Incentro e circunferências inscritas de um triângulo

RKA - Tem um triângulo ABC aqui e no último começamos a explorar algumas das propriedades de pontos que estão nas bissetrizes dos ângulos internos. Quero fazer isso para você, só para ver o que acontece quando aplicamos algumas dessas ideias aos triângulos, ou aos ângulos internos dos triângulos. Vamos tomar a bissetriz desse ângulo aqui, ângulo BAC. Vou desenhar uma bissetriz desse ângulo. A bissetriz desse ângulo pode ser mais ou menos assim. Quero ter certeza de que tenho esse ângulo bem próximo. Então, parece estar bem próximo. Essa é a bissetriz desse ângulo. Vamos chamar esse ponto aqui, poderia chamar isso de ponto de "D". Vou desenhar uma outra bissetriz desse ângulo, a bissetriz do ângulo ABC. Deixe-me desenhar essa aqui. Parece uma coisa como essa aqui e posso chamar esse ponto de "E"; AD é a bissetriz do ângulo BAC e BE é a bissetriz do ângulo ABC. O fato de que esse segmento de reta verde AD é a bissetriz desse ângulo aqui diz que esse ângulo deve ser igual àquele ângulo ali, eles têm que ter a mesma medida. E o fato de que é a bissetriz desse ângulo, ângulo ABC, nos diz que a medida desse ângulo, ângulo ABE, deve ser igual à medida do ângulo EBC. Agora, vemos claramente que elas se interceptam em um ponto dentro do triângulo aqui. Vamos chamar esse ponto de "I", só para ficar diferente, estou pulando algumas letras. Mas vai ser uma letra útil, que é baseada no que vamos chamar daqui a pouco. Existem algumas coisas interessantes que sabemos sobre o ponto "I". O ponto "I" fica na intersecção das bissetrizes dos ângulos. E vimos isso no vídeo anterior, que qualquer ponto que fica sobre as bissetrizes e é equidistante dos dois lados daquele ângulo. Por exemplo, "I" fica no AD, então, será equidistante dos dois lados do ângulo BAC, esse lado aqui, esse lado aqui, e esse outro lado aqui. Então, porque "I" fica no AD, a gente sabe que essas duas distâncias serão as mesmas, assumindo que é a menor distância entre o ponto "I" e os lados. Também mostramos no vídeo anterior que quando falamos sobre a distância entre um ponto e uma reta, a gente fala sobre a menor distância, que é a distância que você obtém se desenhar uma perpendicular. Então, é por isso que desenhei essa perpendicular, podemos até rotular: poderia ser o ponto "F", esse poderia ser o ponto "G". Porque "I" fica na bissetriz AD, a gente sabe que IF, sabemos que IF será igual a IG. Agora, "I" também fica na bissetriz, também fica em BE, que diz que "I" deve ser equidistante de BC. A distância para AB deve ser a mesma que "I" está de BC. A distância de "I" para AB, já dissemos que esse aqui é IG. Mas, também sabemos que aquela distância deve ser a mesma entre o ponto "I" e BC. Se eu desenhar uma outra perpendicular aqui, vamos chamar esse ponto, vamos ver, não usei "H" aqui. Essa distância deve ser a mesma dessa distância porque o ponto "I" fica nessa bissetriz. Então, IG deve ser igual a IH. IG deve ser igual a IH, mas IF também é igual a IG, então, podemos também dizer que IF, quero dizer, se IF é igual a IG, é igual a IH. Nós também sabemos que IF é igual a "IH", bem pelo senso comum. Se isso é igual àquilo, aquilo é igual àquilo. Esses dois têm que ser iguais uns aos outros, mas se IH é equidistante de dois lados de um ângulo, essa é a segunda parte do que provamos no vídeo anterior, se tiver um ponto que é equidistante de dois lados de um ângulo, então, aquele ponto deve ficar na bissetriz para aquele ângulo. Então, com esse aqui, nos diz que "I" deve estar em uma bissetriz e está na bissetriz do ângulo ACB, porque é equidistante a esses dois lados do ângulo ACB E o que acabamos de mostrar é que existe um único ponto dentro do triângulo que fica na intersecção das três bissetrizes. Não é sempre óbvio que se pegar três segmentos de reta, elas não vão interceptar em um único ponto. Duas retas é uma coisa bem razoável de fazer, mas três retas não vão interceptar em um ponto. Foi legal elas terem se interceptado em um único ponto. Agora, também é legal dizer que estamos mostrando que as três bissetrizes se interceptam em um único ponto e está na bissetriz do ângulo ACB. A bissetriz de ACB vai se parecer mais ou menos com isso, mais ou menos assim. E esse ângulo aqui será congruente àquele ângulo ali. Acabamos de mostrar que se desenhar, se você pegar as três bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo, elas irão se interceptar em um único ponto, que fica em todas elas. Então, parece que vale a pena chamarmos esse ponto com um nome especial, e chamamos. Por isso que eu chamei de "I". Chamamos o ponto "I" de incentro, o incentro do triângulo ABC. E você vai ver por que o segundo é chamado de incentro. Quando falamos de circuncentro, era o centro de uma circunferência que era circunscrita ao triângulo "I". Já vamos ver isso. É o centro de uma circunferência que é inscrita ao triângulo, que é tangente aos três lados do triângulo. E como construímos isso? Bom, só temos que estabelecer que "I" é equidistante a cada um dos lados, que esse comprimento é igual àquele comprimento e é igual àquele comprimento. O que acontece se preparar uma circunferência com centro "I" que tem um raio igual à distância entre "I" e qualquer um dos lados que é igual? Aqui ele tem um raio, aqui ele tem um raio igual a IF, IG ou IH? Bom, então, vai ter uma circunferência que se pareça com, vou desenhar um pouco melhor que isso. Não tenho... é, raramente, você imagina. Essa é a minha melhor tentativa de desenhar uma circunferência. Esse círculo aqui, que tem um raio igual à distância entre "I" e qualquer um dos lados que já estabelecemos como sendo igual, vemos que eles estão dentro da circunferência, então, por que não chamamos de uma circunferência inscrita ao triângulo? Então, circunferência "I". Lembre-se, normalmente você marca circunferências com o ponto no centro. Circunferência "I" é a circunferência inscrita ao triângulo ABC. E claro, o raio da circunferência "I", então, poderíamos chamar, a gente poderia chamar esse comprimento de "r", digamos que "r" é igual a IF, que é igual a IH, que é igual a IG. Igual a IG. A gente pode chamar esse comprimento de raio da circunferência inscrita. E faz sentido, porque está dentro. Quando tínhamos falado sobre a intersecção das mediatrizes, a gente tinha o nosso circuncentro, porque era o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo. Agora, estamos pegando a intersecção das bissetrizes e usando o que podemos definir uma circunferência que está inscrita ao triângulo e cujos lados são tangentes à circunferência. E, uma vez que está dentro, chamamos de circunferência inscrita. Chamamos a intersecção das bissetrizes de incentro e chamamos essa distância aqui de raio da circunferência inscrita ao triângulo.