uma série geométrica infinita subtraindo esse termo aqui. E dá para subtrair esta linha rosa desta linha verde. Se fizer isso, claramente, vai ser igual àquilo e àquilo que é igual àquilo. Então se subtrair isso daquilo é equivalente a subtrairmos o rosa do verde. E tem S - 4/9S Vou fazer em rosa para saber o que estamos fazendo. - 4/9S é igual a todos os outros termos. Esse cara menos esse cara vão se cancelar, esse cara menos esse cara vão se cancelar e isso vai acontecer até o infinito. Do lado direito você só vai ter esse 4/9 aqui. Esse 4/9, nós podemos. "S" é a mesma coisa que 9/9, dá para escrever como 9/9S menos 4/9S e é igual a 4/9. 9/9 - 4/9 de alguma coisa nos dá 5/9, então isso vira 5/9S que é igual a 4/9 e para solucionar "S". E isso é meio mágico, mas na verdade bem lógico. Multiplicamos os dois lados pelo inverso e vezes 9/5 para poder isolar o "S". Esses caras se cancelam e tem que S=4/5. O que é bem legal! Essa coisa toda que a gente acabou de demonstrar é igual a 4/5. Então, este colchete inteiro que fizemos é igual a 3 vezes 4/5. Todo esse colchete é igual a 3 vezes 4/5 ou é igual a 12/5. Esse colchete inteiro. Agora vamos para nossa expressão original para não perder de vista o que estamos fazendo. Tem a √3S²/16 e tem esse 4 aqui mais tudo simplificado para 12/5. Agora para somar essas duas coisas podemos reescrever 4 como 20/5. E 20/5 mais 12/5 que vai dar 32/5. Então, tudo isso aqui será 32/5. Agora estamos quase no final. E é muito legal porque estamos quase determinando a área finita de algo que tem um perímetro infinito. Melhor reescrever. Eu só não quero que fique tudo bagunçado. √3S²/16 vezes 32/5. E 32 dá para dividir tanto o numerador como o denominador por 16. 32 dividido por 16 é 2. 16 dividido por 16 é 1. E tem, aqui é onde realmente fica muito legal, a área de um floco de neve Koch onde o triângulo equilátero inicial que a gente começa tem lados de comprimento "S". E todos têm comprimento "S" porque é um triângulo equilátero. Vou fazer isso em magenta. 2 vezes a √3S². E qualquer que seja o comprimento do lado vamos usar o 2 e a √3, além do S² sobre 5. Por exemplo, se esse primeiro triângulo equilátero que começamos tem comprimento de lado 1, então a área dessa coisa maluca, que tem perímetro infinito, seria 2√3 vezes 1²/ 5 ou 2√3 / 5. Enfim, eu achei muito legal!