*Qual é o valor exato de csc 45 graus* ? *Resolução* : O triangulo é retângulo, portanto ele possui um angulo de 90 graus, e se um tem 45 graus outro também tem 45.. Então percebemos que o mesmo tem dois lados iguais. Vamos chamar os lados de *x* *1 passo - encontrar o valor da hipotenusa*. `Hip²= x² + x² ` `Hip =Raiz de 2x² ` `Hip = x.raiz de 2` *2 passo - encontrar o valor da csc*. `Csc de 45 = Hip/ Co ` `Csc de 45 = x.raiz de 2/ x` `Cancela x com x` *R* = raiz de 2.

Complementando, a mesma explicação de outra maneira: (alias é só um complemento por curiosidade, me alonguei um pouco) poderia recordar que o ângulo de 45 graus faz parte do triângulo especial 45-45-90, que possui já as razões conhecidas. No caso o que nos seria útil é o sen(45)=raiz de 2 / 2 Então como o cossec(45) é a inversa, basta fazer de uma das maneiras: 1) Maior e mais detalhada: sen(45)=raiz de 2 / 2 então: cossec(45) = 2 / raiz de 2 precisamos tirar o irracional do denominador, então: cossec(45) = (2 / raiz de 2) . (raiz de 2 / raiz de 2) cossec(45) = (2 . raiz de 2) . ( raiz de 2 . raiz de 2 ) cossec(45) = (2 . raiz de 2) . ( 2 ) cossec(45) = raiz de 2 2) Menor Você precisa se lembrar de onde saiu a razão já conhecida sen(45)=raiz de 2 / 2 Ela era inicialmente sen(45)=1/raiz de 2, e virou sen(45)=raiz de 2 / 2 apenas quando multiplicamos o numerador e denominador por raiz de 2 para retirar o número irracional do denominador. Neste caso podemos considerar que: sen(45)=1/raiz de 2 como cossecante é inversa de seno: cossec(45)=raiz de 2 Isso, desculpe a resposta grande :)

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Biblioteca de Geometria

Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 13

Lição 8: Razões trigonométricas recíprocas

Razões trigonométricas recíprocas

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Saiba como cossecante, secante e cotangente são as recíprocas das razões trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente.

Já aprendemos as razões trigonométricas básicas:

Mas existem mais três razões que devemos levar em conta:

Em vez de start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, podemos considerar start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
Em vez de start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, podemos considerar start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction.
Em vez de start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction, podemos considerar start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.

Essas novas razões são as razões trigonométricas inversas, e vamos aprender seus nomes.

A cossecante left parenthesis, c, o, s, s, e, c, right parenthesis

A cossecante é a inversa do seno. Ele é a razão entre a hipotenusa e o lado oposto a um dado ângulo em um triângulo retângulo.

s, e, n, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

c, o, s, s, e, c, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

A secante left parenthesis, \sec, right parenthesis

A secante é a inversa do cosseno. Ele é a razão entre a hipotenusa e o lado adjacente a um dado ângulo em um triângulo retângulo.

cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

A cotangente left parenthesis, c, o, t, g, right parenthesis

A cotangente é a inversa da tangente. Ela é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto em um triângulo retângulo.

t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

c, o, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Como as pessoas se lembram dessas coisas?

Para a maioria das pessoas, é mais fácil lembrar dessas novas razões relacionando-as às suas inversas. A tabela abaixo resume essas relações.

	Descrição verbal	Relação matemática
cossecante	A cossecante é a inversa do seno.	c, o, s, s, e, c, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, s, e, n, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
secante	A secante é a inversa do cosseno.	\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
cotangente	A cotangente é a inversa da tangente.	c, o, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction

Como encontrar razões trigonométricas recíprocas

Vamos analisar um exemplo.

Calcule a c, o, s, s, e, c, left parenthesis, C, right parenthesis, a \sec, left parenthesis, C, right parenthesis e a c, o, t, g, left parenthesis, C, right parenthesis no triângulo abaixo.

Solução

Cálculo da cossecante

Sabemos que a cossecante é a inversa do seno.

Já que o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, a cossecante é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.

\begin{aligned}\operatorname{cossec} (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}} {\blueD{\text{ cateto oposto}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{15}} \end{aligned}

Cálculo da secante

Sabemos que a secante é a inversa do cosseno.

Já que o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, a secante é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.

\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}

Cálculo da cotangente

Sabemos que a cotangente é a inversa da tangente.

Já que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, a cossecante é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.

\begin{aligned}\operatorname{cotg} (C) &= \dfrac{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}{\blueD{\text{cateto oposto}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

[Eu gostaria de ver mais exemplos, por favor.]

Agora é sua vez!

Problema 1

c, o, s, s, e, c, left parenthesis, X, right parenthesis, equals

Problema 2

\sec, left parenthesis, W, right parenthesis, equals

Problema 3

c, o, t, g, left parenthesis, R, right parenthesis, equals

Desafio

Qual é o valor exato da c, o, s, s, e, c, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

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Vinicius Barbosa
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “*Qual é o valor exato de ...” de Vinicius Barbosa
Qual é o valor exato de csc 45 graus ?
Resolução : O triangulo é retângulo, portanto ele possui um angulo de 90 graus, e se um tem 45 graus outro também tem 45.. Então percebemos que o mesmo tem dois lados iguais. Vamos chamar os lados de x
1 passo - encontrar o valor da hipotenusa.
Hip²= x² + x²
Hip =Raiz de 2x²
Hip = x.raiz de 2

2 passo - encontrar o valor da csc.
Csc de 45 = Hip/ Co
Csc de 45 = x.raiz de 2/ x
Cancela x com x
R = raiz de 2.
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(18 votos)
Resposta
- Gabriel Bender
  Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Complementando, a mesma e...” de Gabriel Bender
  Complementando, a mesma explicação de outra maneira:
  (alias é só um complemento por curiosidade, me alonguei um pouco)
  
  poderia recordar que o ângulo de 45 graus faz parte do triângulo especial 45-45-90, que possui já as razões conhecidas.
  No caso o que nos seria útil é o sen(45)=raiz de 2 / 2
  
  Então como o cossec(45) é a inversa, basta fazer de uma das maneiras:
  
  1) Maior e mais detalhada:
  sen(45)=raiz de 2 / 2
  então:
  cossec(45) = 2 / raiz de 2
  precisamos tirar o irracional do denominador, então:
  cossec(45) = (2 / raiz de 2) . (raiz de 2 / raiz de 2)
  cossec(45) = (2 . raiz de 2) . ( raiz de 2 . raiz de 2 )
  cossec(45) = (2 . raiz de 2) . ( 2 )
  cossec(45) = raiz de 2
  
  2) Menor
  Você precisa se lembrar de onde saiu a razão já conhecida sen(45)=raiz de 2 / 2
  Ela era inicialmente sen(45)=1/raiz de 2, e virou sen(45)=raiz de 2 / 2 apenas quando multiplicamos o numerador e denominador por raiz de 2 para retirar o número irracional do denominador.
  Neste caso podemos considerar que:
  sen(45)=1/raiz de 2
  como cossecante é inversa de seno:
  cossec(45)=raiz de 2
  
  Isso, desculpe a resposta grande :)
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