Área de um trapézio no plano cartesiano

RKA1JV - Temos um trapézio aqui no sistema de coordenadas. E o que queremos aqui é achar a área desta forma trapezoidal apenas utilizando as informações que temos aqui neste esquema. Como sempre, pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Para começar, vamos nos lembrar de que existe uma fórmula prática para calcular a área desse trapézio. Foi desenvolvida em vídeos anteriores. A área do trapézio é a média aritmética das medidas das duas bases. Portanto, 1/2 vezes B1, mais B2, que equivale a B1 mais B2 dividido por 2. E isso multiplicado pela altura do trapézio. Olhando no desenho, quais são as bases? Quem é a altura? Lembrando que as bases do trapézio são os lados paralelos. Vamos chamar, por exemplo, de B1 a base 1, o segmento CL. Estou destacando aqui em cor-de-rosa. Este é o B1. Desta forma, B2 é a outra base, é o segmento OW. A altura, portanto, é o segmento WN, porque ele é perpendicular às duas bases. Sabendo, então, as medidas destes segmentos indicados, nós conseguimos saber a área do trapézio. Há vários vídeos falando sobre a demonstração desta fórmula em que nós separamos o trapézio em um retângulo e dois triângulos até chegar a ela. Você pode procurar ver. Muito bem, vamos agora ao cálculo efetivamente da área. Mas primeiro precisamos saber quanto mede B1. Como o segmento CL não é nada além da distância entre os pontos C e L, cujas coordenadas conhecemos, poderíamos pensar em utilizar a fórmula da distância entre pontos. Mas, lembre-se, de que ela não é nada mais que a aplicação do teorema de Pitágoras. Podemos localizar um triângulo retângulo com os catetos aqui. Este cateto, que seria a variação em "x" entre os dois pontos dos extremos do segmento. Vou chamar de Δx, variação em "x" que é 8 menos -4, que dá 12. E agora o outro cateto, que é a variação em "y", e essa variação dos valores "y" que vão de -1 até 5. Portanto, 5 menos -1 que resulta em 6. Essa mesma conclusão poderíamos tirar aqui, observando que temos 1, 2, 3, 4, 5, 6 espaços determinando o comprimento deste cateto, mas, de fato, nós estamos procurando o comprimento do segmento CL, que é a hipotenusa deste triângulo retângulo. E esse triângulo retângulo tem um cateto medindo 12 e outro cateto medindo 6. Usando teorema de Pitágoras para achar a medida da hipotenusa, basta fazer a raiz quadrada de 12², mais o outro cateto quadrado, que é 6². Raiz quadrada, então, de 144 mais 36, que é 180 e a raiz quadrada de 180 pode ser simplificada. Podemos nos lembrar de que 180 equivale a 36 vezes 5 e a raiz quadrada de 36 é 6. Portanto, ficamos com a forma simplificada para 6 raiz de 5. Agora vamos ao cálculo de B2. Para calcular B2 que é hipotenusa e um outro triângulo retângulo, vamos seguir o mesmo procedimento. A raiz quadrada da variação de "x²" mais a variação de "y²". Podemos verificar aqui que o "x" tem uma variação de 6 unidades, pois vai de -2 até 4. E a variação de "y" é de 3 unidades. Podemos ver aqui tranquilamente no quadriculado. Mas, confirmando, vai de 5 até 8. E o teorema de Pitágoras aqui para o cálculo desta hipotenusa vai nos dar a raiz quadrada da variação de "x²". Ou seja, 6² mais a variação em "y", que é 3². Aqui temos a raiz quadrada de 36 mais 9 que é a raiz quadrada de 45. Lembrando que 45 é 9 vezes 5, então, a raiz quadrada de 9 vezes a raiz quadrada 5 nos dá 3 mais de 5 na forma simplificada. Já temos B1 e B2, ainda precisamos saber qual é a medida h do segmento WN, para poder finalmente calcular a área do trapézio. Analisando novamente a figura para o segmento WN, a variação em "x" é de 2 unidades. O "x" varia de 4 até 6, por isso 2 unidades. Ou seja, o Δx é igual a 6 menos 4 que é igual a 2. Mas aqui no desenho estava muito fácil de identificar. O cálculo "h" vai ser a raiz quadrada de 2² mais a variação em "y²". A variação em "y" aqui é -4. Nós vamos elevar ao quadrado, isso vai ficar positivo, 16. 2² mais 16 dá 20. Temos aqui a raiz quadrada de 20 que pode ser simplificada. 20 é 4 vezes o 5, e a raiz quadrada de 4 é 2. A forma simplificada fica 2 raiz de 5. Pronto, agora temos todas as informações necessárias para colocar na fórmula. E obter área do trapézio que vai ser 1/2 vezes o B1 que é 6 raiz de 5. Mais o B2 que é 3 raiz de 5. E isso vezes o "h", que é 2 raiz de 5. Agora vamos simplificar isto. 6 raiz de 5 mais 3 raiz de 5 são 9 raiz de 5. Aqui temos 1/2 vezes 2, que podemos cancelar, e ficar simplesmente com 1. Ficamos com 9 raiz de 5 vezes raiz de 5. Raiz quadrada de 5 vezes raiz quadrada de 5 é simplesmente 5, e vezes 9 resulta em 45. Portanto, a área desse trapézio é de 45 unidades de área. E pronto, até o próximo vídeo!