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Demonstração: as altitudes dos triângulos são concorrentes (ortocentro)

Transcrição de vídeo

o que quero fazer nesse vídeo é mostrar que se começarmos com o triângulo qualquer isso seria um triângulo qualquer com o qual estamos começando que sempre podemos fazer esse triângulo ser central em relação a um triângulo maior quando dizemos triângulo central queremos dizer que cada vértice deste triângulo será o ponto médio dos lados de um triângulo maior quis mostrar que pode sempre construir isso se começar com esse triângulo você pode sempre deixar esse ser o triângulo central de um triângulo maior para fazermos isso vamos desenhar uma reta que passa por esse ponto aqui mas que é paralela a essa reta aqui embaixo essa reta e essa reta aqui em cima serão paralelas simples assim imediatamente podemos começar a dizer algumas coisas interessantes sobre os ângulos se tivermos uma transversal aqui a gente pode ver esse lado como uma transversal dessas duas retas paralelas ou dessa reta e desse segmento sabemos que os ângulos alterna os internos são congruentes então aquele ângulo vai ser congruente aquele ângulo e sabemos também que esse ângulo em azul será congruente aquele ângulo ali agora vamos fazer isso para os outros dois lados vamos criar uma reta que seja paralela a esse lado do triângulo mas que passa por esse ponto aqui deixou desenhar da melhor maneira possível essas duas retas serão paralelas que sempre pode construir uma reta que seja paralela à outra as retas e que passa por um ponto que não está sobre aquela reta novamente podemos usar ângulos alterna os internos sabemos que se esse ângulo aqui vamos apenas dizer que temos esse ângulo laranja o seu ângulo alterno interno é esse ângulo aqui também temos ângulos correspondentes esse ângulo azul corresponde a esse ângulo bem aqui então vai corresponder aquele ângulo ali e agora vamos desenhar outra reta que é paralela a essa reta para ela essa bem aqui mas passa por esse verso vai para o vértice que é o oposto aquela reta então deixa só desenhar é sempre possível construir essas retas paralelas bem assim o que acontece de novo essas duas retas são paralelas então você poderia considerar essa reta verde como uma transversal e ela é transversal esse ângulo correspondente a esse ângulo aqui se a gente vê essa reta verde como transversal dessas duas retas em rosa esse ângulo corresponde a esse ângulo aqui a gente vê essa reta amarela como transversal essas duas retas em rosa na verdade vamos ver desse modo veja a reta rosa como transversal dessas duas retas amarelas sabemos que esse ângulo corresponde a esse ângulo e se você vir essa reta amarela como transversal dessas duas retas em rosa esse ângulo vai corresponder a esse ângulo aqui e então a última coisa que temos precisamos pensar nisso se pensarmos nas duas retas verdes paralelas nas duas retas paralelas olharmos para o fim e virmos esta reta amarela como uma transversal esse ângulo correspondente em laranja está aqui isso corresponde àquele ângulo porque essa reta amarela é uma transversal nessas duas retas vezes o que acabei de mostrar começando com esse triângulo interno bem aqui é que se eu construir essas retas paralelas dessa forma que agora tenho quatro triângulos todos similares uns aos outros sabemos que todos são similares porque têm exatamente os mesmos ângulos precisa apenas de dois ângulos para aprovar a similaridade mas todos os 4 triângulos tem exatamente três ângulos similares agora outra coisa que podemos mostrar é que eles são congruentes então todos os quatro são similares e também sabemos são congruentes por exemplo em selado em amarelo é o lado nesse triângulo entre o lado laranja eo verde é o lado entre o laranja eo verde nesse triângulo aqui com esses dois temos um ângulo um lado e um ângulo no critério de congruência angulado ângulo esses dois serão congruentes um ao outro aqui nesse triângulo interno nosso triângulo original o lado que está entre o lado laranja azul a congruente aos lados entre o laranja eo azul naquele triângulo de novo temos congruência pelo critério angulado ângulos é congruente a isso que é congruente aquilo tudo isso será congruente e pelo mesmo motivo esse triângulo