Geometria: área, circunferência, volume (padrão californiano)

RKA- Estamos na questão 31. Um clube de costura está fazendo uma colcha de retalhos composta por 25 quadrados, com cada hora do quadrado medindo 30 centímetros. São 25 quadrados, cada um deles medindo 30 por 30. Se a colcha tem cinco linhas e cinco colunas, qual é o perímetro da colcha? Vamos redesenhar isso aqui. Se tem cinco linhas e cinco colunas, a própria colcha será também um quadrado. Portanto, 1, 2, 3, 4 e aqui em cima 5. Agora, as colunas 1,2, 3, 4 e aqui 5. Nós temos aqui um quadrado 5 por 5, e cada um desses quadradinhos mede 30 centímetros de lado. 30 centímetros. Então, qual vai ser o comprimento de um dos lados da colcha? Ora se cada pedacinho vale 30 e tem 5 aqui, 30 vezes 5 são 150 centímetros. E o mesmo argumento eu posso utilizar para esse lado aqui, também vai ter 150 centímetros. Esse outro lado aqui também vai ter 150 centímetros. Para finalizar, como o quadrado tem todos os lados iguais, aqui também vai ter 150 centímetros. Logo, o perímetro vai ser 150 + 150 + 150 + 150 que vai dar 600 centímetros, e 600 centímetros é a resposta da letra C. Questão número 32. Os quatro lados dessa figura serão dobrados e colados para fazer uma caixa aberta. A pergunta que ele faz é: qual será o volume da caixa? Então, se a gente dobrar, bem aqui, onde estou fazendo de verde, a gente vai ter uma caixa. E o que ele quer é o volume dessa caixa. O volume é a base vezes altura vezes a profundidade. Vamos desenhar como é que ficaria essa caixa. A base ficaria mais ou menos assim, é essa base aqui. Vai ter 1, 2, 3, 4, 5, por 1, 2, 3, 4, 5, 5 por 5. Quando eu dobrar essas outras partes aqui, cada uma delas vai ter 2 quadradinhos de altura. Então seria algo mais ou menos assim: então, seria aqui 2 quadradinhos altura, e 1, 2, 3, 4, e eu tenho 5 aqui no lado. Quando eu dobrar esse lado, ficaria mais ou menos assim: 1, 2, 3 4 e 5. Esse outro lado, quando eu dobrar vai se parecer com isso aqui. E quando dobrar, finalmente, esse outro lado aqui, vai ficar dessa forma, mais ou menos assim: 1, 2, 3, 4, 5. Então, a gente tem: a largura mede 5, a profundidade mede 5 e a altura mede 2. O volume é 5 vezes 5 vezes 2. Portanto, 5 vezes 5 vezes = 25, 25 vezes 2 = 50, 50 centímetros cúbicos. Resposta da letra A. Problema 33. Ele diz assim: um globo de sala de aula tem um diâmetro de 18 centímetros. Isso quer dizer o quê? Se eu traçar o diâmetro desse globo, o diâmetro vai valer 18 centímetros. Isso aqui é o diâmetro. O segmento passa pelo centro desse globo. A pergunta é: qual das seguintes alternativas é a área aproximada da superfície em centímetros quadrados do globo? Ele nos dá a área da superfície em relação ao raio do globo. Então se o diâmetro 18, qual é o raio? Portanto, o raio vai ser isso aqui, a metade do diâmetro. Portanto, o raio a vai ser igual a 9, 9 centímetros. Agora, basta a gente colocar esse valor na fórmula. Vai ser "4π" e multiplica o raio ao quadrado, 9². Isso é a mesma coisa que 4 vezes 81 vezes o "π". Realizamos a multiplicação, 4 vezes 81 = 324. Então seria "324π". E como dá para ver pelas alternativas, eles multiplicaram tudo pelo "π". Isso vai ser igual a 4 vezes 80, que é 320. Então 4 vezes 81, que é 324, multiplicado pelo "π", vai dar igual a quanto? Vamos ver. Se eu tivesse que chutar, basta olhar as opções. Como "π" é um número maior do que 3, então esse valor aqui vai ser maior que 3 vezes 324. Seria algo em torno de 1.000. Pouquinho maior que 1.000. A única alternativa que chega perto disso é a alternativa D. As outras passam longe. Mas é claro se você quiser confirmar, pode multiplicar 324 vezes 3.14, que é o valor do "π". Isso é igual a 1.017,36. Aproximadamente 1017.4. Vamos lá para o próximo problema. Problema número 34. Vamos ler. O retângulo mostrado abaixo tem um comprimento de 20 metros e largura de 10 metros. Então, isso daqui mede 10, isso daqui vai medir 20. Eu deduzi isso porque esse lado aqui é maior que esse. Se quatro triângulos são removidos do retângulo, conforme mostrado, qual será a área restante da figura? A área do retângulo é fácil, 20 vezes 