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Biblioteca de Geometria
Curso: Biblioteca de Geometria > Unidade 10
Lição 8: SimetriaComo encontrar um quadrilátero a partir de suas simetrias (exemplo 2)
Dois dos pontos que definem um determinado quadrilátero são (-4,-2) e (0,5). O quadrilátero tem uma simetria de reflexão sobre as retas y=x/2 e y=-2x+5. Desenhe e classifique o quadrilátero. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Tentei encontrar os outros dois pontos restantes por meio da álgebra utilizando as duas equações de reflexão dadas.
Infelizmente não consegui, alguém que consiga encontrar por meio da álgebra os dois pontos restantes pode me mostrar um passo a passo para isso?(4 votos) - quanto e um menos dois(0 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2MB Dois desses pontos que definem um quadrilátero
são (-4, -2)... então, vamos traçar, é (-4, -2)... e (0, 5)... então, (0, 5). O quadrilátero não muda com
a reflexão sobre a reta "y = x/2". Como fica essa reta? “y = x/2”.
Vou fazer em azul. “y = x/2”; então, quando "x" é igual a 0,
"y" é 0 (a intersecção "y" é 0); e a constante de proporção é 1/2. Cada vez
que "x" aumenta por 1, "y" irá decrescer por 1/2; ou, quando "x" aumenta por 2,
"y" aumentará por 1. "x" aumenta por 2, "y" aumenta por 1;
"x" aumenta por 2, "y" aumenta por 1. Outra forma de pensar é:
"y" é sempre metade de "x". Então, quando "x" é 4, "y" é 2;
quando "x" é 6, "y" é 3; quando "x" é 8, "y" é 4. Então, podemos conectar aqui... vou tentar desenhar o melhor possível... quando "x" é -2, "y" é -1;
quando "x" é -4, "y" é -2. Ele passa por aquele ponto ali e
continua com um declive de 1/2. Esta é a reta, e posso desenhar um
pouco mais grossa agora que já pontilhei... esta é a reta “y = x/2”. E também dizem que o quadrilátero fica inalterado
com uma reflexão sobre a reta “y = -2x + 5". Então, a intersecção "y" é 5
(quando "x" é 0, "y" é 5). Ela passa por esse ponto
e a inclinação é -2. Cada vez que aumentamos "x" por 1,
diminuímos "y" por 2. Então, fica ali, ficamos aqui, e continuamos
em uma inclinação de -2. Daí, vai ficar mais ou menos assim. Ela passa por esse ponto e continua eternamente.
Esta é a minha melhor tentativa de desenhar essa reta; e é “y = -2x + 5”. Vamos pensar e ver se conseguimos
desenhar esse quadrilátero. Primeiro, vamos refletir sobre o quadrilátero, ou sobre os pontos que tem sobre a
reta “y = x/2”. Essa é a reta “y = x/2”. Esse ponto magenta é o ponto
(-4, 2) e já está nessa reta; então, é a sua própria reflexão,
e acho que poderia chamar assim. Uma forma de pensar é que está no espelho,
mas pode facilmente refletir essa reta aqui. Se fizer essa reta uma perpendicular... e, na verdade, essa reta “y = -2x + 5” é perpendicular a “y = x/2”. Como sabemos? Se uma reta tem inclinação "m", então a reta que
é perpendicular seria o negativo do inverso disso. Seria “-1/m”. Essa primeira
reta tem inclinação de 1/2. Qual é o negativo do inverso de 1/2? O negativo
do inverso de 1/2 é 2/1, então é igual a -2. Essas retas são... eu estou tentando
apagar as perpendiculares... a gente poderia fazer uma perpendicular
com uma reta passando por essa reta... quando fizermos a reflexão... e vemos
que estamos diminuindo 2/2 duas vezes. Vamos diminuir 2/1...
diminuir 2/1 duas vezes. Vou fazer na mesma cor. A reflexão desse ponto através
de “y = x/2” é este ponto aqui. Agora, tem três pontos de nosso quadrilátero,
vamos ver se conseguimos o quarto. E vamos para o ponto magenta. Já vimos,
ele está em cima de “y" e é igual a "x/2”, então tentar fazer sua reflexão não ajuda muito;
mas poderia tentar refletir através de “y = -2x + 5”. Mais uma vez, essas retas
são perpendiculares entre si. Vou marcar: essas retas são perpendiculares,
e a gente pode traçar uma perpendicular e tentar achar sua reflexão. Estamos
indo 2 para a direita e 1 para cima. Estamos fazendo isso uma vez, duas
vezes, três vezes do lado esquerdo. Vamos fazer uma vez... usa vezes três vezes
do lado direito... então, a reflexão está bem aqui. Basicamente, a gente quer
chegar naquela reta. E, não importa o quanto para a esquerda dela
a gente quer ir, queremos ir na mesma direção, e, para a direita em cima, a mesma
distância para obter a reflexão. Então aí está; esse é nosso outro ponto.
Agora, temos os quatro pontos do quadrilátero. Quatro pontos desse quadrilátero são...
ou os quatro lados. Vou desenhar o quadrilátero. E, agora, temos os nossos quatro pontos:
esse é um lado, esse é outro lado, outro lado... e você pode verificar
que eles são paralelos. Como verificaria que são paralelos?
Eles têm a mesma inclinação. Para chegar desse ponto, para aquele ponto, tem
que aumentar um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete. Então, a inclinação é 7/4. Aumento sobre a variação
de "y" sobre variação de "x" é 7/4. E, aqui, aumenta um, dois, três, quatro. Então, varia quatro na horizontal, e varia um,
dois, três, quatro, cinco, seis, sete na vertical. A inclinação também é 7/4. Essas duas retas serão paralelas, e
podemos desenhar essas retas aqui. Esta em cima... a de cima bem aqui...
e qual é a inclinação? Vamos ver. Passamos de “x = 0” para “x = 8”. Diminuímos nossa alteração em "y",
é -1 toda vez que aumentar "x" por 8. Esta é a inclinação; é igual a -1/8. E essa é
exatamente a mesma inclinação que tem aqui: -1/8. Essas duas retas também são paralelas.
Essa reta também é paralela a essa reta. Daí, no mínimo, estamos lidando
com um paralelogramo; mas vamos ver se conseguimos ser mais específicos, porque isso está parecendo um losango. Parece um paralelogramo onde todos os
quatro lados têm o mesmo comprimento. Tem algumas formas para verificar isso. Uma forma
é encontrar a distância entre esses dois pontos. Conhecemos as coordenadas e
poderia usar a fórmula de distância, que, na verdade, vem do teorema de Pitágoras.
Ou olhar para as diagonais desse losango. Poderíamos olhar para as
diagonais desse paralelogramo, e estamos tentando
determinar se é um losango. Se as diagonais são perpendiculares, estaremos lidando com um losango, e já demonstramos que esta diagonal, esta diagonal e esta diagonal
são perpendiculares. Elas têm intersecção em ângulos retos,
então, tem que ser um losango.