será congruente com esse triângulo de baixo temos um ângulo um ângulo azul lado roxo ângulo verde ângulo azul lado roxo ângulo verde eles são congruentes um ao outro se todos esses triângulo são congruentes uns aos outros os lados correspondentes são iguais se olhar pra esse triângulo aqui a gente sabe que o lado entre o ângulo azul o ângulo azul e verde será igual a esse ângulo bem aqui desculpa é igual a esse comprimento então será igual a esse comprimento entre o azul eo verde temos esse cumprimento entre o azul eo verde a gente tem aquele comprimento entre o azul eo verde temos aquele cumprimento aqui imediatamente ver que esse ponto deixou nomeado agora talvez eu devesse ter nomeado antes se chamarmos aquele ponto de a veremos que há é o ponto médio dos xamãs nesse ponto de b esse ponto de ser aqui a é o ponto médio de bc então já é o bastante e foi capaz de construir lo assim agora vamos olhar para os outros lados esse lado verde em todos os triângulos é o lado entre o ângulo azul e laranja então entre o ângulo azul e laranja você tem um lado verde entre o ângulo azul laranja tem o lado verde de novo esse cumprimento será igual a esse cumprimento se chamarmos esse ponto aqui de d e talvez esse ponto aqui de veremos que deu o ponto médio de bebê e finalmente o lado amarelo está entre o verde eo laranja entre o verde laranja temos um lado amarelo entre o verde eo laranja temos um lado amarelo todos esses triângulo são congruentes novamente deixou chamar esse df e vemos que é fiel ponto médio de s fizemos o que queríamos mostramos que se a gente começar com um triângulo arbitrário o triângulo adf triângulo à d efe podemos construir um triângulo bc então a df é o triângulo medial de b c e triângulo bcs e e tudo isso significa que os vértices de adf se encaixam nos pontos médios de b c e e aí você pode dizer ok isso já é interessante por si só mas qual é o sentido de tudo isso o sentido de tudo isso é que eu queria usar esse fato de que se me der qualquer triângulo posso fazer o triângulo central de um maior pra provar que as alturas desses triângulo são concorrentes para ver isso deixe em primeiro lugar desenhar nas alturas uma altura do vértice a seria assim começa a conversa e vai para o lado oposto é perpendicular ao lado oposto se desenhar uma altura a partir do vértice de ela se pareceria com isso se eu desenhar uma altura a partir do vértice efe ela se parecia com isso eo que fiz todo esse arranjo desse vídeo foi pra mostrar pra provar que isso sempre será concorrente e pode dizer peraí como sabemos que são concorrentes bom tudo o que temos que fazer é pensar como eles interagem com o triângulo maior como essas alturas quais são essas alturas do triângulo maior com essa altura amarela do triângulo maior lembre se essas duas retas amarelas reta a de retas e são paralelas se isso é um ângulo de 90 graus ele é interno o seu ângulo interior alternado também será de 90 graus esse aqui é perpendicular à c&a e ela divide se porque sabemos que há de é o triângulo central esse é o ponto médio então essa bem aqui é a média triz essa é a média atriz divisora para o triângulo maior para o triângulo bc e essa altura para a menor é uma medida atriz para maior podemos fazer isso para todas elas se esse ângulo for de 90 graus então esse ângulo aqui será de 90 grãos porque essa reta é paralela essa é transversal os ângulos alterna os internos são iguais então essa reta essa altura do triângulo menor ela se divide bem no ponto médio do triângulo maior nesse lado e também é uma medida a triz portanto é uma medida atriz do triângulo maior finalmente a mesma coisa verdadeira dessa altura aqui ela divide esse lado do triângulo maior num ângulo de 90 graus sabemos disso porque essas duas retas de cor lilás são a forma como construímos o triângulo maior se elas forem paralelas de novo esta é uma medida atriz essa é a razão se você me der qualquer triângulo posso pegar as suas alturas e sei que elas vão se interceptarem um ponto serão concorrentes porque pra qualquer triângulo posso fazer um triângulo central de um maior e então a sua altura será mediatriz para o triângulo maior e já sabemos que as medias trizes para qualquer triângulo são concorrentes ela se interceptam em exatamente 1 ponto