Geometria: trigonometria básica (padrão californiano)

RKA - Estamos no problema 61. O ponto -3 e 2 pertence à circunferência cuja equação é "x" mais 3 ao quadrado mais "y" mais 1 ao quadrado igual a "r" ao quadrado. Raio ao quadrado. Qual das alternativas será o raio da circunferência? Ora, para pensar no problema, eu posso fazer o seguinte: eu sei que este ponto aqui tem que satisfazer esta equação. Então, se eu jogar o valor -3 para o "x" e 2 para o "y" nessa equação, eu vou conseguir determinar o valor do raio. Vamos fazer isso. No lugar do "x" vai entrar o -3, que é o valor dele naquele ponto. Então, -3 + 3² mais o valor do "y", que é 2 mais 1². Isso vai ser igual ao raio ao quadrado. E, bem, -3 + 3 vai dar zero. Então, zero ao quadrado também é a mesma coisa que zero. 2 + 1² vai ficar 3² igual ao raio ao quadrado. E se o raio ao quadrado é igual a 3², então o raio é igual a 3. Beleza? Já que 3² é igual a 9 e aí, quando eu extrair a raiz quadrada dos dois lados, eu vou ter a raiz quadrada de 9, que dá 3. Não posso ter um raio negativo, então a resposta aqui só pode ser o raio igual a 3. Letra (A). Então, para resolver, apenas tive de colocar o valor do "x" no lugar do "x", nesta equação, e o valor do "y" no lugar do "y", nesta equação. Já que nessa equação aqui, todos os pontos vão estar sobre a circunferência. E como ele me diz que esse ponto já pertence à circunferência, fica fácil: é só substituir e calcular o valor do raio, como fizemos aqui. Vamos, agora, ao problema número 62. Parece que neste problema, a gente vai fazer um pouquinho de trigonometria. Beleza. Na figura abaixo, se o seno de "x" é igual a 5/13 avos, quanto vale o cosseno de "x" e a tangente de "x"? Eu sugiro que você assista aos vídeos básicos de trigonometria para fazer esse exercício. Mas existe uma boa técnica mnemônica para você decorar a fórmulas de seno, cosseno e tangente, que é "soh cah toa", assim: "Soh Cah Toa" E o que isso significa? Ora, que o seno é a mesma coisa que o cateto oposto sobre a hipotenusa, o cosseno é a mesma coisa que o cateto adjacente sobre a hipotenusa e a tangente é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. Então, se você se lembrar do "Soh Cah Toa", pode desmembrar dessa forma que a gente fez. E o que isso significa? Se eu estou considerando o seno desse ângulo "x", isso quer dizer que eu estou pegando o cateto oposto, que é esse aqui, ao ângulo "x", e dividindo pela hipotenusa desse triângulo retângulo. Portanto, aqui, em relação a esse triângulo retângulo e ao ângulo "x", esse cateto vai ser o cateto oposto, esse vai ser o cateto adjacente e, aqui, a gente vai ter a hipotenusa do triângulo retângulo. Você entendeu? Aqui é o cateto oposto porque ele está oposto ao ângulo "x" e esse é o adjacente, pois ele está aqui, adjacente ao ângulo "x". Portanto, sabemos que o seno de "x" vai ser igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa. E ele nos diz, no enunciado, que o seno de "x" é igual a 5 sobre 13. Daqui a gente tira que cateto oposto sobre hipotenusa tem que ser igual a 5 sobre 13. O que nós sabemos disso? Que 5 sobre 13 é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Mas não sabemos a medida exata deles. Então, isso aqui poderia ser 10 e a hipotenusa, 26. Ou, então, esse cateto oposto poderia ser 1 e a hipotenusa 13 dividido por 5. Não dá para saber através disso aqui. Só que isso não importa e isso é que é legal na trigonometria! O que importa aqui são as proporções. Vamos imaginar que o cateto oposto seja igual a 5 e a hipotenusa seja igual a 13 Bom, deixe eu só pegar uma outra cor, aqui. Beleza. Se o cateto oposto é 5 e a hipotenusa é 13, quanto vai valer o adjacente? Pelo Teorema de Pitágoras, adjacente ao quadrado mais o cateto oposto ao quadrado, que na verdade é 5. Então, 5² é 25. Isso vai ser igual à hipotenusa ao quadrado, 13². Então, 169. Subtraindo 25 dos dois lados da igualdade, nós temos que "a²" vai ser igual a 144. Logo, "a" é igual a 12. Então, está aqui. "a" é igual a 12. Nós não sabemos, na verdade, se "a" é igual a 12, mas sabemos que a proporção entre o cateto oposto e o adjacente vai ser 5 sobre 12. Beleza? O que eles querem saber é quanto vale o cosseno de "x" e a tangente de "x". Vamos usar o "Soh Cah Toa". Bem, o cosseno de "x" vai ser igual ao adjacente sobre a hipotenusa. Então, 12 sobre 13. E a tangente de "x" vai ser igual ao oposto sobre o adjacente. Então, 5 sobre 12. Qual é a opção que responde aqui? É a letra (A). Repare. A resposta é a letra (A). Vamos para a próxima questão. Questão 63. Parece que eles querem que a gente aprenda bastante trigonometria e geometria, o que, na verdade, é bom para a gente. Só assim a gente se aquece em trigonometria. Na figura abaixo, o seno de "A" é igual a 0,7. Então, aqui, a gente tem o ângulo "A" e o seno dele é 0,7. A pergunta feita é: "Qual é a medida de 'AC', da hipotenusa desse triângulo retângulo?" Portanto, vou chamá-la de "x". E para resolver, vamos usar o "Soh Cah Toa" também. "Soh" vai nos dizer que o seno de algum ângulo, que eu vou chamar aqui de θ (teta), vai ser igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. O seno de "A" vai ser igual ao cateto oposto, que é 21, dividido pela hipotenusa, que é "x". Ao mesmo tempo, ele nos diz que o seno de "A" é 0,7. Isso tudo também é igual a 0,7. E agora, basta resolver essa equação em relação a "x" e pronto. Eu tenho que multiplicar os dois lados por "x". Vou ter 21 igual a 0,7x. E agora, vamos dividir os dois lados por 0,7. Nós temos que 21 sobre 0,7 vai ser igual a "x". Mas sabemos que 21 dividido por 7 dá 3. Então, 21 dividido por 0,7 vai dar 30. Então, 30 vai ser igual ao valor do "x". (Vou escrever, aqui). "x" vai ser igual a 30. Este é o comprimento do lado "AC" e a nossa escolha, então, vai ser a letra (C), 30. Próxima questão. Questão 64. Aproximadamente, quantos metros de altura tem o poste? Vamos usar, para resolver, a trigonometria. Ele nos dá este ângulo, que é 40 graus, e nos dá as razões trigonométricas em relação a esse ângulo. Daí, podemos usar o "Soh Cah Toa". E o que ele nos dá é a medida do cateto adjacente a esse ângulo de 40 graus, 20 metros. Portanto, esse 20 vai ser o cateto adjacente. O "h", que é a altura do poste, vai ser o cateto oposto. E qual a relação trigonométrica que mexe com o adjacente e com oposto? É a tangente, pois a tangente está aqui, é o cateto oposto sobre o adjacente. Então, eu vou usar o "Toa", ou seja, a tangente de qualquer ângulo, digamos θ (teta), vai ser igual ao oposto dividido pelo adjacente. Nesse caso, a gente tem que a tangente de 40 graus vai ser igual ao oposto, que é o "h", sobre o adjacente, que é 20 metros. E agora, se você não sabe quanto é a tangente de 40 graus, já que ninguém decora a tangente de 40 graus, ele te dá a informação. Ele nos diz que a tangente de 40 graus é igual a 0,84. Daí nós temos que 0,84 é igual a "h" sobre 20. Se multiplicarmos os dois lados por 20, vamos ter que "h" vai ser igual a 20 vezes 0,84. Logo, "h" vai ser igual a 16,8. Porque 2 vezes 0,84 vai dar 1,68. Então, 20 vezes isso vai dar 16,8. Essa é a resposta da letra (C). Questão 65. Olha aí: O triângulo retângulo "ABC" está desenhado abaixo. Qual equação dá o valor correto do lado "BC"? Então, é isso que ele quer que a gente calcule, o lado "BC". Bom, para resolver, vamos usar... adivinha o quê? "Soh Cah Toa". Na letra (A), ele diz que o seno de 32 graus é igual a "BC" dividido por 8,2. Será que isso está certo? O seno é igual ao oposto sobre hipotenusa. Vamos lá. "BC" é o oposto, beleza. Mas 8,2 não é a hipotenusa. A hipotenusa é 10,6. 8,2 é o adjacente. E adjacente não serve para a gente aqui, agora. Está errado. O "BC" é o oposto, mas 8,2 é o adjacente. Então, aqui, em vez de seno, deveria ser a tangente. A tangente de 32 vai ser igual a "BC" sobre 8,2. Esse 8,2 é o adjacente. Então, a letra (A) não está certa. Na letra (B), o cosseno de 32, a gente sabe que o cosseno é o adjacente sobre a hipotenusa. Então, o cosseno de 32 deveria ser 8,2 sobre 10,6. E também está errado. No lugar do "BC", deveria ser 8,2. Então, a letra (B) também não está certa. Na letra (C), a tangente de 58 graus... Vamos ver. Se isso é 32 e isso aqui é 90, esse ângulo aqui, então, vai ser 180 - 32 - 90, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 graus. Logo, este ângulo vai valer 58 graus. Então, do ponto de vista deste ângulo, a tangente vai ser o oposto sobre adjacente. Então, o oposto desses 58 graus aqui, o cateto oposto, é 8,2. A gente pode escrever aqui que a tangente de 58 graus vai ser igual ao cateto oposto a esse ângulo, que no caso vai ser 8,2, sobre o cateto adjacente a esse ângulo, que é o "BC". Você entendeu? Esse lado "BC" é adjacente ao ângulo de 58 graus, é oposto ao de 32, mas é adjacente ao de 58. E foi exatamente isso que eles escreveram: a letra (C) está correta. E, assim, nós acabamos. Então, a gente se vê nos próximos vídeos. Tchau, tchau.