Exemplo de problema de triângulo 30-60-90

RKA - Então, temos esse retângulo bem aqui, chamamos o comprimento de AB é igual a 1, como é mostrado aqui. AB é igual a 1, e nos dizem que BE e BD trissecam o ângulo ABC em três. BE e BD trissecam o ângulo ABC. Trissecar significa dividir um ângulo em três ângulos iguais. Isso significa que esse ângulo é igual a esse ângulo, que é igual a esse ângulo. O que querem que a gente descubra é qual o perímetro do triângulo BED. Triângulo BED. Então, é como esse triângulo médio e o retângulo bem aqui. Assim, a princípio parece ser um problema bem difícil, porque você pensa: qual é a largura desse retângulo? Como posso começar isso? Nos deram apenas um lado aqui. Nos deram, na realidade, muita informação visto que a gente sabe que é um retângulo, temos quatro lados e, depois, temos quatro ângulos. Dois lados opostos quaisquer são paralelos entre si e os ângulos são todos de 90°, que são informações mais do que suficientes para saber que é, com certeza, um retângulo. Então, uma coisa que sabemos: os lados opostos de um retângulo têm o mesmo comprimento. Esse lado é 1. Esse outro lado é 1. A outra coisa que sabemos é que esse ângulo é trissecado. Agora, a gente sabe que a medida desse ângulo era de 90°. Isso divide em três partes iguais, o que nos mostra que esse ângulo tem 30°, esse tem 30° e esse ângulo aqui tem 30°. E agora, vemos que estamos lidando com uma porção de triângulos 30-60-90. Esse outro ângulo precisa ser de 60, assim aquele ângulo precisa ser de 60°. Nesse triângulo aqui, você tem 30°, tem 90°. Esse aqui tem que ser 60°. Esses ângulos têm que somar 180°. Triângulo 30-60-90. E você também pode encontrar as medidas dos lados desse triângulo, apesar de não ser um triângulo retângulo. Mas, sabendo o que conhecemos sobre os triângulos 30-60-90 se tivermos apenas um lado deles, na realidade, podemos descobrir os outros lados. Por exemplo, aqui temos o lado mais curto, o lado oposto ao lado dos 30°. Agora, qualquer que seja, se o lado dos 30° é 1, o lado dos 60° vai ser √3 vezes 1. Assim, esse comprimento aqui será √3 e isso é muito útil, porque agora encontramos o comprimento da base inteira desse retângulo aqui. Agora, só usamos nosso conhecimento sobre os triângulos 30-60-90. Se notar se havia um pouco de mistério de como cheguei a isso, encorajo você a assistir aquele vídeo. A gente sabe que os triângulos 30-60-90, seus lados oscilam por volta de 1, √3 e 2. Isso é 1, isso é um lado de 30°, isso vai ser √3 vezes aquilo e a hipotenusa aqui vai ser duas vezes aquilo. Então, esse comprimento aqui vai ser duas vezes esse lado aqui, então, duas vezes 1 é igual a 2. E é muito interessante, vamos ver se podemos fazer alguma coisa parecida com esse lado aqui. Aqui, o 1 não é o lado oposto ao dos 30°, aqui o 1 é o lado oposto ao ângulo de 60°. Esse é o lado oposto ao ângulo de 60°. Mais uma vez, se multiplicarmos esse lado por √3, chegaríamos a esse lado aqui, esse é o 60. Lembre-se de que o 1 bem aqui, esse 1 é o lado oposto ao ângulo de 60°, então esse tem que ser 1/√3 desse lado. Vou escrever aqui: 1/√3. E a razão pela qual consegui chegar a isso é que, qualquer que seja esse lado, eu multiplico pela √3 e devo chegar a esse lado aqui, devo chegar ao lado oposto ao ângulo de 60°. Ou, se eu tomar o lado oposto ao longo de 60°e se eu dividi-lo pela √3, deveria chegar ao lado mais curto, o lado oposto dos 30°. Começo com o lado oposto de 60° dividido pela √3, tenho isso bem aqui. E a hipotenusa sempre será o dobro do comprimento do lado oposto ao ângulo de 30°. Se isso é um lado oposto ao ângulo de 30°, a hipotenusa é sempre duas vezes aquilo. Assim, esse é um lado oposto ao ângulo de 30°, a hipotenusa é sempre o dobro disso, vai ser 2/√3. Estamos indo bem, temos que encontrar o perímetro desse triângulo interior, esse bem aqui. Já descobrimos que um comprimento é 2, descobrimos que outro comprimento é 2/√3, então tudo que temos que encontrar, na verdade, é ED. E podemos fazer isso porque AD vai ser a mesma coisa que BC. Sabemos que esse comprimento todo, estamos lidando com um retângulo, é a √3. Esse comprimento inteiro, comprimento total da √3. Se essa parte, esse AE é 1/√3, então esse comprimento aqui, ED, vai ser √3 menos 1/√3. Esse comprimento menos esse comprimento. E sabemos que para encontrar o perímetro é muito simples, temos apenas que somar essas coisas e simplificar. Então, será 2, vou escrever esse perímetro do triângulo BED, é igual a, isso é como perímetro, eu só não senti vontade de escrever a palavra toda, é igual a 2/√3 mais √3, menos 1/√3 mais 2. E, agora, isso se resume a simplificar os radicais, pode pegar uma calculadora e conseguir alguns décimos de aproximação para isso. Vamos ver. Temos 2/√3 menos 1/√3 que vai nos deixar com 1/√3, 2√1/3, eu deveria dizer 2/√3 menos 1/√3. 1/√3, então temos mais √3 mais 2. Agora, vamos ver, eu posso racionalizar isso se multiplicar o numerador e o denominador pela √3. Isso me daria a √3/3 mais a √3, que eu posso reescrever como mais 3√3 sobre 3, assim que multipliquei por 3 sobre 3 mais 2. E isso nos dá, isso é a parte do "que rufem os tambores!" porque 1/√3 mais 3√3 e tudo isso sobre 3 nos dá 4√3 sobre 3 mais 2, onde pode colocar 2 primeiro. Algumas pessoas gostam de escrever a parte não-irracional antes da parte irracional, mas acabamos. Descobrimos o perímetro desse triângulo interno BED bem aqui.