If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Definir rotações com precisão

Leia um diálogo em que um aluno e um professor se esforçam para definir rotações da maneira mais precisa possível.
O diálogo abaixo é de um professor com seu aluno. O objetivo deles é descrever rotações em geral usando a linguagem precisa da matemática. Como pode ver, o aluno deve revisar a definição várias vezes para torná-la cada vez mais precisa. Divirta-se!
Professor:
Hoje tentaremos descrever o que rotações fazem de uma maneira geral.
Suponha que tenhamos uma rotação de θ graus sobre o ponto P. Como você descreveria o efeito desta rotação em outro ponto A?
Aluno:
O que você quer dizer? Como posso saber o que a rotação faz com A, se não sei nada sobre ela?
Professor:
É verdade que você não sabe nada sobre esta rotação específica, mas todas as rotações se comportam da mesma maneira. Você consegue pensar em um modo de descrever o que a rotação faz com A?
Aluno:
Hmmmm... Deixe-me ver... Bem, acho que A é movido para uma posição diferente em relação a P. Por exemplo, se A estivesse à direita de P, agora ele poderia estar acima de P, ou algo assim. Isso depende do tamanho de θ.
Professor:
Perfeito. Podemos descrever o que você acabou de dizer assim:
Suponha que a rotação trace A no ponto B, então o ângulo entre os segmentos de reta PA e PB será θ.
Aluno:
Sim, eu concordo com esta definição.
Professor:
Lembre, no entanto, que, na matemática, devemos ser muito precisos. Há apenas uma maneira de criar um ângulo P igual a θ?
Aluno:
Deixe-me ver... Não, há duas maneiras de criar esse ângulo: no sentido horário e no sentido anti-horário.
Professor:
Certo! Rotações são realizadas no sentido anti-horário, e nossa definição deve reconhecer que:
Uma rotação de θ graus sobre o ponto P move qualquer ponto A no sentido anti-horário até um ponto B no qual mAPB=θ.
Claro, se θ é dado como uma medida negativa, a rotação está no sentido oposto, que é o sentido horário.
Aluno:
Legal. Acabou?
Professor:
Você quem sabe. A definição deve deixar totalmente claro o local onde A é traçado. Em outras palavras, deve haver apenas um ponto correspondente à descrição de B.
Há somente um ponto que gera um ângulo no sentido anti-horário igual a θ?
Aluno:
Acho que sim... Espere! Não! Há muitos pontos que geram este ângulo! Qualquer ponto no raio que vem de P em direção a B tem um ângulo θ com A.
Professor:
Boa observação! Então, você consegue pensar em uma maneira de melhorar nossa definição?
Aluno:
Sim, além do ângulo ser igual a θ, a distância de P deve continuar a mesma. Acho que você pode definir isso matematicamente como PA=PB.
Professor:
Muito bem! Podemos resumir todo o nosso trabalho na seguinte definição:
Uma rotação de θ graus sobre o ponto P move qualquer ponto A no sentido anti-horário até um ponto B no qual PA=PB e mAPB=θ.
Aluno:
Uau, isso é muito preciso!
Professor:
Realmente! Como bônus, vou mostrar outra maneira de definir rotações:
Uma rotação de θ graus sobre o ponto P move qualquer ponto A no sentido anti-horário até um ponto B, de modo que tanto A quanto B estejam no mesmo círculo centralizado em P, e mAPB=θ.
Aluno:
Sim, isso também dá certo porque todos os pontos de um círculo têm a mesma distância a partir do centro.
Professor:
Exatamente! A principal diferença entre as duas definições é que a primeira usa segmentos de reta, e a segunda usa um círculo.
Aluno:
Legal. É só isso?
Professor:
Sim. Acho que definimos rotações da forma mais precisa possível.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.