Distância entre ponto e reta

RKA2MB Neste vídeo, vou falar um pouco sobre pontos na bissetriz de um ângulo, mas, antes, quero ter certeza de que entendemos quando falamos sobre a distância entre um ponto e uma reta. Digamos que isto seja um ponto A, e esta é alguma reta chamada BC. Quando estamos calculando a distância entre um ponto e outro ponto, é bem óbvio: basta traçar uma reta para esse outro ponto... bom, já usei B... basta traçar uma reta para aquele outro ponto, e descobrimos o comprimento daquela reta. Portanto, calcular a distância entre dois pontos parece bem simples. Mas e a distância entre um ponto e uma reta? Porque tem muitos pontos nesta reta. Assim, talvez, vamos descobrir essa distância, ou talvez essa distância, ou ainda essa distância. Todas terão comprimentos diferentes. Como a gente pode ter uma única distância? E a forma como pensamos sobre isso (e a gente vai ver esse assunto com mais profundidade em futuros cursos de matemática, especialmente quando começar a aprender sobre vetores e álgebra linear) é que a distância entre um ponto e uma reta, na verdade, é a distância mais curta (a menor). E a menor distância é aquela que obtemos quando traçamos uma perpendicular daquele ponto para a reta, então é o que chamamos de distância... a distância entre o ponto e a reta; isto é a perpendicular aqui. Para saber que esta realmente é a menor distância, pense nela em relação à distância entre este ponto e qualquer outro ponto nessa reta. Vamos pegar outro ponto nessa reta e chamá-lo de E. Este é um ponto arbitrário. Eu poderia ter desenhado o ponto E aqui, colocado ele aqui, eu poderia ter desenhado E em qualquer lugar. Mas, independentemente de onde desenhar o ponto E, se traçarem um segmento de reta entre A e E, devem ver que a gente forma um triângulo retângulo entre A e E e o ponto onde tenha a perpendicular (vou chamar de F). Daí, sempre vão desenhar um triângulo retângulo, partindo do princípio de que E é diferente de F. E, se fizerem assim, vão imediatamente ver que D tem que ser menor que este comprimento laranja, porque esse comprimento é a hipotenusa. A hipotenusa será sempre o maior lado de um triângulo. "D" ao quadrado mais este comprimento ao quadrado vai ser igual a este comprimento ao quadrado. Espero que tenha pelo menos dado uma certa ideia do porquê traçar a perpendicular sempre dá a menor distância entre um ponto e uma reta. E essa menor distância é o que chamamos de a distância entre um ponto e uma reta. Dito isso, vamos pensar sobre as bissetrizes dos ângulos. Vou desenhar um ângulo e chamar esse ponto... (melhor fazer com cores diferentes)... este ponto é A; este aqui é B; e este, C. E uma bissetriz de ângulo é basicamente uma reta (ou segmento, ou semirreta) que passa pelo vértice de um ângulo e o divide em dois ângulos iguais. Já falamos um pouco disso antes. Por exemplo, se quiser dividir o ângulo ABC em dois, vamos dividir... na verdade, eu consigo desenhar melhor que isso... vamos dividir em dois... e tentar desenhar um pouquinho melhor... é, agora está melhor. Está bom. Vamos chamar este ponto de D. Talvez a gente pudesse dizer até que é uma semirreta, ou chamar de segmento, ou enfim. Mas a forma de pensar é a seguinte: se o ângulo DBC é igual ao ângulo DBA, dá para falar que DB divide o ângulo ABC. Portanto, a gente pode dizer que DB (agora, eu estou falando sobre o segmento DB; daria para tê-lo transformado numa semirreta se continuasse indo para a direita, ou uma reta) DB divide o ângulo ABC, certo? Quero mostrar... e por isso comecei falando sobre distâncias entre pontos e retas... eu quero mostrar que qualquer ponto que estiver numa bissetriz de um ângulo, na verdade, será equidistante dos dois lados do ângulo. Depois, em sentido contrário, veremos que qualquer ponto que seja equidistante dos lados de um ângulo estará na bissetriz deste ângulo. Vamos, então, pegar um ponto arbitrário que esteja na bissetriz desse ângulo. E este ponto aqui vou chamar ponto arbitrário de F. Ou, na verdade, dá para usar E. Ainda não usei o E. Esse será um ponto arbitrário na bissetriz deste ângulo. Vamos olhar, agora, para a distância entre E e BC, e a distância entre E e BA. Já dissemos que a distância entre um ponto e uma reta é obtida quando traçamos uma perpendicular de um ponto sobre esta reta, o que sempre podemos fazer. Daí, é preciso traçar uma perpendicular aqui. Essa é uma distância, e esta é outra distância. Essa reta laranja é a distância entre E e BC, essa outra reta laranja é a distância entre E e