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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos dizer que temos o triângulo ABC. E ele é assim, ABC. Eu quero pensar no mínimo de informação possível, quero definir alguns postulados que podemos usar para determinar se outro triângulo é semelhante ao triângulo ABC. Já sabemos que se os três ângulos correspondentes desse novo triângulo forem congruentes aos ângulos correspondentes em ABC, que conhecemos, então, estamos lidando com triângulos congruentes. Por exemplo: se isso é 30 graus, esse ângulo é 90 graus e esse ângulo aqui é 60 graus. Temos outro triângulo que é assim, que tem essa aparência. Obviamente, é um triângulo menor, mas seus ângulos são correspondentes. Esse é 30 graus, 90 graus e esse 60 graus. A gente sabe que XYZ nesse caso será semelhante a ABC. Então, saberíamos, pelo fato de os ângulos correspondentes serem congruentes, saberíamos que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo XYZ. E precisa saber a ordem certa para ter certeza de que você tem os ângulos correspondente certos. "Y" corresponde ao ângulo de 90 graus, "X" ao de 30 graus, "A" ao de 30 graus. Então, A e X são as duas primeiras coisas que têm algo em comum. B e Y que são 90 graus, as duas segundas coisas que têm algo em comum. E, depois, Z é a última. Precisamos de três ângulos para afirmar que há semelhança entre dois triângulos? Se só soubéssemos as duas extremidades dos ângulos, isso seria o bastante? Bom, sim, claro! Se você conhece dois ângulos de um triângulo, conhece o terceiro. Por exemplo, se tenho outro triângulo com essa aparência e se dissesse que só dois dos ângulos correspondentes são congruentes. Talvez esse ângulo reto aqui seja congruente a esse ângulo, e esse ângulo aqui seja congruente a esse ângulo. Isso é o suficiente para dizer que esses dois triângulos são semelhantes? Claro, pois em um triângulo, se você sabe dois ângulos, então, você sabe qual é o valor do último ângulo. Você sabe que esse é 30° e você sabe que esse é 90°, então sabe que esse ângulo tem que ser de 60 graus. Sejam quais forem esses ângulos, subtraia de 180 graus e você descobrirá o ângulo que falta. No geral, para mostrar semelhança, não precisa mostrar que três ângulos correspondentes são congruentes, só precisa mostrar dois deles. Esse será o primeiro de nossos postulados de semelhanças e chamamos de "ângulo, ângulo" (AA). Se ele mostrar que os dois ângulos correspondentes são congruentes, então, estamos lidando com triângulos semelhantes. Por exemplo, eu vou colocar alguns números aqui. Se isso fosse 30 graus, e sabemos disso nesse triângulo, esse aqui é 90 graus. Sabemos que esse triângulo é semelhante àquele ali. Você pode ir direto para o terceiro ângulo, de forma bem direta. Aqui diz que esse ângulo é de 60 graus, então os três ângulos são iguais. Essa é uma das nossas restrições para a semelhança. Outra coisa que sabemos sobre a semelhança é que a razão entre todos os lados será a mesma. Por exemplo, se temos outro triângulo aqui (vou desenhar outro). Eu chamo esse triângulo de XYZ. Vamos dizer que sabemos que a razão entre AB e XY é AB sobre XY. Então, a razão entre esse lado e esse lado... Note que não estamos dizendo que são congruentes, só a sua razão, a gente olha para a razão agora. Estamos dizendo que AB/XY = BC/YZ. Isso é igual a BC/YZ e isso é igual a AC/XZ. De novo, essa é uma das formas de dizer que isso significa semelhança. Se tem todos os três lados correspondentes, a razão entre os lados correspondentes é a mesma. Então, sabemos que estamos lidando com triângulos semelhantes. É isso que chamamos de critério de semelhança "lado, lado, lado" (LLL). Não podemos confundir isso com o critério de congruência "lado, lado, lado". Esses são todos os nossos postulados de semelhança. Postulados, axiomas de semelhança ou coisas que vamos presumir e vamos partir delas para resolver os problemas e provar outras coisas. "LLL", quando estamos falando de congruência, significa que os lados correspondentes são congruentes. "LLL" para semelhança, estamos dizendo que a razão entre lados correspondentes será a mesma. Por exemplo, se isso aqui for... digamos que isso aqui seja 10. Deixe eu pensar em um número maior. Vamos dizer 60. Esse aqui é 30 e esse aqui é 30 raiz de 3. Usei os números corretos, pois logo vamos aprender quais são as razões típicas dos lados de triângulos 30, 60 e 90. Vamos dizer que esse aqui é 6, 3 e 3√3. Perceba que AB/XY 30√3 / 3√3 será igual a 10. Quanto é BC sobre XY? 30 dividido por 3 é 10. E o que é 60 dividido por 6? Ou AC sobre XZ? Isso será 10. No geral, para ir desse lado correspondente para esse lado correspondente, sempre multiplicamos por 10 em todos os lados. Não estamos dizendo que são congruentes, não estamos dizendo que os lados são iguais para essa semelhança "LLL", estamos dizendo que estamos aumentando na mesma medida os lados. Outra forma de pensar nisso é considerar a razão entre os lados correspondentes sendo a mesma. Se tivéssemos... Eu vou desenhar