Três pontos definem uma circunferência

RKA13MB - Sabemos que um triângulo é definido por três pontos. Se fôssemos escolher três pontos aleatórios não colineares, vamos chamar de ponto A, ponto B e ponto C. Se a gente dissesse que esses três pontos são os vértices de um triângulo, eles formam um triângulo único, então esse seria o triângulo ABC. Aprendemos, nos últimos dois vídeos, que o triângulo ABC tem um único circuncentro, que é um ponto equidistante desses três vértices, equidistante desses três pontos. Uma maneira de descobrirmos isso é desenhar a bissetriz perpendicular de cada um desses lados e também o ponto onde as três bissetrizes perpendiculares se interceptam. Mostramos que elas sempre se interceptam em um único ponto: o circuncentro. Vou fazer isso rapidinho aqui. Digamos que essa é a bissetriz perpendicular daquele lado, essa é a bissetriz perpendicular desse lado, e essa é a bissetriz perpendicular daquele lado. Todas elas são perpendiculares, e cada uma divide o lado em duas partes iguais. A distância de B até esse ponto será igual à distância desse ponto até A. Da mesma forma, a distância de A até esse ponto será igual à distância desse ponto até o ponto C. O mesmo acontece para a distância de C até esse ponto, que será igual à distância desse ponto até o ponto B. Esse ponto aqui (já já falamos sobre isso), vamos chamá-lo de ponto O. Vamos chamá-lo de circuncentro; "O" é o circuncentro. Isso é só uma rápida revisão. Se a gente tem três pontos, temos um triângulo único. Esse triângulo tem um único circuncentro, o qual é equidistante dos três pontos do triângulo; devemos dizer três vértices do triângulo. Aquela distância entre os três vértices... (deixe-me desenhar isso de uma cor diferente)... essa distância, o comprimento de OA, o comprimento de OC e o comprimento de OB, portanto, "OA = OC = OB". O circunraio, aprendemos, ao falar de circunferências pela primeira vez, que, se determinamos um ponto e encontramos o local de todos os pontos que são equidistantes desse ponto, formamos uma circunferência. Quando digo "local", refiro-me ao conjunto de pontos. Se indicasse qualquer ponto aqui, ele seria um ponto arbitrário, e, se também especificasse o raio e indicasse qual é o conjunto de pontos nesses dois planos dimensionais que são equidistantes e estão a um raio de distância do centro, isso formaria uma circunferência. É assim que se forma uma circunferência. De maneira parecida, se eu dissesse: "olha, se a gente começar com o centro em O e indicarmos todos os pontos que estão em um circunraio de distância de O, isso identificará exclusivamente uma circunferência, e ela conterá os pontos A, B e C, porque esses são os circunraios distantes de O, portanto estão inclusos nesse conjunto". A circunferência seria parecida com algo assim. Estou tentando desenhar da melhor forma possível. Tudo sobre o que falamos até agora, como nesses últimos minutos, é uma revisão. A gente sabe de tudo isso, mas retomei só para restabelecer uma ideia bem interessante de que, se indicarmos três pontos que formam um triângulo, e se tivermos um triângulo único... deixe-me esclarecer isso.... esses são três pontos não colineares, três pontos que não estão na mesma reta... se a gente tem três pontos que não estão na mesma reta, isso forma um triângulo único. Para cada triângulo único que tivermos, temos um circuncentro único e um circunraio. Se indicarmos qualquer ponto no espaço, qualquer ponto único, e um raio, a distância entre o conjunto de pontos e o ponto indicado será exatamente o valor do raio. Isso nos dá uma circunferência única. Me estendi ao falar sobre o triângulo único, com um único circuncentro e um único circunraio, para realmente te mostrar que, se me indicar quaisquer três pontos, isso forma, finalmente, uma circunferência única. Caso sejam necessários três pontos para formar um triângulo, também serão necessários três pontos para formar uma circunferência. Dois pontos não são suficientes. Uma maneira de pensar nisso é que, se me indicar apenas dois pontos, há um número infinito de triângulos que eu posso fazer com esses dois pontos, porque