Circuncentro de um triângulo retângulo

RKA - O que quero fazer neste vídeo é provar que o circuncentro de um triângulo retângulo é, na verdade, o ponto médio de sua hipotenusa. Para fazer isso, primeiro vou dar uma olhada na mediatriz de um dos catetos deste triângulo retângulo. Deixe-me construir a mediatriz do cateto BC aqui. Então, vai ser mais ou menos assim, mais ou menos assim. E ela cruza o lado BC em um ângulo reto, pois uma mediatriz de uma reta é perpendicular a essa reta. O comprimento de “B” a esse ponto, que vamos chamar de “M”, talvez “M” de ponto médio, é igual ao comprimento de "M" a "C". Estas duas distâncias serão iguais e vamos chamar o ponto onde essa mediatriz perpendicular cruza a hipotenusa de "O" e vamos provar que "O" é o circuncentro deste triângulo retângulo. A primeira coisa a perceber, e isso é o que vimos em vários problemas, o triângulo OBM parece ser semelhante ao triângulo ABC. Na verdade, não é difícil de provar, os dois têm um ângulo de 90°, então, se mostrarmos que os dois têm ângulos correspondentes que são congruentes um ao outro; sabemos que são triângulos semelhantes pelo critério de congruência AA; eles claramente têm esse ângulo em comum aqui, OBC é parte do triângulo menor e ABC, que é o mesmo ângulo, é parte de um triângulo maior. Daí eles também, obviamente, compartilham um ângulo de 90° pelo critério de semelhança AA de um triângulo. A gente tem um triângulo OBM, OBM é semelhante ao triângulo ABC; é semelhante ao triângulo ABC. E o que é útil nisso? É que sabemos que triângulos semelhantes têm lados correspondentes proporcionais. Por exemplo, sabemos que a razão entre o lado BM, que é do triângulo menor, sabemos que a razão entre BM, deixe-me desenhar de uma cor diferente para ficar melhor. A gente sabe que a razão entre BM e BC; BM e BC, a razão deste lado do triângulo menor para o lado correspondente no triângulo maior vai ser a mesma que a razão da hipotenusa do triângulo menor BO, à hipotenusa do triângulo maior, porque são semelhantes. A gente sabe qual é a razão entre BM e BC: BM é metade de BC, então esta razão aqui vai ser igual a 1/2, este “M” é o ponto médio destas coisas. Esta é exatamente a mesma distância que esta, então isso é metade do BC inteiro. Então, se 1/2 é igual a BM sobre BC, que é igual a BO sobre BA, sabemos, se ignorarmos esta parte do meio aqui, que 1/2 é igual a BO sobre BA, sobre BA. Se multiplicarmos em "x", teremos vários jeitos de pensar: se multiplicarmos em "x", podemos dizer que BA é igual a 2BO. Ou, se dividirmos os dois lados por 2, por eles serem equivalentes, 1/2 BA será igual a BO. Então, BO é 1/2 BA; isto é 1/2 BA. Este outro comprimento, AO, vai ser, isto vai ser (BA - 1/2 BA). E isto também vai ser 1/2 BA. Este segmento aqui, AO, vai ser congruente a OB. Primeiro, mostramos que esta mediatriz perpendicular aqui, a mediatriz perpendicular do segmento BC, cruza a hipotenusa do nosso triângulo retângulo no ponto médio. Já sabemos que "O" é o ponto médio. é o ponto médio da hipotenusa, da hipotenusa AB. Bom, isso já é interessante, mas também sabemos que um ponto que está em uma mediatriz de um segmento é equidistante, tem a mesma distância das duas extremidades do segmento. Mostramos isso no vídeo anterior. Também sabemos que OB é equidistante das extremidades do segmento aqui, que OB é igual a OC. Mas, sabemos, por essa primeira afirmação, que OB é também igual a OA. OB é também igual a a OA. Então, OB é igual a OC, OB é igual a OA, significa que OC tem que ser igual a AO, que OC tem que ser igual a OA. Outro jeito de pensar nisso é que este ponto "O" é equidistante de todos os vértices. Este ponto "O" é equidistante de todos os vértices do nosso triângulo. Essa distância, que realmente vai ser nosso raio, é a mesma distância aqui, que é a mesma distância ali. Então, sabemos que "O" é equidistante, equidistante de todos os vértices, que é outro jeito de dizer que "O" é o circuncentro. "O" é o circumcentro. Então, provamos que se tem o circuncentro de um triângulo retângulo, ele é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo. Ou, pelo outro lado, a hipotenusa de um triângulo retângulo é o circuncentro, porque você só pode ter um circuncentro de qualquer triângulo.