If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Preparação para geometria analítica

A geometria analítica relaciona figuras geométricas ao plano cartesiano e a representações algébricas. Para nos prepararmos, vamos fazer uma revisão sobre o plano cartesiano, distância e deslocamento, coeficiente angular e algumas habilidades aritméticas úteis.
Vamos repassar alguns conceitos que serão úteis quando você der início à unidade sobre geometria analítica do curso de geometria do Ensino Médio. Você vai ver um resumo de cada conceito, um item de exemplo, links para mais exercícios e algumas informações sobre por que você vai precisar desse conceito na unidade.
Há muitas seções neste artigo porque a geometria analítica reúne várias ideias!
Este artigo somente inclui conceitos de cursos anteriores. Há também conceitos no curso de geometria do Ensino Médio que são importantes para entender geometria analítica. Se você ainda não dominou a lição sobre o Teorema de Pitágonas, é importante fazer uma revisão dela antes de se aprofundar na unidade.

Pontos em um plano cartesiano

O que é isso e por que precisamos disso?

Usamos um plano cartesiano para mostrar posições relativas em um espaço bidimensional. Descrevemos todos os pontos no plano com um par ordenado na forma left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, sendo que x representa a posição horizontal e y representa a posição vertical. Os pontos à esquerda da
origem
têm coordenadas de x negativas e os pontos à direita têm coordenadas de x positivas. Da mesma forma, os pontos abaixo da origem têm coordenadas de y negativas e os pontos acima da origem têm coordenadas de y positivas.

Prática

Problema 1
Use o seguinte plano cartesiano para escrever o par ordenado de cada ponto.
PontoPar ordenado
start color #ca337c, A, end color #ca337cleft parenthesis
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
start color #7854ab, B, end color #7854ableft parenthesis
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
start color #0c7f99, C, end color #0c7f99left parenthesis
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Para mais exercícios, acesse Pontos no plano cartesiano.

Onde vamos usar isso?

Vamos usar os pontos em um plano cartesiano em praticamente todos os exercícios da unidade de geometria analítica! Veja alguns dos exercícios para os quais a revisão do plano cartesiano pode ser útil:

Soma, subtração e potenciação ao quadrado de números negativos

O que é isso e por que precisamos disso?

Números negativos nos permitem incluir informações sobre a direção de um número. Por exemplo, uma variação vertical positiva significa que nos movemos para cima, mas uma variação vertical negativa significa que nos movemos para baixo. Vamos procurar por distâncias e coeficientes angulares entre pontos no plano cartesiano. Os pontos com coordenadas negativas estão à esquerda ou abaixo da
origem
.

Prática

Problema 2.1
Some.
minus, 7, plus, 4, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de números negativos pode ser útil:

Distância e deslocamento entre pontos

O que é isso e por que precisamos disso?

Distância é um valor que nunca é negativo e que representa o quão longe dois pontos estão um do outro. Deslocamento é a quantidade de variação para ir de um ponto ao outro, incluindo a distância e a direção da variação.
Geralmente dividimos a distância e o deslocamento em componentes horizontais e verticais. Quando estamos trabalhando com a variação em apenas uma direção (somente horizontal ou vertical), então a distância é o valor absoluto do deslocamento.
Usamos deslocamento para calcular o coeficiente angular, e usamos as distâncias horizontal e vertical entre os pontos para calcular a distância total entre eles (com uma pequena ajuda do teorema de Pitágoras).

Prática

Problema 3.1
Complete a tabela de distâncias e deslocamentos do ponto A ao ponto B.
DeslocamentoDistância
Horizontal
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Vertical
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Para mais exercícios, acesse Distância entre pontos: vertical e horizontal.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de distâncias e deslocamentos pode ser útil.

Simplificação de expressões com raízes quadradas

O que é isso e por que precisamos disso?

Na geometria, a função raiz quadrada pega a área de um quadrado como entrada e retorna o comprimento de um lado do quadrado como resultado. Vamos usar expressões com raiz quadrada quando usarmos o teorema de Pitágoras para calcular a distância. Vamos usar essas distâncias para calcular a área e o perímetro de figuras no plano cartesiano e para determinar se um ponto faz parte de um círculo.

Prática

Problema 4.1
Simplifique.
Remova todos os quadrados perfeitos de dentro da raiz quadrada.
root, start index, end index, equals

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de expressões com raízes quadradas pode ser útil.

Escala das relações proporcionais

O que é isso e por que precisamos disso?

Relações proporcionais são duas quantidades para as quais a razão entre elas é sempre a mesma.
O coeficiente angular é um tipo de relação proporcional que relaciona o deslocamento (ou variação) vertical ao deslocamento horizontal. Podemos fazer uma escala dos deslocamentos entre dois pontos para encontrar um terceiro ponto entre eles que divide um segmento de reta em comprimentos com uma razão dada.

Prática

Problema 5
As duas retas numéricas mostram que para fazer 4 tortas de maçã são necessários 7 quilogramas left parenthesis, start text, k, g, end text, right parenthesis de maçã.

Selecione o par de retas numéricas que identifica corretamente o número de quilogramas de maçãs necessários para fazer 1, comma, 2 e 3 tortas.
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Para mais exercícios, acesse Crie pares de retas numéricas.

Onde vamos usar isso?

Este é um exercício para o qual a revisão sobre escala pode ser útil:

Coeficiente angular

O que é isso e por que precisamos disso?

O coeficiente angular é uma forma de medir o quão íngreme é uma reta. Medimos o coeficiente angular como start fraction, delta, y, divided by, delta, x, end fraction, que é a razão entre o deslocamento vertical e o horizontal.
Podemos usar esse coeficiente angular de um par de retas para provar que elas são paralelas (ou não!). Então podemos dizer se podemos aplicar todas essas relações entre os ângulos das figuras com retas paralelas. Se usarmos o coeficiente angular para provar que dois lados de um triângulo são perpendiculares, podemos usar razões trigonométricas para relacionar as medidas dos ângulos aos comprimentos dos lados.

Prática

Problema 6.1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa por left parenthesis, minus, 4, comma, 2, right parenthesis e left parenthesis, 3, comma, minus, 3, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de coeficiente angular pode ser útil.