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Biblioteca de Geometria
Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 13
Lição 1: Triângulos retângulos especiais- Introdução aos triângulos retângulos especiais (parte 1)
- Introdução aos triângulos retângulos especiais (parte 2)
- Exemplo de problema de triângulo 30-60-90
- Triângulos retângulos especiais
- Demonstração de triângulos retângulos especiais (parte 1)
- Demonstração de triângulos retângulos especiais (parte 2)
- Área de um hexágono regular
- Revisão sobre triângulos retângulos especiais
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Introdução aos triângulos retângulos especiais (parte 1)
Introdução a triângulos 45-45-90. Versão original criada por Sal Khan.
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- Quando temos alguma fração com raiz no denominador, basta multiplicar o numerador pela raiz, e retirar a raiz do denominador?!(3 votos)
- Não, está técnica de racionalização só funciona nos casos onde o denominador consiste de uma única raiz quadrada.
Neste caso, multiplicamos tanto o numerador como o denominador pela raiz que está no denominador, por exemplo:
5 / sqrt (3), multiplicamos tanto o numerador como o denominador por sqrt(3), obtendo: 5sqrt(3) / sqrt(9) = 5sqrt(3)/3.
Existem ainda mais dois casos de racionalização bem comuns.
O primeiro quando o denominador consiste de uma única raiz de indice maior do que 2 (raiz cúbica, quarta,...).
Neste caso, buscamos o complemento capaz de permitir a resolução da raiz do denominador após a multiplicação. Considerando sqrt[n](x) como sendo a raiz nésima de x, ou seja, sqrt[5](4) = raiz quinta de 4, temos por exemplo que:
5 / sqrt[7](4) = 5 / sqrt[7](2^2) já que 4 é igual a 2^2.
Assim, queremos encontrar uma raiz que multiplicada por sqrt[7](2^2) permita a resolução da raiz obtida.
Como a primeira raiz sétima de 2 que possui resultado inteiro positivo é sqrt[7](2^7), usando as propriedades de potência, basta multiplicar o númerador e o denominador por sqrt[7](2^5).
Assim, teremos:
5 sqrt[7](2^5) / sqrt[7](2^7) = 5 sqrt[7](2^5) / 2.
Uma forma de descobrir o complemento multiplicativo de forma rápida é subtrair a potência do indice da raiz.
Por fim, temos um último caso bastante comum de racionalização que ocorre quando temos pelo menos uma raiz quadrada somada com algum número no denominador. (Por exemplo: 3 / (sqrt(7)+5)).
Neste caso, temos que recorrer aos produtos notáveis, em particular o produto da soma pela diferença ( (a+b) (a-b) = a^2 + b^2), e multiplicar numerador e o denominador por seu complemento.
Ou seja, no exemplo apresentado, teriamos que multiplicar o numerador e o denominador por sqrt(7) - 5, obtendo:
( 3 sqrt(7) - 15 ) / (7 - 25) = -( 3 sqrt(7) - 15) / 18.
Todos os outros casos de racionalização seguem o mesmo principio, embora não apareçam com tanta frequência.(6 votos)
- Como se racionaliza quando temos um número irracional?(3 votos)
- Caso o número possa ser escrito na forma de raiz, independentemente do indice, o procedimento para racionalização é o mesmo descrito na questão acima.
Caso o número não possa ser escrito na forma de raiz, o que ocorre geralmente com os números transcendentes ou transcendentais (pi, phi, e...) acredito que o melhor método é através de recursos computacionais usando frações contínuas.(3 votos)
- porque o resultado positivo(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Bem-vindo à apresentação sobre triângulos
45-45-90. Vou escrever isso aqui, triângulos 45-45-90. Ou poderíamos dizer triângulos retângulos de 45-45-90, mas isso pode ser redundante, porque sabemos que qualquer ângulo que tem a medida de 90° é um triângulo retângulo. Como você pode imaginar, 45-45-90: esses são, na verdade, os graus dos ângulos do triângulo, então, por que
esses triângulos são especiais? Bom, se viu a última apresentação que fiz,
apresentei um pequeno teorema que dizia que se dois desses ângulos da base de um triângulo são iguais, acho que só o ângulo da base, se desenhar nessa forma, poderia desenhar assim. Nesse caso, talvez,
não seria tão óbvio que é um ângulo da base, mas, ainda assim, seria verdade. Se esses dois ângulos são iguais,
então, os lados que eles não compartilham, esse lado e esse lado, nesse exemplo, ou esse lado e esse lado, nesse exemplo.
