Desafio de ângulo de um triângulo

RKA - Esse agora parece ser um problema interessante. Temos esse polígono, parece um pentágono aqui, tem cinco lados é um pentágono irregular, nem todos os lados parecem ter o mesmo comprimento e, meio que, continuam. Nós temos esse ângulo externo particular do pentágono e nos perguntam qual é a soma de todos esses ângulos externos? É meio desanimador, porque eles não dão mais nenhuma informação, não dão nem ângulos particulares, não dão quase nada, eles não nos ajudam a começar. O que podemos fazer? Vamos pensar passo a passo baseados no que já sabemos. Temos esses ângulos externos e, esses ângulos externos são todos, cada um é suplementar a algum ângulo interno. Talvez, se nós expressarmos esses ângulos como a função dos ângulos internos, talvez, a gente consiga escrever esse problema de uma forma um pouco mais fácil. Então, vamos escrever os ângulos internos aqui e digamos que já conseguimos a letra "e". Vamos chamar esse "f", de ângulo interior "f", vamos chamá-lo de "g", esse de "h", esse de "y" e esse aqui de "j". Alguns desses ângulos externos particulares, "a" é agora a mesma coisa que (180 - g). Porque "a" e "g" suplementares, então, "a" é (180 - g). Temos mais "b", mas conseguimos escrever em termos, esse ângulo interior vai ser (180 - h), porque esses dois ângulos, mais uma vez, são suplementares. Fazemos isso de uma nova cor, então, vai ser (180 - h). Podemos fazer a mesma coisa pra cada um deles, "c", podemos escrever como (180 - i), e mais (180 - i). O "d", podemos escrever como (180 - j), mais (180 - j). Finalmente, "e", minhas cores estão acabando, podemos escrever "e" como (180 - f). O que sobra se adicionarmos todos os 180's que temos? Temos um 180 cinco vezes, então, esse vai ser igual 5 vezes 180, que é igual a 900. Aí, temos menos "g", menos "h", menos "i", menos "j" e menos "f". Poderemos escrever como menos, vou tentar fazer com as mesmas cores, g + h, estou meio que fazendo fatoração desse sinal negativo, g + h, fazemos com a mesma cor, g + h + i + j + f. Fiz isso porque é interessante que a gente expresse. A primeira coisa que precisamos descobrir é que expressamos em termos de soma dos ângulos internos e isso vai ser 900 menos todos esses. Isso é 900 menos todos esses, o que é a soma de todos os ângulos internos, então isso é a soma de todos os ângulos internos. Parece que fizemos algum progresso, se conseguirmos, pelo menos, se a gente descobrir a soma de todos os ângulos internos e, para fazer essa parte, eu vou te mostrar um pequeno truque. O que quer fazer é dividir esse polígono de dentro em três triângulos não sobrepostos e, conseguimos fazer isso de qualquer lado. Eu vou só, vamos dizer que eles estão vindo do lado direito ali e aqui, eu dividi, vou fazer isso de uma cor neutra, vou fazer em branco, então tem um triângulo aqui e, vou fazer outro triângulo aqui assim e aí vai. Eu dividi em três triângulos não sobrepostos e a razão pela qual fiz isso, a razão pela qual é válida, é porque a sabemos qual a soma dos ângulos internos dos triângulos que adicionamos. Para fazer isso ser útil, temos que expressar esses ângulos em termos das somas dos ângulos que conseguimos descobrir, baseados no fato de que a soma dos ângulos internos em um triângulo é igual a 180°. "g" é um dos ângulos do triângulo, "f" é feito de dois ângulos no triângulo, lembre-se que "f" é esse ângulo inteiro aqui. Então, vamos dividir "f" em dois outros ângulos ou, duas outras medidas dos ângulos. Vamos chamar isso de "f" igual a, já fomos no máximo que, vamos ver, "a", "b", "c", "d", "f", "g", "h", "i", "j", nós não usamos o "k" ainda. Então, digamos que é igual a "k" mais "l", é igual a soma das medidas dos dois ângulos adjacentes aqui. "f" é igual a (k + l). Da forma que separamos os dois em duas partes dos ângulos dos outros triângulos, podemos fazer isso com "j" também. Com "j" também. Podemos dizer, porque mais uma vez é tudo isso, então, podemos dizer que "j" é igual a, vamos ver, já usamos "l", então, vamos dizer que "j" é igual a "m" mais "n", então "j" é igual a (m + n). Finalmente, podemos separar "h". "h" está aqui em cima, lembre-se que isso é uma coisa inteira. Vamos dizer que "h" é a mesma coisa aqui "o" mais "p" mais "q". Esse é "o", esse é o "p" e esse é "q". Mais uma vez queria separar esses ângulos internos, se ainda não são partes de, ou um ângulo de um triângulo, quero separar em ângulos que sejam partes desses triângulos. Temos "h" igual a (o + p + q). E a razão pela qual isso é interessante, é porque agora podemos escrever a soma desses ângulos internos como soma de um monte de ângulos que são partes desses triângulos e, poderemos usar o fato de que para qualquer triângulo, ele somam 180°. Vamos lá! Para que essa expressão aqui seja "g" que é aquele ângulo ali, não fizemos nenhuma substituição, então, isso vai ser "g" e, quer que eu escreva tudo isso, a gente tem 900 menos e, ao invés de "g", na verdade não estou fazendo uma substituição para escrever "g" mas, ao invés de um "h", posso escrever que "h" é (o + p + q). (o + p + q) e então mais "i", e mais "i". Baguncei as cores aqui! "i" é rosa e "j", essa expressão aqui, então, "j" é igual a (m + n). Mais "m", mais "n" e o "j" está escrito ali. Finalmente, nós temos o "f". "f", já vimos, que é igual a (k + l), então, mais "k", mais "l". Mais uma vez, só reescrevi esta parte aqui em termos desses ângulos componentes. Agora, uma coisa interessante vai acontecer porque sabemos o que essa soma vai dar. Porque sabemos que (g + k + o) é 180°. Estas são as medidas dos ângulos desse primeiro triângulo aqui. Para esse triângulo aqui (g + o + k) é 180°. Deixa usar uma cor diferente! Então, para esse triângulo aqui, sabemos que (g + o + k) será igual a 180°. Se os cortarmos, podemos escrever 180 no lugar e, aí também sabemos, deixe-me ver, vou escrever de uma cor diferente. Sabemos que "p", para esse triângulo do meio aqui, sabemos que (p + l + m) é 180°. (p + l + m) é 180°. Então, você pega ele, sabe que a soma deles vai ser igual ao 180° e, finalmente, sabemos que (q + n + i) é 180°, nesse último triângulo. (q + n + i) é 180°. Eles, também, vão ser 180º. Agora, sabemos que a soma dos ângulos internos para esse pentágono irregular, na verdade, para qualquer pentágono: 180 mais 180 mais 180 igual a 540°. Isso tudo é 540°. Se formos obter a soma dos ângulos extras, vamos subtrair de 900: 900 menos 540 será 360° e, terminamos! Isso é igual a 360°.