Problema desafiador de semelhança

RKA - Dado esse diagrama, temos que descobrir qual é o comprimento de CF, e você já pode adivinhar que isso tem alguma coisa a ver com triângulos semelhantes. Ou pelo menos parece que o triângulo CFE é semelhante ao triângulo ABE. A intuição aqui é incorporada. Vamos provar isso. E também parece que o triângulo CFB será semelhante ao triângulo DEB. Mas, mais uma vez, nós vamos provar isso. Então, talvez possamos lidar com todas as relações de tamanhos diferentes de CF. Na verdade, descobrir quanto mede CF. Primeiro, vamos provar a nós mesmos que esses, definitivamente, são triângulos semelhantes. Você tem esse ângulo de 90°, ABE, sabe que esse ângulo de 90° é CFE, se conseguirmos provar que há um outro ângulo ou um outro conjunto de ângulos correspondentes é congruente nos dois, provamos que eles são semelhantes e, assim, a gente pode mostrar isso. Os dois mostram, os dois dividem esse ângulo aqui. Ângulo CEF é o mesmo ângulo que AEB. Mostramos dois ângulos, dois ângulos correspondentes desses triângulos, esse é um ângulo nos dois triângulos, eles são congruentes. Então, esses triângulos serão semelhantes. Também pode mostrar que essa reta, provavelmente essa reta, porque, obviamente, esses dois ângulos são os mesmos. E assim, esses ângulos também serão o mesmo. Definitivamente, são triângulos semelhantes. Deixa eu só escrever isso embaixo, tirar isso do caminho. Sabemos que o triângulo ABE é semelhante ao triângulo CFE, tem que ter certeza de que está fazendo na ordem certa. "F" é onde um ângulo de 90º está, "B" é onde um ângulo de 90 graus está e "E" é onde esse ângulo laranja está. CFE, seus triângulos semelhantes a CFE. Agora, vamos ver se podemos encontrar a mesma informação fazendo de outra forma, olhando o triângulo DEB. Mais uma vez, tem um ângulo de 90º aqui, esse é 90 e esse, definitivamente, vai ser 90 também. Tem um ângulo de 90 graus aqui no CFB. Tem um ângulo de 90º DEB, como quiser chamar, eles têm um conjunto de ângulos correspondentes que são congruentes. E também vai ver que os dois dividem esse ângulo aqui no triângulo pequeno. Eu não estou olhando, não estou olhando para esse triângulo aqui. É para estar à direita. Então, os dois dividem esse ângulo aqui DBE. Ângulo DBE é o mesmo ângulo que CBF. Já mostrei que temos esse ângulo congruente a esse ângulo, e temos esse ângulo como parte dos dois. Obviamente, é congruente a ele mesmo, temos dois ângulos, dois ângulos correspondentes que são congruentes um ao outro. A gente sabe que esse triângulo maior aqui é semelhante a esse triângulo menor. Deixa eu escrever isso. Nós também sabemos. Vamos arrastar para a direita um pouco. Também sabemos que o triângulo DEB, triângulo DEB, é semelhante ao triângulo CFB, a triângulo CFB. Agora, o que podemos fazer daqui? O que sabemos é que as razões dos lados correspondentes em cada um dos triângulos semelhantes terão que ser as mesmas, mas só temos um lado de um dos triângulos. No caso de ABE e CFE, só nos deram um lado. No caso de DEB e CFB nos deram um lado também e aqui não parece dar muito trabalho para fazer. Isso porque é um problema um pouco mais desafiador. Aqui, vamos continuar e ver se podemos assumir um dos lados. Na verdade, talvez, os lados dividido por dois desses triângulos maiores. Eu acho que as coisas vão dar certo. Vamos assumir que o comprimento desse aqui, vamos assumir que BE é igual a "y". Deixa eu escrever. Esse comprimento inteiro será igual a "y", porque, pelo menos, isso nos dá alguma coisa para trabalhar. E "y" é dividido por ambos, ABE e DEB. Então, parece útil! O mais curto, os triângulos menores aqui, talvez, vamos chamar esse comprimento BF de "x", vamos chamar BF de "x". Aí, vamos chamar FE enquanto esse é "x", esse FE sera" y" menos "x". Introduzimos um monte de variáveis aqui. Mas, talvez, com todas as proporcionalidades das coisas, acho que vai