Introdução aos triângulos retângulos especiais (parte 1)

RKA - Bem-vindo à apresentação sobre triângulos 45-45-90. Vou escrever isso aqui, triângulos 45-45-90. Ou poderíamos dizer triângulos retângulos de 45-45-90, mas isso pode ser redundante, porque sabemos que qualquer ângulo que tem a medida de 90° é um triângulo retângulo. Como você pode imaginar, 45-45-90: esses são, na verdade, os graus dos ângulos do triângulo, então, por que esses triângulos são especiais? Bom, se viu a última apresentação que fiz, apresentei um pequeno teorema que dizia que se dois desses ângulos da base de um triângulo são iguais, acho que só o ângulo da base, se desenhar nessa forma, poderia desenhar assim. Nesse caso, talvez, não seria tão óbvio que é um ângulo da base, mas, ainda assim, seria verdade. Se esses dois ângulos são iguais, então, os lados que eles não compartilham, esse lado e esse lado, nesse exemplo, ou esse lado e esse lado, nesse exemplo. Então, os dois lados vão ser congruentes. Então, o que é interessante sobre um triângulo 45-45-90, é que é um triângulo retângulo que têm essa propriedade, e como sabemos que é só o triângulo retângulo que têm essa propriedade? Você poderia imaginar que alguém te disse que esse é um triângulo retângulo. Isso é 90°, então, essa é a hipotenusa e o lado oposto ao ângulo de 90°. E, se fosse te dizer que esses dois ângulos são iguais entre si, o que esses ângulos tem que ser? Bom, se chamarmos esses dois ângulos de "x", sabemos que os ângulos num triângulo têm que somar 180, então, diríamos "x" mais "x" mais 90 é igual a 180, ou 2x mais 90 é igual a 180, ou 2x é igual a 90, ou "x" é igual a 45°. Então, o único triângulo retângulo no qual os outros dois ângulos são iguais é o triângulo 45-45-90. Então, o que é interessante sobre o triângulo 45-45-90? Bom, além do que acabei de falar, vou desenhar de novo, vou redesenhar dessa forma. Já sabemos que isso tem 90°, isso tem 45° e isso tem 45°. E, baseado no que acabei de falar, também sabemos que os lados que os ângulos de 45° não compartilham são iguais. Então, esse lado é igual a esse lado. E, se estivermos vendo pelo ponto de vista do Teorema de Pitágoras, isso nos mostra que os dois lados que não são a hipotenusa são iguais, então, essa é a hipotenusa. Vamos chamar esse lado de "A" e esse lado de "B". Sabemos do Teorema de Pitágoras, vamos dizer que a hipotenusa é igual a "C". O Teorema de Pitágoras nos diz que A² mais B² é igual a C², certo? Sabemos que "A" é igual a "B", porque esse é um triângulo 45-45-90, então, podemos substituir "A" por "B" ou "B" por "A". Nós vamos apenas substituir "B" por "A". Poderíamos dizer que B² mais B² é igual a C², ou, 2B² é igual a C², ou B² é igual a C²/2, ou "B" é igual a √C²/2. o que é igual a "C", porque só pegamos a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador. C sobre √2 e, na verdade, mesmo que isso seja uma apresentação sobre triângulos, vou te dar um pouco de informação extra sobre uma coisa chamada racionalização de denominadores. Então, está perfeitamente correto. Acabamos de encontrar "B" e também sabemos que "A" é igual a "B", mas que B é igual a C/√2. Verificamos que, geralmente, na matemática, e eu nunca entendi, exatamente, porque era esse o caso, as pessoas não gostam da √2 no denominador, ou, em geral, não gostam de números irracionais no denominador. Números irracionais são números que têm casas decimais que nunca se repetem e nunca acabam. A forma que eles se livram dos números irracionais no denominador é que você faz o que se chama de racionalizar o denominador. E a forma que se racionaliza denominador, vamos pegar nosso exemplo agora: se tínhamos c/√2, só multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo número, certo? Porque quando você multiplica o numerador e o denominador pelo mesmo número, é exatamente como multiplicar por 1 e a fração não é alterada. A √2/√2 é 1 e, como vê, a razão de estarmos fazendo isso é porque a √2 vezes a √2, qual é a √2 vezes a √2? É 2, certo? Acabamos de dizer que alguma coisa vezes alguma coisa é 2. Bom, a √2 vezes √2 que vai ser 2 e, então, o numerador é c√2. Observe: C√2/2 é a mesma coisa que C/√2. E isso é importante perceber porque, às vezes, enquanto você está fazendo um teste padronizado, ou está fazendo um teste em aula, pode chegar a uma resposta que se pareça com essa, tem uma √2, ou até mesmo uma √3, ou outra qualquer no denominador. E pode não ver sua resposta se for um teste de múltipla escolha. O que precisa fazer, nesse caso, é racionalizar o denominador. Então, multiplicar o numerador e o denominador por √2 e terá a √2/2. Mas, enfim. Então, o que aprendemos? Isso é igual a "B", certo? Então, acontece que "B" é igual a C√2/2. Vou escrever isso: sabemos que "A" é igual a "B", certo? E que é igual a √2/2 vezes "C". Agora, você pode querer memorizar isso, apesar de sempre poder deduzir, se usar o Teorema de Pitágoras e lembrar que os lados que não são a hipotenusa em um triângulo 45-45-90 são congruentes entre si. Isso é muito bom saber. Por causa disso, você está fazendo os testes para a faculdade e precisa resolver um problema muito rápido e, se tem isso memorizado e alguém te dá a hipotenusa, pode encontrar quais são os lados bem rápido,. Ou, se alguém te dá um dos lados, pode descobrir a hipotenusa rápido. Vamos tentar isso. Vou apagar tudo. Acabamos de aprender que "A" é igual a "B", é igual √2/2 vezes "C". Tivemos um triângulo retângulo, e se fosse te dizer que o ângulo reto é 90° e esse ângulo é 45°, e que esse lado é, vamos dizer, que esse lado seja 8, quero descobrir qual é esse lado. Antes de tudo, vamos indicar que lado é a hipotenusa, ela é o lado oposto ao ângulo reto. Estamos tentando encontrar a hipotenusa. Vamos chamar a hipotenusa de "C" e também sabemos que esse é um triângulo 45-45-90, porque esse ângulo é 45°, então, isso também tem que ser 45°, porque 45 mais 45 mais 90 é igual a 180. Então, isso é um triângulo 45-45-90 e sabemos que um dos lados, esse lado poderia ser "A" ou "B", sabemos que 8 é igual a a √2/2 vezes "C". "C" é o que estamos tentando encontrar. Se multiplicarmos ambos os lados dessa equação por 2 vezes √2, estou só multiplicando pelo inverso do coeficiente de "C" porque √2 se anula com √2, esse 2 se anula com esse 2, temos 2 vezes 8 dá 16 sobre √2 igual a "C". O que seria correto, mas como acabei de mostrar, as pessoas não gostam de ter radicais no denominador, então, podemos dizer que "C" é igual a 16 sobre √2, vezes √2 sobre √2,. Isso é igual a 16√2 sobre 2, que é o mesmo que 8√2. "C", nesse exemplo, é 8√2, e também sabemos que desde que seja um triângulo 45-45-90, que esse lado é 8. Espero que faça sentido. Na próxima apresentação, vou mostrar um tipo diferente de triângulo. Na verdade, posso até começar com mais alguns exemplos disso, porque acho que posso ter acelerado um pouco, mas, enfim. Vejo você na próxima apresentação.