posso colocar o terceiro ponto em qualquer lugar. Poderia fazer esse triângulo, esse triângulo, esse triângulo... e todos esses triângulos terão circuncentros e raios diferentes, portanto eles formarão diferentes circunferências que circunscrevem aqueles triângulos. Por exemplo, essa seria uma circunferência que poderia circunscrever aquele triângulo. Poderíamos ter essa circunferência aqui e vemos claramente que dois pontos não são suficientes; precisamos de três pontos. Três pontos resultam em um triângulo que resulta em uma circunferência única. Por si só, isso até que é legal. Agora outra questão: se temos uma circunferência e ela circunscreve um triângulo arbitrário, o centro dela é necessariamente o circuncentro? Vamos pensar um pouco, pois tem alguns casos não intuitivos aqui. Se eu desenhar uma circunferência, o seu centro está aqui. Se eu desenhar um triângulo arbitrário com todos os vértices desse triângulo nela, esse centro será necessariamente o circuncentro daquele triângulo? Deixe-me desenhar uma situação diferente. Vou desenhar uma situação em que essa coisa esteja claramente fora do triângulo. A gente pode ter uma situação mais ou menos assim e, claramente, todos os três vértices ficam no círculo. Em primeiro lugar, você pode dizer: "espere aí! Não há como isso ser o circuncentro, não está sequer dentro do triângulo". Mas lembre-se de que este ponto é equidistante de cada ponto na circunferência. Eu diria que cada ponto nela é equidistante desse ponto; todos estão a um raio de distância. Todos os três pontos desse triângulo estão na circunferência, então eles estão exatamente a um raio de distância desse ponto aqui. Portanto, essa distância será um raio, e essa distância aqui será um raio. Agora, esse ponto é claramente equidistante daquele ponto e daquele. Sabemos disso. Está a exatamente "r" de distância dos dois vértices do triângulo. Se o ponto é equidistante... e provamos isso no vídeo anterior... se ele é equidistante dos dois pontos, ele deve estar na bissetriz perpendicular do segmento que liga aqueles dois pontos, e isso deve estar na bissetriz perpendicular. Portanto, é perpendicular e divide aquele segmento. Mas podemos utilizar o mesmo argumento para esse segmento aqui, pois esse ponto está a "r" de distância do centro. Vamos chamá-lo de ponto O. Estou cansado de chamá-lo de "esse ponto". O ponto "O" é equidistante de... deixe-me identificá-los, vamos chamá-los de A, B, C... já dissemos que o ponto O é equidistante de C e B, portanto deve estar na bissetriz perpendicular de BC, que também é equidistante de A e B. Está a "r" de distância dos dois, porque tanto A como B estão na circunferência, os dois estão a um raio de distância do centro. Então isso deve ficar na bissetriz perpendicular de A e B (deixe-me desenhar um pouquinho melhor). Isso também deve estar nessa bissetriz perpendicular. Finalmente, é equidistante de A e C, porque os dois estão a "r" de distância, os dois estão na circunferência. Isso também deve estar na bissetriz perpendicular de AC. AC está aqui. E isso é que é interessante. Vemos que as três bissetrizes perpendiculares dos três lados desse triângulo se interceptam definitivamente, mas elas estão se interceptando em um ponto fora do triângulo, e esse ponto é o centro dessa circunferência. Portanto, mais uma vez, aquela ideia de que o O é equidistante de A e C, portanto, deve estar na bissetriz perpendicular de A e C, que pareceria com algo assim. Mais uma vez, a gente vê que três bissetrizes perpendiculares estão se interceptando em um único ponto; e O é, de fato, o circuncentro. Se a gente pegar uma circunferência e colocarmos um triângulo qualquer cujos vértices estejam todos na circunferência, o centro dela é o seu circuncentro. Desenhamos uma situação na qual isso é um circuncentro que fica fora do triângulo. Então, o ponto O também será o circuncentro desse triângulo e o circuncentro desse triângulo bem aqui. Ele vai ficar nas três bissetrizes perpendiculares, e sabemos disso por ser equidistante dos três pontos de qualquer um desses triângulos nos quais os vértices estão na própria circunferência.