Divisão de triângulos com medianas

RKA - Mas o que pensar agora se nos derem um triângulo, temos o triângulo ABC, quais são as medianas do triângulo e como se relacionam entre elas? Elas têm propriedades interessantes e você poderia adivinhar o que elas têm. Então, uma mediana é, se a gente começar em um dos vértices, então, vamos começar nesse aqui e aí dividimos em duas partes iguais os lados opostos. Essa aqui seria uma mediana, essa começou aqui e ela divide em dois esse lado oposto. O comprimento de "b" até esse, que vamos chamar de "D", ele é o ponto médio do lado BC, então, o comprimento de "B" para "D" é igual ao comprimento de "D" para "C". Agora, vamos fazer isso com todos os lados, posso desenhar uma mediana aqui, assim, vamos chamar isso de ponto "E", ponto médio de AC. O comprimento de "A" até "E" vai ser igual ao comprimento de "E" para "C", embora, isso fique um pouco torto, mas está bem próximo. E vou desenhar outro mediana, não vou provar isso neste vídeo, mas todas as medianas, e isso é outra coisa legal de saber, quando têm três segmentos de reta que sempre irão cruzar em um ponto, todas as medianas cruzam em um único ponto, todas serão coincidente, todas elas atingem um ponto em comum chamado baricentro. A gente vai desenhar assim, não vou provar isso neste vídeo, então, esse comprimento, vamos chamar esse ponto aqui de "F". Esse comprimento aqui é igual àquele comprimento ali e o ponto em que essas medianas cruzam é chamado de baricentro. Quando começa a estudar física, na verdade, se está, e isso era um triângulo uniforme e ia jogá-lo, e ia girar em torno do baricentro aqui. Mas vamos estudar isso de forma geométrica, agora, vamos chamar isso de baricentro. Bom, aqui já foi até "F", então, vamos chamar de baricentro "G". Agora, o que eu quero, que por si só já é legal, é que você tenha um baricentro, que se ia jogar, se isso era uma massa uniforme, iria girar em torno do baricentro. Mas o que é ainda mais legal é que podemos ver que dividimos esse triângulo em seis triângulos menores, o que é muito legal, apesar desses não serem triângulos necessariamente congruentes, mas eles têm a mesma área e isso é o que vamos comprovar neste vídeo, que todos esses seis triângulos têm a mesma área. Para começar, só vou olhar para dois: vou olhar para diferentes pares de triângulos. Vamos olhar para esses dois triângulos bem aqui. Vamos olhar para esses dois triângulos e mostrar que aqueles dois têm a mesma área. Só vamos recorrer a um princípio muito simples: imagine girar, apenas aqueles dois triângulos. Apenas gire só esses dois triângulos e isso iria parecer com algo mais ou menos assim. Vou tentar o meu melhor para desenhar, onde esse seria o ponto "G", ainda vou tentar colorir do mesmo que é o ponto "G", que é aquele lado de lá. Esse é o ponto "C". Esse é o ponto "B". Então, esse aqui é a segunda parte daquela mediana de lá, seria o ponto "D". Agora, sabemos e não desenhei isso como deveria, sabemos que esse comprimento é igual àquele comprimento. E esses dois triângulos, se estamos começando a pensar sobre a área, têm a mesma base, e conhecemos a área: a área é igual à metade da base vezes a altura. Então, definitivamente eles têm a mesma base. E suas alturas? Eles também têm as mesmas alturas; as duas alturas são exatamente aquilo. Eles têm a mesma altura, então, os dois têm a mesma base. Têm a mesma altura. Em um triângulo obtuso aqui, a altitude fica fora dele. Se você tem um triângulo obtusângulo como esse, digo, obtusângulo porque esse ângulo é maior que 90°, sua altura fica fora do triângulo, mas está certo, esses dois triângulos têm a mesma base e a mesma altura. Assim, eles terão a mesma área. Então, se esse aqui tem área "x", esse aqui terá a área "x", também. E você pode usar exatamente a mesma lógica para dizer: esse cara e esse cara têm a mesma base e os dois têm a mesma altura. Assim, se esse aqui é da área "y", esse aqui também vai ser a área "y". Eles vão ter a mesma área "y". Finalmente, a gente poderia fazer a mesma coisa para esses dois aqui, os dois têm a mesma base. Esse era BF, que é igual a FA. E os dois têm a mesma altura, nós traçamos a altura como essa, e se chamássemos essa área de "z", você poderia chamar aquela área de "z" também. Então, até agora mostramos que podemos dividir isso em três pares de triângulos que têm a mesma área. Mas, agora, quero mostrar que todos eles têm a mesma área e, para fazer isso, podemos recorrer a esse mesmo princípio, mas faremos isso com diferentes grupos de triângulos. Vamos olhar para o triângulo BAE. Olhe para o triângulo BAE. A área do triângulo BAE, área de BAE vai ser igual a "z" mais "z" mais "y". z + z + y. E vamos olhar para a área do triângulo BEC. BEC. Isso vai ser, esse triângulo vai ser "x" mais "x" mais "y". A área de BEC vai ser x + x + y. Mas é o mesmo princípio: os dois têm a mesma base e a mesma altura. Você poderia traçar uma altura como essa. Esse é um triângulo obtusângulo, então, aquela altura fica fora dele, mas eles têm a mesma altura, então, essas duas áreas serão iguais entre si. Você tem "z", bom, deixe-me acrescentar, agora você tem 2z mais "y", que vai ser igual a, igual a 2x mais "y". 2x mais "y". Subtraindo "y" dos dois lados, você obtém 2z, que é igual a 2x. Divide os dois lados por dois, obtém "z" igual a "x" e, assim, poderíamos escrever um "x" aqui e um "x" ali. Então, a gente sabe que todos esses terão a mesma área. Mas ainda temos que nos preocupar com esses "y" aqui e fazer aquilo. A gente tem de girar do jeito que olhamos para ele. Agora, olhamos para o triângulo ADC. Vamos usar uma cor diferente, triângulo ADC, que estou destacando aqui, cuja área vai ser 2y mais "x", é igual a 2y mais "x". E, então, olhamos para o triângulo e, vejamos, que cor eu não usei ainda? Vou usar verde. Triângulo ADB. O triângulo ADB vai ser igual a, bom, você poderia dizer que é 2z mais "x", mas sabemos que "z" é igual a "x", realmente será só "x" mais "x" mais "x", é mesmo igual a ADB, que é igual a 3x. E temos a mesma ideia aqui: ADB tem essa base, que é a mesma base de ADC. Os dois têm a mesma altura. A gente pode traçar uma altura como essa, eles têm a mesma altura. Estamos somente recorrendo a esse princípio de novo, então, dois triângulos têm que ser equivalentes entre si. E obtemos 2y mais "x" que é igual a 3x. Igual a 3x. Subtraia "x" dos dois lados e você obtém 2y é igual a 2x, ou "y" é igual a "x". É um resultado realmente legal, você vai de cada um dos vértices do triângulo para o ponto médio do lado oposto e divide em dois aquele lado oposto. Faça isso três vezes e terá as três medianas. Esses segmentos de reta são chamados de medianas e elas se interceptam no baricentro do triângulo. Você sabe que isso é legal e as medianas dividem o triângulo em seis triângulos menores de mesma área.