Então, os dois lados vão ser congruentes. Então, o que é interessante
sobre um triângulo 45-45-90, é que é um triângulo
retângulo que têm essa propriedade, e como sabemos que é só o triângulo
retângulo que têm essa propriedade? Você poderia imaginar que alguém
te disse que esse é um triângulo retângulo. Isso é 90°, então, essa é a hipotenusa e o lado oposto ao ângulo de 90°. E, se fosse te dizer que esses dois ângulos são iguais entre si, o que esses ângulos tem que ser? Bom, se chamarmos esses dois ângulos de "x", sabemos que os ângulos num triângulo têm que somar 180, então, diríamos "x" mais "x" mais 90 é igual a 180, ou 2x mais 90 é igual a 180, ou 2x é igual a 90, ou "x" é igual a 45°. Então, o único triângulo retângulo no qual
os outros dois ângulos são iguais é o triângulo 45-45-90. Então, o que é interessante sobre o triângulo 45-45-90? Bom, além do que acabei de falar,
vou desenhar de novo, vou redesenhar dessa forma. Já sabemos que isso tem 90°, isso tem 45° e isso tem 45°. E, baseado no que acabei de falar, também sabemos que os lados
que os ângulos de 45° não compartilham são iguais. Então, esse lado é igual a esse lado. E, se estivermos vendo pelo ponto
de vista do Teorema de Pitágoras, isso nos mostra que os dois lados que não são a hipotenusa são iguais, então, essa é a hipotenusa. Vamos chamar esse lado de "A" e esse lado de "B". Sabemos do Teorema de Pitágoras, vamos dizer que a hipotenusa
é igual a "C". O Teorema de Pitágoras nos diz que A² mais B² é igual a C², certo? Sabemos que "A" é igual a "B", porque esse é um triângulo 45-45-90, então, podemos substituir "A" por "B" ou "B" por "A". Nós vamos apenas substituir "B" por "A". Poderíamos dizer que B² mais B² é igual a C², ou, 2B² é igual a C², ou B² é igual a C²/2, ou "B" é igual a √C²/2. o que é igual a "C", porque só pegamos a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador. C sobre √2 e, na verdade, mesmo que isso seja
uma apresentação sobre triângulos, vou te dar um pouco de informação extra sobre uma coisa chamada racionalização de denominadores. Então, está perfeitamente correto.
Acabamos de encontrar "B" e também sabemos que "A" é igual a "B", mas que B é igual a C/√2. Verificamos que, geralmente, na matemática, e eu nunca entendi, exatamente, porque era esse o caso, as pessoas não gostam da √2 no denominador, ou, em geral, não gostam de números
irracionais no denominador. Números irracionais são números que têm casas decimais que nunca se repetem e nunca acabam. A forma que eles se livram dos números irracionais
no denominador é que você faz o que se chama
de racionalizar o denominador. E a forma que se racionaliza denominador, vamos
pegar nosso exemplo agora: se tínhamos c/√2, só multiplicamos o numerador
e o denominador pelo mesmo número, certo? Porque quando você multiplica o numerador
e o denominador pelo mesmo número,
é exatamente como multiplicar por 1 e a fração não é alterada. A √2/√2 é 1 e, como vê, a razão de estarmos fazendo isso é porque a √2 vezes a √2, qual é a √2 vezes a √2? É 2, certo? Acabamos de dizer que alguma coisa
vezes alguma coisa é 2. Bom, a √2 vezes √2 que vai ser 2 e, então, o numerador é c√2. Observe: C√2/2 é a mesma coisa que C/√2. E isso é importante perceber porque, às vezes, enquanto você está fazendo um teste padronizado, ou está fazendo um teste em aula, pode chegar
a uma resposta que se pareça com essa, tem uma √2, ou até mesmo uma √3, ou outra qualquer no denominador. E pode não ver sua resposta se for um teste de múltipla escolha. O que precisa fazer, nesse caso, é racionalizar o denominador. Então, multiplicar o numerador e o denominador por √2
e terá a √2/2. Mas, enfim. Então, o que aprendemos? Isso é igual a "B", certo? Então, acontece que "B" é igual
a C√2/2. Vou escrever isso: sabemos que "A" é igual a "B", certo? E que é igual a √2/2 vezes "C". Agora, você pode querer memorizar isso, apesar de sempre poder deduzir, se usar o Teorema de Pitágoras e lembrar que os lados que não são a hipotenusa em um triângulo 45-45-90 são congruentes entre si.
Isso é muito bom saber. Por causa disso, você está fazendo os testes para a faculdade e precisa resolver um problema muito rápido e, se tem isso memorizado e alguém te dá a hipotenusa,
pode encontrar quais são os lados bem rápido,. Ou, se alguém te dá um dos lados, pode descobrir a hipotenusa rápido. Vamos tentar isso. Vou apagar tudo. Acabamos de aprender que "A" é igual a "B", é igual √2/2 vezes "C". Tivemos um triângulo retângulo, e se fosse te dizer que o ângulo reto é 90° e esse ângulo é 45°, e que esse lado é, vamos dizer, que esse lado seja 8, quero descobrir qual é esse lado. Antes de tudo, vamos indicar que lado é a hipotenusa, ela é o lado oposto ao ângulo reto. Estamos tentando encontrar a hipotenusa. Vamos chamar a hipotenusa de "C" e também sabemos que esse é um triângulo 45-45-90, porque esse ângulo é 45°, então, isso também tem que ser 45°, porque 45 mais 45 mais 90 é igual a 180. Então, isso é um triângulo 45-45-90 e sabemos que um dos lados, esse lado poderia ser "A" ou "B", sabemos que 8 é igual a a √2/2 vezes "C". "C" é o que estamos tentando encontrar. Se multiplicarmos ambos os lados
dessa equação por 2 vezes √2, estou só multiplicando pelo
inverso do coeficiente de "C" porque √2 se anula com √2, esse 2 se anula com esse 2, temos 2 vezes 8 dá 16 sobre √2 igual a "C". O que seria correto, mas como acabei de mostrar,
as pessoas não gostam de ter radicais no denominador, então, podemos dizer que "C" é igual a 16 sobre √2, vezes √2 sobre √2,. Isso é igual a 16√2 sobre 2, que é o mesmo que 8√2. "C", nesse exemplo, é 8√2, e também sabemos que desde que seja
um triângulo 45-45-90, que esse lado é 8. Espero que faça sentido. Na próxima apresentação, vou mostrar um tipo diferente de triângulo. Na verdade, posso até começar com mais alguns exemplos disso, porque acho que posso ter acelerado um pouco, mas, enfim. Vejo você na próxima apresentação.