Como determinar a semelhança de triângulos

RKA - O que quero fazer nesse vídeo é ver se conseguimos identificar triângulos semelhantes aqui, e provar para nós mesmos que eles realmente são semelhantes, usando alguns dos postulados que nós definimos anteriormente. Aqui tem um triângulo BDC que está dentro do triângulo AEC. Os dois têm esse ângulo aqui em comum, isso nos dá um ângulo. Precisamos de dois para satisfazer o critério "ângulo, ângulo" e, assim, termos a semelhança de triângulos. Sabemos que esses dois segmentos são paralelos, e sabemos que, se dois segmentos são paralelos e são cortados por uma transversal, os ângulos correspondentes serão congruentes. Esse ângulo é congruente a esse ângulo aqui. Acabamos. Temos os ângulos do triângulo AEC que são congruentes aos do triângulo BDC, nesta ordem, temos também esse ângulo que, obviamente, é congruente a si mesmo, isso serve para os dois triângulos, os dois triângulos tem um par de ângulos correspondentes, que são congruentes. Eles devem ser semelhantes para que possamos escrever o triângulo ACE. ACE será um triângulo semelhante, devemos usar as letras na ordem correta, onde o ângulo azul fica aqui, o ângulo azul tem o vértice "B", depois, vamos para o ângulo branco "C" e, depois, para o ângulo sem nome aqui, BCD. Fizemos esse primeiro. Agora, vamos fazer esse aqui, esse é parecido, pelo menos parece, olhando superficialmente para ele. YZ, com certeza, não é paralelo ao ST, não vamos conseguir encontrar facilmente os ângulos correspondentes, principalmente porque eu nem nomeei isso de paralela. Não é legal pensar só na aparência das coisas, precisa analisar os dados que o exercício fornece, e os que não nos fornece. Se essas retas não fossem chamadas de paralelas, não poderíamos fazer essa afirmação, mesmo elas parecendo paralelas. Uma coisa que temos é esse ângulo aqui, ele é comum ao triângulo que está dentro e ao que está fora. E foi dada a medida de vários lados, talvez possamos usar o critério "LAL" para mostrar a semelhança entre esses triângulos. Isso significa que a razão dos lados correspondentes desse triângulo será sempre a mesma, eles têm a mesma razão do triângulo semelhante menor ao triângulo maior, a gente pode mostrar a semelhança. Vamos lá, temos que usar qualquer lado desse ângulo aqui, vamos olhar para o lado menor, em qualquer lado desse ângulo. O lado menor é o 2. E vamos olhar para o lado menor do outro lado do ângulo, para o triângulo maior. Então, o lado menor está do lado direito, ele será o segmento XT. Vamos comparar a razão entre... deixe eu escrever assim. O que queremos ver é se XY sobre XT é igual à razão do lado maior, ou se estamos olhando com relação a esse ângulo, o maior lado do triângulo é igual à razão de XZ sobre o maior dos dois lados. Quando olha para esse ângulo aqui, a partir de qualquer um dos lados desse ângulo, para o triângulo maior sobre XS, isso é um pouco confuso, porque parece que viramos esse lado ao contrário. Mas estou só pensando no outro lado menor em relação aos lados desse ângulo, e no lado maior desse ângulo. Esse é o lado menor para o triângulo menor e para o triângulo maior. E esse é o lado maior do triângulo menor e do triângulo maior. Vemos que XY é igual a 2, e que XT é 3 mais 1, que é 4, XZ é 3 e XS é 6. Você tem 2/4 que é 1/2, que é a mesma coisa que 3/6. Então, a razão entre os lados menores de qualquer lado do ângulo, e o lado maior em qualquer lado do ângulo, para os dois triângulos, é a mesma. A razão é a mesma. Então, pelo critério LAL, nós sabemos que os dois triângulos são congruentes. Mas temos que tomar cuidado sobre como nomear os triângulos, e temos que ter certeza de que acertamos os lados correspondentes para podermos dizer que o triângulo... estou ficando sem espaço aqui, por isso, eu vou escrever aqui. Podemos escrever que o triângulo XYZ é semelhante ao triângulo XTS. Daí, a gente começa no "X", que é o vértice do ângulo, em seguida, fomos para o lado menor primeiro, agora, queremos começar no X, e ir para o lado menor do triângulo. Então, você vai para XTS, XYZ é semelhante a XTS. Vamos olhar para isso aqui, no nosso triângulo maior, temos um ângulo reto aqui, mas não sabemos nada sobre quais os valores dos ângulos desses triângulos menores, quanto medem seus ângulos. Você sabe que isso se parece com um ângulo reto, mas não podemos afirmar