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Geometria intermediária

Curso: Geometria intermediária > Unidade 6

Lição 1: Distância e pontos centrais
Matemática
Geometria intermediária
Geometria analítica
Distância e pontos centrais
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Fórmula da distância

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Aprenda a derivar uma fórmula geral para a distância entre dois pontos
A start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, end color #11accd entre os pontos left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis e left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis é dada pela seguinte fórmula:
square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
Neste artigo, vamos derivar esta fórmula!

Como derivar a fórmula da distância

Vamos começar plotando os pontos left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis e left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis.
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois.
O comprimento do segmento entre os dois pontos é a start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, end color #11accd entre eles:
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos.
Queremos calcular a start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, end color #11accd. Se desenharmos um triângulo retângulo, conseguiremos usar o teorema de Pitágoras!
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos. Um terceiro ponto não identificado está em x dois, y um com uma reta conectando esse ponto ao ponto em x dois, y dois e outra reta conectando esse ponto ao ponto em x um, y um formando um triângulo retângulo.
Uma expressão para o comprimento da base é start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54:
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos. Um terceiro ponto não identificado está em x dois, y um com uma reta ligando esse ponto ao ponto em x dois, y dois e outra reta ligando esse ponto ao ponto em x um, y um, formando um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo retângulo é desconhecida e o lado formado a partir do ponto em x um, y um e x dois, y um está identificado como x dois menos x um.
Da mesma maneira, uma expressão para o comprimento da altura é start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10:
O primeiro quadrante de um plano cartesiano com duas marcas no eixo x identificadas como x um e x dois. Há duas marcas no eixo y identificadas como y um e y dois. Há um ponto em x um, y um e outro ponto em x dois, y dois. Uma reta liga os dois pontos. Um terceiro ponto não identificado está em x dois, y um com uma reta ligando esse ponto ao ponto em x dois, y dois e outra reta ligando esse ponto ao ponto em x um, y um, formando um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo retângulo é desconhecida e o lado formado a partir do ponto em x um, y um e x dois, y um está identificado como x dois menos x um. O terceiro lado está identificado como y dois menos y um.
Agora podemos usar o teorema de Pitágoras para escrever uma equação:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, squared, equals, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared
Podemos encontrar o valor de start color #11accd, question mark, end color #11accd calculando a raiz quadrada de cada lado:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, equals, square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
É isso! Derivamos a fórmula da distância!
O que é muito interessante, é que muitas pessoas não memorizam esta fórmula. Em vez disso, elas fazem um triângulo retângulo e usam o teorema de Pitágoras sempre que querem calcular a distância entre dois pontos.

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