Demonstração da reta de Euler

RKA2MB Neste vídeo, quero falar de alguns triângulos. Vamos falar sobre esse triângulo maior, o triângulo ABC. Quero provar que o circuncentro deste triângulo... lembrando que o circuncentro é a intersecção das mediatrizes... que o circuncentro deste triângulo, o baricentro deste triângulo (é a intersecção das suas medianas) e o ortocentro desse triângulo (a intersecção das suas alturas), todos coincidem na mesma reta. Ou que este OI é, na verdade, um segmento de reta; ou que OG e GI são dois segmentos que compõem este segmento de reta maior, que é parte da reta de Euler. Além disso, eu tracei um triângulo formado pela ligação dos pontos médios do triângulo ABC. Aqui o triângulo FED, ou o triângulo DEF, que é o triângulo formado pelos pontos médios de ABC. Sabemos um monte de coisas a respeito de triângulos formados pelos pontos médios dos lados de outros triângulos. Uma dessas coisas é que esse triângulo DEF vai ser semelhante ao triângulo maior, o triângulo do qual... este é o triângulo do qual se origina. E a razão do triângulo maior para o menor triângulo é 2 para 1. E isso vai ser bem importante para a nossa comprovação. Quando dois triângulos são proporcionais, significa que, se pegar a distância entre quaisquer partes correspondentes dos dois triângulos, a razão será 2 para 1. Agora, a relação que já comprovamos, a relação entre o triângulo menor e o triângulo do qual esse triângulo se origina, é que o ortocentro do triângulo menor é o circuncentro do triângulo maior. Então, dá para pensar no ponto O, que já tinha mencionado: é o circuncentro do triângulo maior. Ele também é o ortocentro do triângulo menor. Escrevemos aqui: o ponto O estará nesta perpendicular, nesta mediana. E traço um monte de outros em cinza-escuro, mas não queria que o diagrama ficasse confuso. Mas este é o circuncentro do triângulo maior e o ortocentro do triângulo menor. Dá para usar esse fato para provar que os ortocentros são concorrentes. Começamos com o triângulo DEF e pensamos: "tá, vamos ver onde as alturas se intersectam". Depois, a gente diz: "bom, as alturas são, na verdade, as medianas do triângulo maior se assumir que este é o triângulo formado pelos pontos médios do triângulo maior". O ponto O vai ser importante para a comprovação; é o circuncentro do triângulo ABC, mas ele é o ortocentro do triângulo DEF (e já discutimos em vídeos anteriores). Agora, se queremos provar que O, G e E, todos estão na mesma reta (ou no mesmo segmento, neste caso), vou provar que o triângulo FOG é semelhante ao triângulo CIG, porque, se eu conseguir provar isso, então seus ângulos correspondentes vão ser equivalentes. Dá para falar que este ângulo vai ser igual a este ângulo aqui. Então, OI teria que ser uma transversal, porque vai ficar claro que essas duas retas são paralelas. Ou, se esses dois triângulos são semelhantes... (lembre-se: estamos falando deste triângulo e deste triângulo)... se realmente são semelhantes, então este ângulo vai ser igual a este ângulo, e esta seria realmente uma reta. E vamos comprovar isso. Talvez eu... bom, não vou deixar esses dois destacados. De uma das coisas meio que já falei a respeito: a gente sabe que essa reta... vamos chamar de reta XC... sabemos que ela é perpendicular à reta AB, ela é uma altura; e também que esta, FY, é perpendicular a AB, é uma mediana, elas formam um mesmo ângulo com a transversal. Podemos chamar AB de uma transversal. Então, têm que ser paralelas; e a gente entende que FY é paralela a XC. O segmento FY é paralelo ao segmento XC. Dá para escrever assim; isso aqui é paralelo a isso aqui. E isso é útil porque sabemos que os ângulos alternos internos de uma transversal, quando a transversal intersecta duas retas paralelas, são congruentes. Então, FC é uma reta. Ela é a mediana deste triângulo maior, o triângulo ABC. Tem uma reta intersectando duas retas paralelas; sabemos que ângulos alternos internos são congruentes; então este ângulo vai ser congruente com este ângulo. Podemos dizer que o ângulo OFG é congruente ao ângulo ICG. Outra coisa que sabemos, e esta é uma das propriedades das medianas, é que o baricentro divide a mediana em dois segmentos que têm a razão 2 para 1. Outro jeito é que o baricentro se situa em 2/3 da mediana, e foi provado em um vídeo anterior. Sabemos que CG é igual a 2 vezes GF. Acho que já dá para entender onde eu quero chegar com isso. Tenho um ângulo e demonstrei que a razão desse lado para este lado é 2 para 1, porque essa é uma propriedade de baricentros e medianas. Agora, como podemos demonstrar que a razão desse lado CI para FO é 2 para 1, daí, tem dois lados correspondentes, nos quais a razão será 2 para 1, e o ângulo entre eles é congruente. Podemos usar semelhança L-A-L para demonstrar que esses dois triângulos são semelhantes. CI é a distância entre o ponto C do triângulo maior e o seu ortocentro, certo? I é o ortocentro do triângulo maior. Então, o que é FO? Se F é o ponto correspondente ao ponto C no triângulo DEF, FO é a distância entre F no triângulo DEF e o ortocentro desse triângulo DEF. Então, essa é a distância entre C e o ortocentro do triângulo maior. Essa é a distância entre o lado correspondente do triângulo DEF e seu ortocentro. Essa é a mesma distância correspondente no triângulo maior e no triângulo DEF. E sabemos que eles são semelhantes com proporção 2 para 1. As distâncias correspondentes entre dois pontos dos dois triângulos vão manter a mesma proporção. Então, por causa desta semelhança, a gente sabe que CI vai ser 2 vezes FO. Quero deixar bem claro: C corresponde a F quando olhamos esses dois triângulos; I é o ortocentro do triângulo maior; O é o ortocentro do triângulo menor. Estamos pegando um ponto correspondente ao ortocentro do triângulo maior correspondente ao ortocentro do triângulo menor. Os triângulos são semelhantes com uma proporção 2 para 1. A razão desse segmento para esse segmento vai ser 2 para 1. Então, demonstramos que a razão desse lado para esse lado é 2 para 1. Demonstramos que a razão desse lado para esse lado também é 2 para 1. E demonstramos que os ângulos entre eles são congruentes. Comprovamos, através de semelhança L-A-L (lado-ângulo-lado)... (eu vou descer um pouquinho)... por semelhança L-A-L. Não congruência; semelhança. Provamos que o triângulo FOG é semelhante ao triângulo CIG. E sabemos que seus ângulos são congruentes. Sabemos que o ângulo CIG corresponde ao ângulo FOG. Eles vão ser congruentes. E também que o ângulo CGI... deixe-me mudar de cor... o ângulo CGI corresponde ao ângulo OGF; eles também vão ser congruentes. É possível pensar de formas diferentes. Se este ângulo e este são os mesmos, dá para perceber OI como uma reta de verdade, uma transversal dessas duas retas paralelas, e sabemos que ela é uma reta; ou pode olhar para esses dois e dizer: "olha, esses dois ângulos são equivalentes, portanto, essa deve ser a mesma reta". O ângulo que está se aproximando desta mediana é o mesmo que está indo embora. Então, os dois estão definitivamente na mesma reta, e esta é uma comprovação muito simples para um conceito bastante profundo. O ortocentro, o baricentro e o circuncentro de qualquer triângulo coincidem nesta mágica reta de Euler.