Reta de Euler

RKA – Eu desenhei um triângulo qualquer, aqui. Vamos pressupor que não seja um triângulo equilátero e vamos desenhar algumas das propriedades interessantes desse triângulo. Vamos começar com as mediatrizes. Digamos que esse é o ponto médio, desse lado aqui. Deixe-me desenhar um pouco mais perto do ponto médio, parece ser aqui. Esse comprimento é igual a esse, deixe eu desenhar uma mediatriz. A mediatriz irá se parecer com isso, para esse lado. Agora eu vou fazer neste lado, tentando fazer a olho. Isto parece, mais ou menos, o ponto médio. Então, este comprimento será igual a este. Mais uma vez, deixa eu desenhar uma mediatriz. Então, será um ângulo de 90 graus. Eu posso desenhar mais reto do que isso! Parece muito bom e é perpendicular. Você pode imaginar o que eu farei com este lado, com o lado AB. Isto se parece com o ponto médio. Esse comprimento será igual àquele, bem ali, se desenharmos uma perpendicular. Minha melhor tentativa de desenhar isso! Se parece, mais ou menos, com isso. Já aprendemos que essas três retas, definitivamente, vão se cruzar em um único ponto, logo aqui, que chamamos de circuncentro. Deixe eu escrever... Ali é o nosso circuncentro e isso não é nada de novo. Circuncentro. Agora vamos desenhar as medianas. Medianas, elas vão de cada um dos vértices até o ponto médio do lado oposto. Vou desenhar. Então, isso é uma mediana, isso é uma mediana e isso é uma mediana. Todos os erros no desenho vão começar a se tornar visíveis, agora que estou tentando fazer várias coisas com ele. Mas sabemos que todas as medianas se cruzam no baricentro. Isso aqui é o baricentro. Agora vamos desenhar as alturas desse triângulo. Deixe eu desenhar a altura, vou desenhar uma perpendicular. Essa é uma altura, vou desenhar outra altura. Lembre-se, vai ser assim. Vou desenhar outra altura que se parece com algo assim e eu posso desenhar outra altura desse lado. Sabemos que irá cruzar com esse único ponto aqui. Tentei desenhar o melhor que eu posso e isso será perpendicular. Embora a maneira como eu desenhei não necessariamente parece que seja. A gente sabe que essa coisa, bem aqui, é chamada de ortocentro. O motivo todo de eu fazer isso, e essa francamente é uma ideia meio confusa, é legal o bastante. É que cada um desses pontos sequer existe. Três alturas se cruzarão em um ponto. As três medianas se cruzam em um ponto e terão todas essas propriedades legais, as três mediatrizes se cruzam em um ponto. Isso, em si, já é legal o bastante. Mas o que é realmente legal e talvez não completamente aparente, é que esses três pontos, definitivamente, estarão na mesma reta. Se isso fosse um triângulo equilátero, eles, na verdade, seriam o mesmo ponto. Mas para qualquer outro triângulo, haverá pontos diferentes e eles estarão na mesma reta. O que é meio loucura, porque obviamente dois pontos definem uma reta, mas três pontos estando na mesma reta parece uma coisa muito improvável. Se a gente fosse adivinhar apenas... eu vou tentar desenhar isso da melhor forma que eu posso. Se fôssemos desenhar isso com uma régua de borda reta, ficaria muito mais certo, mas com isso, todos os três pontos estão nessa única reta. E parece haver algo especial ou mágico sobre ela. E por que é algo especial e mágico, há um famoso matemático que tende a conseguir todas as coisas mais especiais em matemática nomeadas em homenagem a ele. Porque ele é quem realmente explora essas coisas. Chamamos isso de reta de Euler. E digo que Leonard Euler... Isso não parece... Bom, parece com 'enter'. Eu acho que você entendeu que escrevemos Euler, Leonard Euler. A reta de Euler. Eu disse que ele consegue todas as coisas legais, mágicas e místicas nomeadas em homenagem a ele, porque também é responsável pela identidade de Euler. Que é "e" elevado a iπ é igual a -1. Provamos isso na playlist de cálculo. Se nada disso fizer sentido, não se preocupe, estamos apenas em geometria agora. Mas ele consegue todas... Isso é uma coisa mágica, porque vem de juros compostos, crescimento, e queda, crescimento e queda exponenciais e i² = -1. Parece que isso é um número imaginário muito estranho. π é a razão da circunferência de um círculo, elevada ao seu diâmetro. E -1 é... bom, é -1. Euler mostrou que há muitas razões para se acreditar que esses quatro números que vêm de todas essas diferentes realidades estranhas do mundo estão conectados dessa maneira bem fixa. E ele também mostrou que esses pontos especiais estão todos na mesma reta. O que nos diz algo meio louco e místico sobre nossa realidade. E se isso não é o bastante para você, se eu pegasse o ponto médio da reta de Euler entre o ortocentro... eu não vou provar aqui, vou apenas lhe dar um gostinho disso. Se pegarmos o ponto médio entre o ortocentro e o circuncentro, então vamos pegar... Vou tentar olhar para isso, assim, de maneira bem tosca. Então parece, mais ou menos, aqui. Este comprimento será igual a este comprimento bem aqui. Este ponto, que está na reta de Euler, será o centro de algo chamado de círculo de nove pontos, que cruza este triângulo em nove pontos e veremos que são nove pontos interessantes. Então, deixa eu escrever isso também. Já é bastante legal que esses três pontos especiais estão na reta de Euler. Mas, na verdade, são quatro pontos especiais e, na verdade, tem alguns além desses que são interessantes. Aquele ponto laranja ali é o centro do círculo de nove pontos. E talvez eu faça outro vídeo só sobre isso. Bom, enfim, eu espero que tenha achado interessante.