funcionar. Ou, pelo menos, temos um pouco mais de senso onde podemos ir com esse problema real. Mas agora, podemos começar lidando com os triângulos semelhantes, por exemplo. Queremos descobrir qual é CF. Queremos descobrir qual a medida de CF. Sabemos que para esses dois triângulos aqui, a relação desses dois lados correspondentes será constante. Então, por exemplo, a relação entre CF e 9, os lados correspondentes, a relação entre CF e 9 tem que ser igual à relação entre "y" menos "x". "y" menos "x" é o lado direito aqui. "y" menos "x" no lado correspondente do maior triângulo. Enquanto o lado correspondente do triângulo largo é o comprimento total e o comprimento inteiro aqui é "y". É igual a "y" menos "x" sobre "y". A gente pode simplificar isso um pouquinho. Enquanto eu dou um tempo, um segundinho, vamos ver se conseguimos fazer algo similar com essa coisa à direita. Então, mais uma vez, temos CF, seu lado correspondente em DEB. Agora, estamos olhando para CFB, não estamos olhando para CFE mais, estamos olhando para esse triângulo. Temos CF sobre DE igual a, CF sobre DE será igual a "x", será igual a, deixa eu fazer de uma cor diferente, será igual a "x" sobre essa base inteira aqui, esse BE inteiro, o que, mais uma vez, sabemos que é "y", sobre "y". E agora, isso parece interessante porque temos três medidas desconhecidas, nós temos CF, desculpa, nós sabemos o que é DE já, eu poderia ter escrito CF sobre 12. A relação entre CF e 12 será a relação entre "x" e "y". Temos três medidas desconhecidas e três equações, parece difícil de resolver a princípio porque é um desconhecido, outro desconhecido, outro desconhecido, mas parece que eu posso escrever, aqui, essa expressão em termos de "x" sobre "y". Então, podemos fazer uma substituição. Aqui vai um truquezinho. Esse aqui podemos reescrever como CF, deixa eu usar a mesma cor azul, como CF sobre 9, é igual a y - x sobre y, é a mesma coisa como y sobre y, - x sobre y, ou 1 - x sobre y, tudo o que eu fiz, essencialmente, foi, eu poderia dizer, você poderia dizer, distribuído do que 1 sobre "y" vezes os dois termos. y sobre y, - x sobre y; 1 sobre ou 1 - x - y, e é comum porque já sabemos que x sobre y é igual a a gente sabe que x sobre y é igual a CF sobre 12. Esse aqui, posso substituir com esse CF sobre 12, aí nós obtemos, essa é a chave, CF é o que importa, CF sobre 9 é igual a 1 menos CF sobre 12. E agora, temos uma equação e uma incógnita. Conseguiríamos resolver isso aqui de forma que adicionamos CF sobre 12 aos dois lados, então, tem CF sobre 9, mais CF sobre 12, é igual a 1, só temos que encontrar um denominador comum aqui, acho que 36 será o mínimo múltiplo comum. 9 vezes 4 é 36. Então, se tiver que multiplicar 9 vezes 4, tem que multiplicar CF vezes 4 para ter 4CF. 4CF sobre 36 é a mesma coisa que CF sobre 9. Então, +CF sobre 12 é a mesma coisa que 3CF sobre 36, isso vai ser igual a 1. Então, sobra 4CF mais 3CF, igual a 7. CF sobre 36 é igual a 1. E, para encontrar CF, a gente pode multiplicar os dois lados pelo inverso de 7 sobre 36. Então, 36 sobre 7, 36 sobre 7, multiplique os dois lados, vezes 36 sobre 7. Essa coisa do lado esquerdo é cancelada e sobra, nosso final, pegamos o tambor agora, CF é igual a, toda essa coisa é cancelada, CF é igual a 36, 1 vezes 36 sobre 7, ou só 36 sobre 7. E esse é um problema legal porque o que mostra é que se tiver duas coisas, vamos ver essa coisa como um poste ou a parede do prédio. Ou, quem sabe, se esse tem 9 metros de altura, e esse outro é 12 metros, o que quiser, a unidade que queira usar. Quero fazer uma cobertura de uma base a outra, de cima de um até a base de outro, apesar da distância entre essas duas coisas. Acabamos de dizer que eles estão separados, independente do quão separados eles estão, o lugar onde aquelas duas coisas vão se interceptar será a 36 sétimos do chão. E então, eu acho que foi um problema bem legal.