Medianas e baricentros de triângulos (demonstração 2D)

RKA2MB No vídeo sobre medianas e baricentro, provei que o baricentro está localizado em 2/3 da medida de uma das medianas e fiz isso usando um triângulo bidimensional num espaço de três dimensões. Mencionei também que achava que isso simplificava um pouco a matemática, mas alguém mencionou que estava interessado em ver a versão bidimensional da demonstração. Por que não? Vamos desenhar um triângulo qualquer. Vou fazer um lado do triângulo sobre o eixo x. Acho que isso vai facilitar um pouco os cálculos, mas talvez haja maneiras mais fáceis de demonstrar. Esse é um lado do triângulo; esse é outro. Vamos colocar a altura sobre o eixo y... esse triângulo aqui... e este é o eixo y. Este é o eixo y; já este é o eixo x. E este é um triângulo arbitrário. Vamos fazer essa distância igual a "a". Este vértice vai ser o ponto (a, 0). Portanto, a distância é "a". Vamos fazer essa distância igual a "b". Então, este é o ponto (-b, 0). Agora, vamos fazer essa distância; este é o ponto "y = c". Então, é o ponto (0, c). É um triângulo qualquer, e qualquer triângulo pode ser representado assim. Vamos pensar, agora, sobre suas medianas e o baricentro; e, só para fazer para duas das medianas, a gente sabe que a terceira mediana também vai interceptar no mesmo baricentro. Vamos descobrir onde elas estão. A gente vai ter um ponto médio nesse lado do triângulo, e suas coordenadas serão o ponto médio desses dois pontos, ou "(0 + a)/2", que é "a/2". Depois, "(c + 0)/2", que será "c/2" . Fazemos o mesmo aqui. O ponto médio deste lado será: "(-b + 0)/2", ou seja, "-b/2". E, depois, "(0 + c)/2", que será "c/2". Agora que sabemos todas as coordenadas dos vértices e os pontos médios de dois desses lados, podemos descobrir as equações para as retas das medianas. Assim, a gente pode descobrir a equação para esta reta; podemos descobrir a equação para esta reta roxa. A seguir, dá para encontrar a equação para a outra reta, que liga estes dois pontos; e encontrar sua intersecção para, basicamente, ter coordenadas do baricentro (ponto de intersecção das medianas). E podemos fazer isso também para esta aqui; mas seria redundante, porque ela vai intersectar no mesmo ponto. Qual seria a equação para esta reta aqui? Nossa inclinação vai mudar em y... "(c/2) - 0" é "c/2"... sobre a diferença em x... "a/2" menos "b"... na verdade, é "-(-b)", melhor dizendo... então fica "+b" (poderia escrever "+b" aqui)... para simplificar a matemática, vou escrever "+ 2b/2" (apenas subtraí um "-b", o que é a mesma coisa que somar um "b"; e somar um "b" é igual a somar "2b/2"). Fiz isso para que eles tivessem o mesmo denominador e daria para somar, ou simplesmente multiplicar o numerador e o denominador por 2, para obter que a inclinação é igual a "c/(a + 2b)". Então, esta é a inclinação dessa reta aqui. E sabemos alguns pontos aqui; simplesmente dá para usar a equação fundamental da reta para a equação de uma reta, e sabemos que o ponto (-b, 0) está na reta. A gente, assim, sabe que a equação dessa reta roxa será "(y - 0)" é igual a "x - (-b)" (ou, poderia dizer, (x + b)) vezes a nossa inclinação (vezes "c/(a + 2b))". Obviamente, seria reduzido apenas para "y" igual a tudo, e é basicamente a equação dessa mediana se a reta continuasse indefinidamente. A mediana é um segmento de reta, que é parte dessa reta. Vamos, agora, fazer o mesmo para esta reta aqui; esta mediana aqui. De novo, a inclinação: a sua diferença em y sobre a diferença em x. A diferença em y: "(c/2) - 0". A inclinação aqui é igual a "(c/2) - 0" (que é "c/2")... menos... "-b/2" menos "a" (ou poderia dizer "-2a/2", que é igual a "-a"). E vamos fazer a mesma coisa: multiplicar o numerador e o denominador por 2. Obtemos "c/(-b - 2a)". Então, a equação dessa reta da outra mediana é... a gente tem esse ponto e, então, podemos usar a equação fundamental da reta de novo. Obtemos "(y - 0)" é igual a "(x - a)" vezes a inclinação (vezes "c/(-b - 2a)"). E tem duas equações para estas retas. Podemos agora usar essas informações para descobrir sua intersecção, que será o baricentro. Bom, para fazer isso, tem esses dois em função de "y", certo? "y - 0 = y", a gente pode determinar que isto é igual a isto. Vamos fazer. Tem que "(x + b)‧c" sobre "a + 2b" é igual a "(x - a)‧c" sobre "-b - 2a". Os dois lados são divisíveis por "c", e podemos pressupor que "c" não é zero. E dá para cancelar. Esse triângulo existe de verdade; na verdade, ele existe em duas dimensões, da forma que podemos dividir os dois lados por "c" e ter isto. Dá para fazer a multiplicação cruzada. Podemos multiplicar "x + b" por essa quantidade, e isso será igual a "a + 2b" vezes essa quantidade aqui. E, agora, podemos distribuir. Isso será "x" vezes toda essa coisa. Isso será "x" vezes "(-b - 2a)" mais "b" vezes tudo isso... e vai ser "-b² - 2ab". Assim, eu apenas multiplico isto por isso, e isso será igual a isto vezes aquilo. Portanto, isso será "x" vezes toda essa coisa... "x" vezes "(a + 2b)"... menos "a" vezes