outro triângulo aqui, vou desenhar assim. Vou desenhar outro triângulo ABC. Vamos desenhar outro triângulo ABC. Este é A, B e C. Digamos que sabemos que esse lado. Quando a gente vai para outro triângulo, sabemos que XY é AB multiplicado por alguma constante. Posso escrever aqui: XY é igual a alguma constante vezes AB. Na verdade, vou fazer um XY maior. A constante não precisa ser menor do que 1. Nesse caso, seria um valor menor, mas vou fazer assim. Vou fazer o XY um pouco maior. Digamos que esse é X e esse é Y. Digamos que sabemos que este XY sobre AB é igual a alguma constante. Ou, se multiplicarmos ambos os lados por AB, tenho um XY, uma versão aumentada de AB. Então, talvez AB seja 5, XY seja 10, nossa constante seria 2. Nós aumentamos por um fator de 2. Digamos também que sabemos que o ângulo ABC é congruente ao XYZ e vou adicionar outro ponto aqui. Vou desenhar outro lado bem aqui. Aqui está Z. Digamos que também sabemos que o ângulo ABC é congruente ao XYZ. Digamos que sabemos que a razão entre BC e YZ também é essa constante. A razão entre BC e YZ também é igual à mesma constante. Um exemplo onde isso é 5 e 10, talvez isso seja 3 e 6. Estamos dobrando o comprimento do lado. Esse triângulo, o triângulo XYZ, será semelhante. Bom, se pensar direito, só há um, se disser que isso é um múltiplo. Se XY é o mesmo um múltiplo de AB, como YZ é um múltiplo de BC e o ângulo no meio é congruente, só há um triângulo que podemos definir aqui. Ficamos limitados a esse triângulo aqui, então estamos limitando o comprimento desse lado. E o comprimento desse lado vai ter que estar na mesma escala que aquele ali. Chamamos isso de critério de semelhança "lado, ângulo, lado" (LAL). Então, mais uma vez vimos "LLL" e "LAL" em nossos postulados de congruência. Mas estamos dizendo algo diferente aqui, estamos dizendo que em LAL, se a razão entre um lado correspondente e o outro lado correspondente de dois triângulos é a mesma, então AB e XY de um lado correspondente e, depois, outro lado correspondente (esse é o segundo lado) que está entre BC e YZ, e o ângulo entre eles é congruente, então, estamos dizendo que são semelhantes para "LAL". Para a congruência, dizemos que os lados precisam ser congruentes. Estamos dizendo que a razão entre os lados correspondentes tem que ser a mesma. Por exemplo, "LAL" (só para aplicar). Vou desenhar, vou mostrar alguns exemplos aqui. Digamos que tem um triângulo aqui que é 3, 2, 4 e temos outro triângulo aqui, cujo comprimento é 9 e 6. A gente também sabe que os ângulos no meio são congruentes; este ângulo é igual a este ângulo. O que o "LAL" nos diz em relação à semelhança é que esses triângulos, com certeza, serão triângulos semelhantes. Que estamos lidando, pois só há um triângulo que podemos desenhar aqui, é o triângulo onde todos os lados deverão ser aumentados na mesma medida. Então, só existe um lado longo aqui que podemos desenhar e ele também terá que ser aumentado por 3. Esse é o único triângulo possível. Se eu limitar esse lado, se disser que isso é 3 vezes aquele lado, e o ângulo entre eles é congruente, só existe um triângulo que podemos desenhar. A gente sabe que existe um triângulo semelhante aí, onde tudo está aumentado por um fator de 3. Então, o único triângulo que podemos desenhar tem que ser aquele triângulo semelhante. E eu disse que estamos falando LAL, não estamos dizendo que esse lado é congruente a esse lado ou que é congruente a esse, estamos dizendo que foram aumentados pelo mesmo fator. Se tivéssemos outro triângulo que fosse assim, talvez esse seja 9 e esse 4, e o ângulo entre eles fosse congruente, você não poderia dizer que são semelhantes, pois esse lado está aumentado por um fator de 3 e esse lado só está aumentando por um fator de 2. Então, quando escrever aí, não pode dizer que eles são necessariamente semelhantes. Da mesma forma, se tivesse um triângulo de comprimento 9 aqui e 6 aqui, mas não soubesse que esses dois ângulos são iguais. Novamente, não está limitando o suficiente e não saberia se esses dois triângulos são, necessariamente, semelhantes, pois não sabe se o ângulo do meio é o mesmo. Agora podemos dizer que tivemos alguns postulados, tivemos "AAL" quando lidamos com congruência. Mas ao pensar sobre isso, já mostramos que dois ângulos sozinhos são o bastante para mostrar semelhança. Não se preocupe com o "ângulo, ângulo e lado", a razão entre os lados, nem se preocupe com isso! E também tivemos uma congruência "ângulo, lado, ângulo", mas, mais uma vez, já sabemos que dois ângulos são o bastante. Então, não precisamos de mais este lado, não precisamos nem deste. Esses serão nossos postulados de semelhança. Quero relembrar: "lado, lado, lado" para a semelhança é diferente de "lado, lado, lado" para a congruência, estamos falando da razão entre os lados correspondentes. Não estamos dizendo que são congruentes. Aqui, "lado, ângulo, lado" é diferente de "lado, ângulo, lado" para a congruência. Eles estão relacionados, mas estamos falando da razão entre os lados, não das medidas reais.