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Circuncentro de um triângulo retângulo

Transcrição de vídeo

o que quero fazer neste vídeo a provar que o circo um centro de um triângulo retângulo é na verdade o ponto médio de sua hipotenusa pra fazer isso primeiro vou dar uma olhada na medi a triz de um dos catetos desse desse triângulo retângulo deixou construirá mediatriz do quarteto bc aqui então vai ser mais ou menos assim vai ser mais ou menos assim e ela cruza ao lado bc em um ângulo reto pois uma média triz de uma reta é perpendicular à essa reta b o cumprimento de b esse ponto que vamos chamar de m talvez md ponto médio é igual ao cumprimento de m a c essas duas distâncias serão iguais e vamos chamar o ponto onde essa média atriz perpendicular cruz a hipotenusa vamos chamar de forró e vamos provar que o é o círculo centro desse triângulo retângulo a primeira coisa a perceber isso é o que vimos em vários problemas o triângulo obi e me parece ser semelhante ao triângulo no abc na verdade é difícil de provar os dois têm um ângulo de 90 graus então se mostrarmos que os dois têm ângulos correspondentes que são congruentes um ao outro sabemos que são triângulo semelhante pelo critério de congruência ah ah ah eles claramente têm esse ângulo incomum aqui o bc é parte do triângulo menor e abc que o mesmo ângulo é parte de um triângulo maior da eles também obviamente compartilha um ângulo de 90 graus pelo critério de semelhança a a de um triângulo a gente tem um triângulo o bm o be m é semelhante ao triângulo abc é semelhante ao triângulo a b c e o que é útil nisso é que sabemos que triângulo semelhantes têm lados correspondentes proporcionais por exemplo sabemos que a razão entre o lado b m que é do triângulo menor sabemos que a razão entre bm deixa o desenho de uma cor diferente só pra ficar melhor a gente sabe que a razão entre bm e bc bm e bc a razão desse lado do triângulo menor por um lado correspondente no triângulo agora vai ser a mesma que a razão da hipotenusa do triângulo menor b ó a hipotenusa do triângulo maior porque são semelhantes a gente sabe qual é a razão entre bm bc bm é metade de bc então essa razão aqui vai ser igual a um meio sm ao ponto médio dessas coisas essa é exatamente a mesma distância que essa então isso é metade tu bc inteiro então se um meio é igual a bm sobre bc que é igual há beon sobre bea então sabemos se ignorarmos essa parte do meio aqui que um meio é igual a pior sobre bea sobre de gea se multiplicarmos em x teremos vários jeitos de pensar se multiplicarmos em x podemos dizer que o bea é igual a 2b o onze dividirmos os dois lados por dois por ele ser equivalentes a um meio bea será igual a ab ó então b o é um meio bea então isso é um meio brs outro cumprimento ao ac isso vai ser b isso vai ser behar - um meio bem a isso também vai ser um meio a esse segmento aqui há ó ó vai ser congruente a obi primeiro mostramos que essa média 13 perpendicular à cmed atriz perpendicular do segmento b c cruza e poder usa do nosso triângulo retângulo no ponto médio já sabemos que ó o ponto médio é o ponto médio da hipotenusa da e poder usa a b bom isso já é interessante mas também sabemos que um ponto que está em uma medida atriz de um segmento é eqüidistante tem a mesma distância das duas extremidades do segmento mostramos isso no vídeo anterior também sabemos que obi é eqüidistante das extremidades do segmento aqui que obi é igual a você mas sabemos por essa primeira afirmação aqui que o be é também igual a obi é também igual à então abbey qual se o bê igual a significa que você tem que ser igual a você tem que ser igual a a há outro jeito de pensar nisso é que esse ponto é que distante de todos os vértices esse ponto ó e que distante de todos os vértices do nosso triângulo essa distância essa distância que realmente vai ser nosso raio é a mesma distância aqui que a mesma distância ali então sabemos que ó é eqüidistante e que distante de todos os vértices que é outro jeito de dizer que ó é o circo um centro óptico o circo um centro então provamos que se tenha se com o centro de um triângulo retângulo ele é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo ou pelo outro lado a hipotenusa de um triângulo retângulo é o circo um centro porque você só pode ter um circo um centro de qualquer qualquer triângulo