isto... vamos distribuir o "a"... "-a² - 2ab". Vamos ver se conseguimos simplificar. Tem "-2ab" nos dois lados, então a gente subtrai isso. Agora, vamos cancelar e subtrair isso dos dois lados da equação para ter "a"... menos "x‧(a + 2b)". E vou subtrair isso daqui. Mas vou escrever um pouco diferente; vai simplificar as coisas. Fica "x" vezes... vou distribuir o sinal negativo dentro de "(a + 2b)"... "(-a - 2b)". Vamos agora adicionar um "b²" aos dois lados (então, mais "b²"). Quero colocar todos os termos "x" de um lado e todas as constantes do outro. Do lado esquerdo, tenho.. "-b - 2b" é "-3b"... "-2a - a" é "-3a"... vezes "x" é igual a... esses dois se cancelam e é igual a... "b² - a²". Vamos ver se conseguimos fatorar. Parece que dá para resolver. Pode ser fatorado! Podemos fatorar um -3; ou, na verdade, fatorar um 3 e obtemos "3‧(b - a)"... então, "-3‧(b + a)‧x = (b + a)‧(b - a)". A gente pode dividir os dois lados por "(b + a)", e a gente tem que "-3‧(x) = (b - a)". Vamos dividir os dois lados por -3. Obtemos que "x" é igual a "(b - a)/-3", que é igual a "(a - b)/3". Então, agora, a gente tem a coordenada x do nosso baricentro; e ela é "(a - b)/3". E já estão vendo dicas da solução: "a - b" é toda essa distância, ela é 1/3 de toda essa distância. Mas eu não quero me adiantar muito porque complica as coisas, eu estou só pensando sobre a coordenada x; mas vamos descobrir a coordenada y. Para isso, dá para fazer a substituição em uma dessas equações aqui. Esta era a equação desta mediana (da mediana cinza que fizemos). Vamos substituir nesta equação. Tem "y" é igual a... vou fazer isso aqui... "y" é igual a "(x - a)‧c"... "x" é essa coisa aqui, é "(a - b)/3"... menos "a"... agora, eu vou subtrair... em vez de escrever um "-a" aqui, vou escrever um "-3/3"... "-3a/3"... isto é esse "menos" aqui; apenas multipliquei e dividi por 3... será tudo isso vezes "c"... sobre "-b - 2a". Portanto, será igual a... no numerador tem um "a - 3a"... e é igual a "a" menos "b"... e tem um "-b" aqui... e "a - 3a" é "-2a"... isso fica "-b - 2a"... vezes... a gente poderia fatorar o 1/3.... vezes "c/3"... este agora é o numerador... tudo isso sobre "-b - 2a". Isso cancela com isso, então nossa coordenada y será igual a "c/3". "c/3" é a coordenada y. Agora, sim, dá para usar a fórmula da distância. Sabemos todas as coordenadas, e sinta-se à vontade para fazer, se quiser, mas tem uma pequena simplificação (ou pelo menos acho que é uma pequena simplificação). A gente sabe que a altura, que a coordenada y do baricentro, é "c/3". Esse ponto é "c/3". Então, poderia talvez usar um argumento mais fácil, porque lembre-se: o objetivo é demonstrar que o ponto está localizado 2/3 ao longo da mediana partindo do vértice. Vou desenhar o vértice aqui embaixo. O objetivo deste vídeo é mostrar que isso está 2/3 ao longo do caminho, ou que este comprimento é o dobro deste comprimento, ou que esse comprimento é 2/3 de todo o comprimento da mediana. Então como podemos fazer isso? A maneira mais simples é usar as coordenadas e a fórmula de distância. Mas também tem como usar triângulos semelhantes, porque toda essa altura em azul é "c". Sabemos que toda essa altura em azul é "c". Sabemos que esta altura é "c/3", ou dá para ver como "(1/3)‧c". E, dessa forma, sabemos que a altura, a distância é "(2/3)‧c". A gente pode usar um argumento de triângulos semelhantes. Digamos que toda esta coisa é o comprimento da mediana. Vamos chamá-la de "ℓ " (vamos chamar isso de "ℓ"). Digamos que a gente queira saber a distância disto ao longo da mediana partindo do vértice. Vou usar uma cor diferente. Vamos chamar esta distância aqui... já usei "a", já usei "b" e "c". Vamos chamar de "d". Assim, se puder mostrar que a proporção de "d" para "ℓ" é 2/3 (então, é 2/3 da distância), vamos conseguir resolver; a gente pode usar com base em triângulos semelhantes. Tem dois triângulos semelhantes... vou usar outra cor. A gente tem esse triângulo, que está incorporado dentro desse triângulo maior aqui. Os dois compartilham o mesmo vértice, este ângulo aqui; os dois têm ângulos retos e, como eles têm dois ângulos iguais, o seu terceiro ângulo será o mesmo. Definitivamente, são triângulos semelhantes. Então, a gente pode estabelecer uma proporção. Daria para escrever "(2/3)‧c" ao longo de todo esse comprimento sobre o comprimento do maior. Esse lado correspondente do triângulo semelhante maior sobre "c" é igual à hipotenusa do triângulo semelhante menor ("d") sobre a hipotenusa do maior triângulo semelhante, "d/ℓ". É claramente... basta dividir o numerador e o denominador por "c"... e isto claramente fica 2/3. A proporção desse comprimento para este comprimento maior é 2/3; ou está a 2/3 da mediana partindo do vértice. Pronto! Esta é a prova bidimensional de que o baricentro está a 2/3 do caminho de qualquer mediana partindo do vértice; ou 1/3 ao longo da mediana partindo do lado do triângulo. De qualquer modo, eu espero que tenha gostado dessa comprovação bidimensional. Até o próximo vídeo. Fui!