Prova da área de triângulo

RKA - Agora sabemos como determinar a área dos retângulos. Neste vídeo, eu preciso pensar sobre como determinar a área de triângulos. Então, vamos começar com um triângulo retângulo que tem um ângulo de 90 graus. Triângulo retângulo ABC. Vamos pensar sobre como podemos determinar essa área. Talvez, possamos construir um retângulo com o triângulo ABC e, se pudermos construir um retângulo com ele, também podemos, de alguma forma, encontrar a área de parte desse retângulo. E a melhor forma de construir um retângulo é duplicar ABC, e depois girar e colocar em cima disso, só para verificar que definitivamente será um retângulo. Sabemos que aqui é 90 graus. Digamos que isto aqui é x graus, e x mais 90 mais este, tudo tem que ser igual a 180. Então, esses dois têm que somar 90. E a gente chama este de "90 - x". Agora, vamos virar e girar para que fique assim: você teria outro triângulo... Agora esse triângulo retângulo, na versão já virada, tem aquele ângulo reto bem ali. Este ângulo bem aqui, esse x, agora é aquele ângulo ali. Este "90 - x" agora é este ângulo. Você pode ver "x" mais "90 - x", e isso vai te dar um ângulo reto. Você tem "x" mais "90 - x", que te dá um ângulo reto. E aqui tem 4 lados e 4 ângulos retos. Definitivamente, está lidando com um retângulo. E esse retângulo tem dois dos nossos triângulos originais dentro dele. Dá para escrever que a área do triângulo ABC... Esse é o significado dos colchetes. A área do triângulo ABC será igual a meio vezes a área total do retângulo. E o nosso retângulo inteiro... Vou colocar outro ponto aqui e chamar de D. A metade da área do retângulo ABCD... A gente sabe como determinar a área do retângulo ABCD. Vai ser igual a: a base do retângulo... Vai ser igual a meio vezes... E, esta parte, vou fazer com uma cor diferente. A área de ABCD é igual à base ou à largura do retângulo, então, é o comprimento de BC.... Só estou colocando entre parênteses. BC é o comprimento deste segmento bem aqui, só estou colocando entre parênteses para não misturar as letras. Então, será esta largura ou esta base vezes a altura do retângulo, vezes AB. Esta base vezes esta altura nos dá a área do retângulo inteiro. E a área do nosso triângulo retângulo é metade disso. Aqui está: é meio vezes esta base vezes esta altura. É a área de um triângulo retângulo. Em geral, se tem um triângulo retângulo, e aquilo é um ângulo reto... Precisa de um ângulo reto para ter um triângulo retângulo. Esta base tem comprimento b, e este lado tem comprimento h. Você sabe que a área será igual a: meio vezes a base do triângulo... Esta é a base do triângulo: BC. ...vezes a altura do triângulo. Então, se encarar assim, se olhar para os pontos e se usar essas medidas, como a base vezes a altura... É só metade da base vezes a altura. E só sabemos que funciona no caso do triângulo retângulo. Agora, vamos pensar sobre outros tipos de triângulos que não são necessariamente triângulos retângulos. Aqui tem um triângulo ABC e, para começar a determinar esta área, quero simplesmente dividir em dois triângulos retângulos. Vou desenhar uma perpendicular a partir de B, de forma que, se isso fosse uma estrutura, simplesmente desceria diretamente daqui, e esta linha será perpendicular à esta base AC, e chamo de ponto D. O que nos ajuda é que transformamos esse triângulo em dois triângulos retângulos. Vou escrever. Podemos dizer que a área do triângulo ABC... Isso é o que queremos determinar. ...é igual a: a área deste triângulo aqui, triângulo ABD, mais a área deste triângulo magenta, então, mais a área de BCD. Isso nos ajuda porque agora sabemos como determinar a área de triângulos retângulos. Logicamente, se aqui tem 90 graus, então este também será 90 graus. A área de ABD é metade da sua base vezes a altura. Será meio vezes a base, que é o comprimento AD, vezes a altura, que é o comprimento de BD, considerando que pode determinar isso... Então isto, BD, vezes este comprimento. Essa é a área do triângulo azul. Agora, vamos determinar a área do triângulo magenta. E, só lembrando, ele é um triângulo retângulo. Será metade... Quero fazer em magenta. Vai ser meio vezes o comprimento desta base, que é DC, vezes, novamente, o comprimento de BD. Agora pode fatorar meio BD destes dois termos, fica meio BD vezes: AD... Não é o mesmo azul. ...AD mais DC. Vou fechar os parênteses. Quanto é AD mais DC? AD é aquele comprimento e, então, DC é este comprimento. Se somar esses dois comprimentos, terá o comprimento de AC. Tudo é o comprimento de AC. A gente tem que a área de ABC é igual a... Vou fazer em uma cor nova. ...é igual a meio... Vou trocar a ordem. ...meio vezes AC vezes BD. Agora, quanto é isso? É meio vezes a base, que é este AC, vezes a altura, que é BD. Bem legal, funcionou para os triângulos retângulos. E, na verdade, se conhecemos a altura de um triângulo... Perceba: este não é um dos lados. Para um triângulo retângulo, ele era um dos lados, mas para este triângulo qualquer, não é! Mas, se conhecemos a área deste triângulo, ainda é meio vezes a base vezes a altura. E um triângulo assim, como podemos determinar sua área? Vamos tentar a mesma coisa, ver se conseguimos construir com triângulos retângulos, ou talvez somar um triângulo retângulo a isso para transformar em outro triângulo retângulo. E a maneira mais fácil é que podemos "jogar uma pedra" daqui e onde ela for bater no chão, vai formar um ângulo reto. Vamos chamar este ponto de D. E o que nos interessa? O que queremos determinar é a área do triângulo ABC. A gente quer determinar a área do triângulo ABC. Mas a área do triângulo ABC será a área deste triângulo retângulo maior que construímos... Será esse triângulo maior, então a área de ADB, menos a área deste triângulo menor, então, menos a área de ADC. Este azul, ADB, é o triângulo todo, ele é o triângulo inteiro. Só para que fique claro sobre o que estamos falando. Agora, qual é a área de ADB? Sabemos como determinar a área de triângulos retângulos. A área de ADB será: meio vezes a nossa base, que é o comprimento do segmento DB, vezes a nossa altura, que é o comprimento de AD. E disso queremos subtrair a área do triângulo menor. Então, será: meio vezes o comprimento da nossa base, DC, vezes o comprimento da nossa altura, que é AD. A gente pode fatorar meio, e fatoramos AD. Meio e AD, vamos lá! Fatoramos meio vezes AD. O que sobrou lá dentro é: DB menos DC. Quanto é DB menos DC? Vou colocar os parênteses em branco de novo. Então, tem: DB menos DC. Se você pega o comprimento DB, que é o comprimento desta coisa toda, e subtrai disso o comprimento DC, terá CB. O que está entre parênteses é o CB... Então, a área de um ABC vai ser igual a meio vezes CB. Só estou trocando a ordem da multiplicação nesta cor amarela. Meio vezes CB vezes AD: quanto é isso? Mais uma vez, é meio vezes a nossa base vezes a nossa altura. E, de novo, nesse caso a altura... Não é um triângulo retângulo. ...não é um dos lados. Alguém teria que nos dar essa informação ou teria que determinar a altura. Mas é legal que, em qualquer tipo de triângulo, a área é metade da base vezes a altura. A altura, se tem os lados de um triângulo retângulo, é fácil de determinar. Para esses outros, se não for dada, teremos que usar alguns truques, achar ma forma de determinar a altura. Enfim, espero que tenha gostado!