BA. Quero provar que essas distâncias são iguais. A primeira coisa que deve perceber é que a gente tem dois triângulos retângulos. Os dois têm esse mesmo ângulo. Eles não estão compartilhando este ângulo, mas o ângulo ABE é congruente ao ângulo CBE; e sabemos disso porque DB é a bissetriz. Então, este ângulo é igual àquele ângulo. Os dois são triângulos retângulos, de forma que têm dois ângulos em comum; o que, na verdade, significa que eles têm três ângulos em comum. A medida desse outro ângulo fica determinada; eles também têm esse lado em comum. E, quando digo que eles têm três ângulos que são congruentes entre si, não são necessariamente em comum. Mas têm este lado em comum: BE é a hipotenusa desses dois triângulos retângulos, então podemos concluir usando esse ângulo, esse ângulo e esse lado; esse ângulo, esse lado e esse lado. Dá para falar que esses dois triângulos vão ser congruentes entre si. Vou colocar alguns pontos aqui. Vamos chamar este de F, e este de G. Dá para falar que o triângulo EBF é congruente ao triângulo EBG. E podemos usar o critério AAL (a congruência ângulo-ângulo-lado), ou dizer que, se tem dois ângulos correspondentes iguais, então esse terceiro ângulo também vai ser o mesmo. Esse ângulo também poderia ser o mesmo; e, agora, dá para usar o critério ângulo-lado-ângulo. De qualquer forma, esses dois triângulos vão ser congruentes. Mas, se esses dois forem congruentes, então os lados correspondentes serão congruentes. Então, o comprimento de EF (do segmento EF)... EF será congruente ao segmento EG, que tem o mesmo comprimento de EF, que tem o mesmo comprimento de EG. Estas são expressões equivalentes, portanto, o comprimento de EF é igual ao comprimento de EG. E o comprimento desses dois segmentos são as distâncias entre o ponto e esses dois lados respectivos, então conseguimos provar o primeiro caso. Se um ponto estiver numa bissetriz de um ângulo, ele será equidistante aos dois lados do ângulo. Vamos fazer isso agora no sentido contrário. Vou desenhar outro ângulo aqui, e chamar isto de A, B e C. E vamos pegar algum ponto E arbitrário para partir do pressuposto de que E é equidistante de BA e de BC. A gente quer provar que E deve estar na bissetriz do ângulo. Aqui, se estiver na bissetriz do ângulo, ele será equidistante. Aqui, vamos mostrar que, se ele é equidistante, estará na bissetriz do ângulo. Então, se ele for equidistante de BC e de BA, então esta perpendicular será congruente com esta perpendicular. Vou nomear os pontos: ponto D, ponto F. E vamos, agora, desenhar o segmento BE. Mais uma vez, tem dois triângulos retângulos. Já sabemos que dois dos lados são congruentes entre si; os dois compartilham a hipotenusa. Esta hipotenusa é igual a si mesma. A gente sabe com base no teorema de Pitágoras que, se souber dois lados de um triângulo retângulo, determina o terceiro lado; e já sabemos os dois lados (dos dois). O terceiro lado será igual. Assim, esse lado deve ser igual a esse. Dá para invocar o critério LLL (lado-lado-lado) para mostrar que esses dois triângulos são congruentes. Na verdade, nem precisava fazer isso; era só ter usado o critério LLA, pois tem um ângulo reto, tem catetos que são congruentes e a hipotenusa que é congruente, o que também comprova. Podemos usar o critério LLA para provar a congruência. Dos dois modos, sabemos que o triângulo EBD é congruente ao triângulo EBF. Usamos o critério lado-lado-lado, mas poderia ter usado o critério LLA, que é... e a gente sabe que o critério ângulo-lado-lado não pode ser usado para qualquer triângulo geral, mas LLA é basicamente o critério ângulo-lado-lado para triângulos retângulos. Se dois lados de um triângulo retângulo forem congruentes, então os dois triângulos definitivamente serão congruentes, que é basicamente o que isso está dizendo. Mas, quando sabemos que dois triângulos são congruentes, então seus ângulos correspondentes devem ser congruentes. O ângulo EBD corresponde ao ângulo EBF, então sabemos que o ângulo EBD deve ser congruente ao ângulo EBF. Então, EBD deve ser congruente a EBF. Se EBD é congruente a EBF, significa que o segmento EB deve dividir o ângulo CBF; ou, deveria dizer, CBA. Ele poderia ser chamado de CBF, ângulo CBA. Terminamos! Mostramos que, se um ponto estiver em uma bissetriz, então ele será equidistante dos lados deste ângulo. Mostramos também que, se ele é equidistante dos dois lados do ângulo, está na bissetriz deste ângulo. Ou poderia até ser o ponto final da bissetriz desse ângulo, mas claramente ele está na bissetriz.