isso. Ele tem um lado em comum, se olharmos para esse triângulo menor aqui, ele tem um lado em comum com o triângulo maior. Isso não é o bastante para nenhuma afirmação. Esse triângulo aqui também possui outro lado em comum, mas ainda não podemos concluir nada, não podemos fazer nenhuma afirmação sobre nenhum tipo de semelhança. Não há semelhança aqui. Se soubéssemos... bom, existem alguns ângulos em comum. Nesse aqui, os dois triângulos, o maior e o menor, possuem aquele ângulo em comum. Talvez poderíamos fazer uma afirmação sobre as semelhanças se soubéssemos, com certeza, que esse é um ângulo reto. Caso isso ocorresse, poderíamos fazer algumas afirmações interessantes sobre a semelhança, mas no momento não podemos fazer nada do jeito que está. Vamos tentar com este, ou com esse par aqui. Essa é a primeira vez onde os triângulos estão separados. Foram dados os três lados dos dois triângulos. A gente vai calcular se as razões entre os lados correspondentes são constantes. Vamos começar com um lado menor. O lado menor aqui é 3, o menor aqui é 9, então, queremos ver se essa razão de 3 para 9 é igual à razão do próximo lado maior aqui, que é 3 raiz de 3. Se é igual a 3 raiz de 3, sobre o próximo lado maior, que é 27. E então, se isso vai ser igual à razão do lado maior, então, o lado maior aqui é 6 sobre o lado maior, é 18 vezes raiz quadrada de 3. Então, isso nos dá, isso é 3, deixe eu usar uma cor neutra. Então, esse 3 se torna 1 sobre 3 vezes a raiz quadrada de 3. Já isso é igual à raiz quadrada de 3 sobre 9, isso parece ser um número diferente, mas não é. Devemos tomar cuidado aqui. Isso aqui se torna, se dividir o numerador e o denominador por 6, isso vira 1, isso vira 3 vezes a raiz quadrada de 3. 1 sobre 3 vezes a raiz quadrada de 3 precisa ser igual a raiz quadrada de 3 sobre 9, que precisa ser igual a 1 sobre 3 vezes a raiz de 3. A princípio, eles não parecem iguais, mas, podemos racionalizar esse denominador para visualizar melhor. Mostramos que 1 sobre 3 vezes a raiz quadrada de 3 multiplicada pela raiz quadrada de 3 sobre a raiz quadrada de 3, te dá o numerador de raiz quadrada de 3 sobre raiz quadrada de 3 vezes a raiz quadrada de 3, e isso vale 3 vezes 3, é 9. Então, na verdade, essas razões são todas iguais. Isso equivale a dizer que 1 sobre 3 vezes a raiz quadrada de 3 é igual a a raiz quadrada de 3 sobre 9. Então, isso aqui é a mesma coisa que 1 sobre 3 vezes a raiz quadrada de 3. Portanto, esses triângulos são semelhantes. Vou tentar acertar a ordem das coisas para mostrar que são semelhantes. Vamos começar com o ponto "E", que está entre os lados cujas medidas estão em azul e rosa, no outro triângulo, quem está entre os lados com medidas nas cores azul e rosa é o ponto "H", então, o triângulo "E", eu vou fazer assim, começa pelo ponto "E", e depois vou pelo lado azul, que é o "F" e, depois, vou pelo lado rosa, que é o "G". Portanto, o triângulo EFG é semelhante ao triângulo HIJ. De novo, o ponto "E" está entre o lado azul e rosa, lado azul e rosa, que é o "H", então, vamos pelo lado azul até "F", pelo lado azul até "I", depois, pelo lado laranja até "G", depois, você vai pelo lado laranja até "J". O triângulo EFG é semelhante ao triângulo HIJ pelo critério de semelhança "lado, lado, lado", eles não têm lados congruentes, todos apenas têm a mesma razão, ou o mesmo fator de proporcionalidade. Vamos fazer esse último. Temos um ângulo que é congruente a outro ângulo aqui, a gente tem dois lados, então pode ser tentado a usar o critério LAL, pois temos um lado, um ângulo, um lado aqui. Até os números da razão parece, tentadores, pois 4 vezes 2 é igual a 8, 5 vezes 2 é igual a 10, mas eles não têm os mesmos lados correspondentes. Para usar o critério LAL, os dois lados têm que ter as mesmas razões correspondentes, e devem estar do mesmo lado em relação ao ângulo considerado. Nesse caso, eles estão nos mesmos lados em relação ao ângulo considerado. Nesse caso, o 4 está de um lado do ângulo, e o 5 está do outro, então, se esse 5 estivesse aqui, poderíamos afirmar que são semelhantes, mas como esse lado que mede 5 não é correspondente ao lado que mede 10, e um lado que é de 4 não é correspondente ao lado que é de 8, não podemos usar o critério LAL. Francamente, não há o que possamos fazer. A gente não pode fazer uma afirmação convincente sobre semelhança para esse último.