10, portanto, a área do retângulo, área total antes da remoção daqueles triângulos, 200. E agora? Quanto de área eu vou retirar? Ou seja, qual é a área de cada um desses triângulos aqui? A área de um triângulo é base vezes altura dividido por 2. Porque, se eu apenas fizer base vezes altura, eu vou estar calculando a área esse retângulo aqui. Perceba que o triângulo é a metade desse retângulo que eu desenhei, pontilhado de verde. Portanto, a área desse triângulo aqui é 4 vezes 4 = 16, 16 dividido por 2 = 8. Aqui também vai ser 8, aqui, 8, e aqui, 8. Logo, nós estamos removendo 4 vezes 8 dessa área. Vamos retirar 32, então 200 - 32, isso aqui é igual a 168. Como podemos perceber, é a resposta da letra C. Vamos para o problema número 35. Se RSTW é um losango, qual é a área do triângulo WXT? Em um losango todos os lados são iguais e paralelos. A área do WXT vai ser a área desse triângulo aqui. O que talvez você não saiba a respeito dos losangos é que as suas diagonais se interceptam em um ângulo de 90 graus, no ângulo reto. O que mais a gente pode deduzir aqui? Se aqui é 90, e aqui é 60, esse ângulo aqui vai medir 30 graus. Aqui vai medir 12, logo, esse lado todo aqui também vai medir 12. Esse ângulo que vai medir 90 graus. E como é um losango, esse lado aqui também vai medir 12, esse aqui também mede 12. E agora a gente tem um argumento bem forte para dizer que esses triângulos são semelhantes. Como um losango é um paralelogramo, e as diagonais estão se cruzando, posso dizer que esse lado aqui é igual a esse lado aqui. As diagonais se cruzam bem no ponto médio uma da outra. Esse lado aqui é comum aos dois, então eles são triângulos congruentes. Logo, esse ângulo também vai ter 60 graus, esse ângulo aqui vai ter 30 graus. Se nós temos um ângulo de 60 graus, outro ângulo 60 graus e mais um ângulo de 60 graus, esse triângulo aqui é um triângulo equilátero. Logo, se esse lado é 12, e esse é 12, como eu disse antes, esse lado aqui também vai ser 12. Se esse lado todo aqui mede 12, esse pedaço do "T" até o "X" vai medir quanto? Vai medir metade, 6. Como eu acabei de dizer, no paralelogramo, as diagonais se cruzam no ponto médio uma da outra. Então, por isso que esse pedacinho aqui vai ser metade do pedaço todo. Se o lado todo é 12, aqui é 6. Se aqui é 6, aqui também é 6. Se cada um desses lados aqui, se esse lado é 6, e esse é 6, será que a gente pode determinar a medida dessa altura? Porque se nós soubermos a base e a altura do triângulo, podemos calcular sua área. Vamos ver, posso usar o teorema Pitágoras, chamar esse lado de "x", e eu posso dizer que "x² + 6²", quer dizer 36, isso é igual a 12², ou seja, 144. Logo, "x²" vai ser igual a 144 - 36. 144 - 36, vai me dar então que "x²" é igual a 108. Portanto, "x" vai ser igual a raiz quadrada de 108. Dá para gente sempre fica um pouco mais isso daqui porque 9 vezes 12 dá 108. Então, o "x" vai ser igual a "√9 vezes 12". Logo, x = √9 × √12. Prosseguindo, o "x" vai ser igual a "√9", que é 3, vezes √12 que é a mesma coisa que a √3 vezes √4. Como √4 é igual a 2, eu vou ter que o "x" vai ser igual a 3 vezes 2, que é 6, vezes a √3, então 6√3. Na verdade, eu poderia ter escrito que 108 é a mesma coisa que a √36 vezes √3, que vai dar 6√3. Logo, deduzimos que esse lado aqui é igual a 6√3. Logo, qual é a área desse triângulo aqui? Vai ser 1/2 vezes 6, que é a base, vezes a altura, que é 6√3. Metade de 6 é 3, 3 vezes 6 é 18. Então vai dar 18√3. Se eu queria saber a área de todo o losango, basta que eu multiplique por 4 esse valor aqui porque todos esses triângulos são congruentes. Só que a pergunta que ele está me fazendo é: qual é a área do triângulo WXT? Apenas do triângulo WXT. Isso já calculamos. Ele não quer a área do losango todo, quer apenas desse triângulo da WXT. E como nós calculamos, a resposta vai ser a letra A, 18√3. Eu fico me perguntando se, de repente, não tem uma maneira mais simples de calcular isso, mas a gente conseguiu através dos princípios básicos chegar no valor correto. Então se há alguma fórmula, por acaso, eu esqueci na minha memória nesse momento. A gente fica por aqui. Até o próximo vídeo!