Problema de geometria: a proporção áurea

RKA - Esse é um autorretrato que Rembrandt fez em 1.640. E o interessante é que, como outros grandes artistas, como Leonardo da Vinci, Salvador Dalí e tantos outros, Rembrandt se importava com algo chamado "proporção áurea". Já fiz outros vídeos sobre esse tema, que trata de um número fascinante que, geralmente, é denotado pela letra grega φ (fi). Se expandir, é um número irracional: 1,61803 e continua infinitamente. Mas o "φ" tem algumas propriedades matemáticas legais, ou a "proporção áurea". Se começar com o φ, e somar a ele, vou começar ao contrário. Se começar com 1, e somar a ele 1 sobre φ, deixe eu caprichar mais. Se somar a isso 1 sobre φ, o resultado é φ. Isso é legal. Se multiplicar os dois lados da equação por φ, sabe que, se começar com φ e somar 1, vai ficar com φ ao quadrado. É um número que somando 1, tem o quadrado dele, isso tudo é muito legal, pode até ser expresso como fração contínua. φ pode ser expressado como 1 mais 1 sobre 1 mais 1 sobre 1 mais 1 sobre, assim, infinitamente. Isso também dá φ. Deu para perceber que esse é um número muito legal. Ele não só é legal matematicamente, mas aparece na natureza, e é usado pelos artistas porque acreditam que ele ajuda a definir a beleza humana. A gente vê que Rembrandt considerou isso em seu quadro. Como sabemos disso? É é justamente isso que a gente vai analisar no exercício desse vídeo. Dá pra construir um triângulo, é claro que esses triângulos não fazem parte do quadro, desenhamos por cima. Mas, se colocasse a base de um triângulo onde ele apoia os braços, e se os lados do triângulo acompanhassem seus braços e ombros, e se encontrassem no alto do arco, a gente construiria o triângulo ABD, como fizemos. E é para os olhos humanos que olhamos, naturalmente, quando nos deparamos com um rosto, ou com uma pintura de um rosto. Se traçar uma reta conectando os olhos dele, e que é paralela ao segmento BD, vamos chamar de segmento PR. Veremos que a razão entre o triângulo menor e o triângulo maior envolve φ. Estas são as informações que temos sobre esse quadro, o que é fascinante. A razão entre o comprimento do segmento CD e BC é de φ para 1. Se traçar a altura desse triângulo maior, a razão de CD, o comprimento de CD para BC é φ. É bem provável que Rembrandt tenha pensado nisso. E a gente sabe que PR é paralelo a BD; construímos assim, então, isso é paralelo a isso. E a próxima pista prova que Rembrandt realmente pensou nisso: a razão entre a AC e AQ. AC é a altura do triângulo maior, a razão entre ela e AQ, que é a altura do triângulo de cima, é φ mais 1 para 1, ou, dá para falar que a razão é φ mais 1. Está claro que Rembrandt pensou nisso. Usando todas essas informações, vamos explorar um pouco. Vamos buscar uma expressão que seja a razão entre a área do triângulo ABD, portanto, a área do triângulo maior, e a área do triângulo APR, que é esse triângulo menor. Queremos achar a razão entre a área do triângulo maior e a área do triângulo menor. E quero tentar fazer em termos de φ, tentar achar uma expressão que só envolva o φ, ou números constantes, ou ainda que manipule o φ, de alguma forma. Pause o vídeo agora e tente fazer. Um passo de cada vez. Qual é a área de um triângulo? A área de qualquer triângulo é 1/2 vezes a base vezes a altura. Então, a área do triângulo ABD, expressaríamos como 1/2 vezes a nossa base, a base é o comprimento do segmento BD, 1/2 vezes BD. Qual é a altura? É o comprimento do segmento AC. 1/2 vezes BD, vou usar a mesma cor, vezes o comprimento do segmento AC. Esta é a área do triângulo ABD: 1/2 base vezes altura. Qual é a área do triângulo APR? Vai ser 1/2 vezes o comprimento da base, que é PR, o segmento PR, o comprimento dele, vezes a altura do segmento AQ, que podemos representar assim. Como simplificamos um pouco? Dá para dividir 1/2 por 1/2, ele se anulam. O que mais sabemos? A gente sabe a razão entre AC e AQ. A razão entre AC e AQ é de φ mais 1 para 1. Ou, podemos dizer, que isto é igual a φ mais 1, vou reescrever de outra forma. Isto vai ser igual a... tem o comprimento do segmento BD sobre o comprimento do segmento PR, e dá para reescrever essa parte como: isso é igual a φ mais 1 sobre 1. Vou fazer isso vezes (φ + 1) sobre 1. Qual é a razão entre BD e PR? A razão entre a base do triângulo maior e a base do triângulo menor. Vamos pensar um pouco. Você deve ter percebido que o triângulo maior e o menor são semelhantes, os dois têm um ângulo "A" em comum, e como PR é paralelo a BD, sabemos que esse ângulo corresponde a esse. Então, esses são ângulos congruentes. E a gente sabe que esse ângulo corresponde a esse ângulo, aqui. Aqui tem três ângulos correspondentes, que são congruentes. Esse é congruente com ele mesmo, pois está nos dois triângulos, esse é congruente com esse, e esse com esse, e com três ângulos congruentes, tem dois triângulos semelhantes. A propriedade dos triângulos semelhantes é a razão entre as partes correspondentes. Os comprimentos das partes correspondentes dos triângulos semelhantes serão iguais. E tem uma dessas razões, tem a razão entre a altura do triângulo maior e a altura do triângulo menor. AC para AQ é φ mais 1 para 1. Se isso é verdadeiro para uma parte correspondente do triângulo semelhante, é verdadeiro para qualquer parte correspondente dele. A razão será φ mais 1 para 1. Portanto, a razão de BD, a razão entre a base do triângulo maior e a base do triângulo menor, também vai ser φ mais 1 para 1. Vou escrever assim, também pode ser reescrito como: φ mais 1 sobre 1. Como simplificamos isso? Tem φ mais 1 sobre 1, vezes φ mais 1 sobre 1, se dividimos por 1, não mudamos o valor, então será igual a, merecemos um rufar de tambores, é igual a (φ + 1)². Bem legal! E pense nisso, porque já vimos que φ mais 1 é igual a φ ao quadrado. E tem muitas formas interessantes de se analisar tudo isso.