Um quadrilátero especial pode existir

RKA2MB Tem uma pergunta interessante que vem dos engenheiros da Khan Academy enquanto trabalhavam no código: existe algum quadrilátero... eu desenhei um quadrilátero arbitrariamente aqui, quadrilátero ABCD)... mas existe algum quadrilátero que, se eu desenhasse as diagonais... uma diagonal é BD, a outra é AC... e o ponto de intersecção dessas duas diagonais é o ponto E.... existe algum quadrilátero em que o ângulo AEB é congruente ao ângulo ECB? Eu vou deixar você pensar sobre isso um pouquinho. Existe algum quadrilátero em que esses dois ângulos serão congruentes entre si? Para pensar se é possível, vamos considerar que é. Então, vamos considerar que tenha um quadrilátero em que este é o caso: em que AEB, este ângulo, é congruente com o ângulo ECB. Vamos considerar desde o início. Agora, vamos dar uma olhada nisso de um jeito diferente. DB é um segmento, mas é um segmento de uma reta maior. Então, se estender assim... e vamos chamar essa reta maior de reta ℓ... esta aqui é a reta ℓ. DB é um subconjunto da reta ℓ, e CB, que é um segmento, também é um subconjunto de uma reta. Dá para chamar a reta... se continuar estendendo... vamos chamar essa reta de "m" (reta "m"). CB é um subconjunto da reta "m", e também tem o subconjunto do segmento AC. E AC, mais uma vez, é um segmento, mas podemos encarar como um subconjunto de uma reta maior; e vamos chamar essa reta maior de "n". Dá para ver que ela cruza tanto com a reta ℓ como a reta "m", então vou desenhar assim. Essa é a reta "n". E consideramos que o ângulo AEB é congruente com o ângulo ECB. O ponto E é onde "n" e ℓ se cruzam. Este é o ponto E. E o ponto C é onde a reta "n" e "m" se cruzam. Este é o ponto C. Esta consideração mostra que este ângulo AEB... eu vou fazer na mesma cor aqui... AEB é congruente a este ângulo. ECB é congruente àquele ângulo. Esses ângulos são estes ângulos aqui. O que isso nos diz sobre as retas "m" e ℓ? Da forma como montamos, tem duas retas: retas ℓ e "m". A reta "n" é transversal. Agora, tem dois ângulos correspondentes que são congruentes. Consideramos desde o começo que dá para encontrar dois quadriláteros em que esses dois ângulos correspondentes são congruentes. Mas, se tem dois ângulos correspondentes que são congruentes, quer dizer que essas duas retas devem ser paralelas. Então, isso nos diz que a reta ℓ é paralela à reta "m". A reta ℓ é paralela à reta "m", o que significa que elas nunca vão se cruzar. Mas, agora, estamos vendo uma contradição! E eu vou deixar você pensar sobre isso mais um pouco. A contradição que aparece é que, se a reta ℓ é paralela à reta "m", então qualquer subconjunto dessas duas retas têm que ser paralelo entre si. Se ℓ é paralela a "m", isso diz que DB (o segmento DB) tem que ser paralelo ao segmento CB; significa que nunca podem se cruzar. Mas é uma contradição: elas se cruzam! Elas se cruzam bem aqui! Daí, se a gente considerar que existe um quadrilátero em que este é o caso, terá uma contradição, algo que não é possível por definição; era um quadrilátero. Essa diagonal cruza no ponto B, que é onde esse lado cruza também. Elas têm que se cruzar. Essas duas não podem ser paralelas para que possa ser um quadrilátero e, por causa disso, é impossível que qualquer quadrilátero deste ângulo AEB seja congruente com este ângulo ECB.