Raio da circunferência inscrita, perímetro e área

RKA - Nos disseram que o triângulo ABC tem o perímetro "P" e o raio "r". Querem que a gente encontre a área do triângulo ABC em termos de "P" e "r". Sabemos que o perímetro é apenas a soma dos lados do triângulo ou qual a distância terá que percorrer para contornar o triângulo. Vamos só lembrar que o raio da circunferência inscrita é se pegamos a bissetriz do ângulo interno de cada um dos vértices do triângulo, então, aquelas bissetrizes e a bissetriz dali. Esse ângulo vai ser igual àquele ângulo, esse ângulo vai ser igual àquele ângulo esse ângulo vai ser igual àquele ângulo de lá e o ponto onde aquelas bissetrizes dos ângulos internos se interceptam ou, se cruzam, é o nosso incentro, estão à mesma distância de todos os três lados. A distância desse ponto aos lados é o raio da circunferência inscrita. Vou desenhar esse raio. Quando você encontra a distância entre o ponto e a reta, forma uma perpendicular, esse comprimento aqui é o raio da circunferência inscrita. Esse comprimento é o raio da circunferência inscrita e esse comprimento aqui é o raio. Se quiser, pode desenhar uma circunferência inscrita ao triângulo com o centro no incentro e com o raio "r", aquela circunferência pareceria, aproximadamente, com isso. Na verdade, a gente não tem que desenhar nesse problema, então, poderia desenhar uma circunferência que pareça com aquela, é o que chamamos de circunferência inscrita. Vamos pensar sobre como podemos encontrar a área do triângulo, especialmente em termos do raio da circunferência inscrita. O legal sobre o raio da circunferência inscrita é que isso parece a altura. Bom, isso parece a altura para esse triângulo aqui, o triângulo "A". Vamos nomear o centro, vamos chamá-lo de "I", para incentro. Incentro. "r"é esse "r" aqui é a altura do triângulo AIC. Esse "r" é a altura do triângulo BIC. Esse "r", que não sinalizamos, aquele "r" lá é a altura do triângulo AIB. Podemos encontrar a área de cada um daqueles triângulos em termos dos dois "r" e suas bases, talvez, se a gente somar a área de todos os triângulos, a gente pode obter algo em termos de nosso perímetro e nosso raio. Então, vamos lá: a área de todo o triângulo, a área de ABF vai ser igual a, vou colorir isso, isso vai ser igual à área de AIC. O que estou riscando em vermelho vai ser igual à área de AIC mais a área de BIC, que é esse triângulo aqui. Vou mostrar em uma cor diferente. Eu já usei o azul, agora, vou usar o laranja, mais a área de BIC. Então, essa área bem aqui, mais a área de BIC. E, finalmente, mais a área, vou fazer isso na cor rosa, mais a área de AIB, que é a área de AIB, tirando a soma das áreas desses três triângulos. Você tem a área do triângulo maior. Agora, AIC, a área de AIC, vai ser igual à metade da base vezes a altura. Então, isso vai ser metade da base do comprimento de AC, uma metade de AC vezes a altura, vezes essa altura que simplesmente vai ser “r”, vezes "r", que é a área de AIC. E a área de BIC vai ser uma metade da base que é BC vezes a altura, que é "r", e mais a área de AIB. Aqui, vai ser a metade da base, que é o comprimento do lado AB. AB vezes uma altura que é, mais uma vez, “r”. Aqui, podemos fatorar 1/2 de “r” para todos esses termos e obter 1/2 de “r” vezes AC mais BC mais AB. Acho que você já vê onde isso está indo. Mais AB. Agora, o que é AC mais BC mais AB? AC + BC + AB? Bom, que vai ser o perímetro "P", se somente pegar a soma dos lados, que é o perímetro, e isso parece que está feito. A área de nosso triângulo de ABC é igual a 1/2 vezes “r” vezes o perímetro "P"; que é um tipo de resultado legal. 1/2 vezes o raio vezes o perímetro do triângulo. Ou, algumas vezes, vemos isso escrito como: é igual a “r” vezes "P" sobre 2; "P" sobre 2, esse termo aqui, o perímetro dividido por 2, e algumas vezes chamado de semi-perímetro e algumas vezes é indicado por "S". Semi-perímetro. Então, algumas vezes verá que a área é igual a “r” vezes "S", onde "S" é o semi-perímetro, é o perímetro dividido por 2. Pessoalmente, gosto dessa forma um pouco mais porque lembro que "P" é o perímetro, e isso é útil, porque obviamente, se alguém me der o raio e o perímetro posso calcular a área de um triângulo. Ou se alguém te der a área do triângulo e o perímetro, pode obter o raio da circunferência inscrita a ele. Se dado qualquer uma de duas dessas variáveis, você pode sempre obter a terceira. Por exemplo, se esse é um triângulo que é o mais famoso dos triângulos retângulos, se tem um triângulo que tem lados de medida 3, 4 e 5, sabemos que esse é um triângulo retângulo. Pode checar através do Teorema de Pitágoras e você quer saber qual é o raio desse triângulo aqui, podemos calcular a área facilmente. A gente sabe que que isso é um triângulo retângulo, 3² mais 4² é igual a 5². Então, a área vai ser igual a 3 vezes 4 dividido por 2, então. 3 vezes 4 dividido por 2 é 6, e o perímetro vai ser igual a 3 mais 4, que é 7, mais 5, que é 12. Então, temos a área. Logo, vamos escrever isso: a área é igual a 1/2 vezes o raio vezes o perímetro. Temos 6, que é igual a 1/2 vezes o raio vezes o perímetro. Então, temos a área 6, 6 é igual a 1/2 vezes o raio vezes 12. Então, nessa situação, 1/2 vezes 12 é 6, 6 é igual a 6r. Divide os dois lados por 6, você obtém “r” igual a 1. Se quer desenhar um raio para isso, que é um resultado legal, vou desenhar as bissetrizes dos ângulos aqui. Esse triângulo retângulo 3-4-5 tem raio da circunferência inscrita igual a 1. Essa distância equivale a essa distância, que é igual à essa distância que é igual a 1, que só é apenas uma espécie de resultado interessante.