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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 6
Lição 2: Divisão de segmentos de retaDemonstração de que as medianas de um triângulo se interceptam em um ponto
Demonstre que, para qualquer triângulo, as medianas se interceptam em um ponto a dois terços do caminho entre cada vértice e o ponto central do lado oposto.
Quer participar da conversa?
- Seria ótimo se tivesse um vídeo sobre a média ponderada e como ela se relaciona com os triângulos(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA10MP – E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula,
vamos falar um pouco a respeito de mediana e vamos ver que as medianas de um triângulo
se interceptam em um único ponto. Isso é bastante interessante, não é?
Porque você até espera que duas retas com diferentes inclinações
se interceptem em um ponto. Agora três retas diferentes,
três segmentos diferentes se interceptarem em um único ponto
é algo muito interessante. E, claro, isso é verdade
para qualquer triângulo. Para ver isso, coloquei um triângulo
genérico aqui, e ele tem um vértice na origem porque isso vai facilitar
bastante os nossos cálculos. E também coloquei um outro
ponto aqui no eixo "x" que tem as coordenadas (a, 0),
e coloquei mais um ponto aqui com as coordenadas (b, c),
um ponto qualquer. O que eu quero mostrar é que isso
serve para qualquer triângulo. Basicamente, se conseguirmos
provar que as medianas deste triângulo qualquer
se interceptam em um único ponto, conseguimos provar para
qualquer outro triângulo. E lembrando que a mediana
de um triângulo é o segmento de reta que liga
um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado
oposto a esse vértice. Basicamente, a mediana parte de um vértice
e vai até o ponto médio do lado oposto. E desenhando as medianas aqui,
temos algo parecido com isto e vamos provar que elas
se encontram neste ponto. A primeira coisa que eu te pergunto é:
Que ponto é esse aqui? Sugiro que você pause o vídeo
e tente pensar a respeito dele. Este é o ponto médio
deste segmento, ou seja, ele está no meio
do segmento, o que faz com que estes pedaços
do segmento sejam iguais. E, basicamente, para descobrir
que ponto médio é este, você deve calcular a média
aritmética das coordenadas. Então, para calcular
a média da coordenada "x", vamos calcular
a média entre "b" e "a" e que vai ser "a + b", dividido por 2,
e a média da coordenada "y" vai ser "c + 0", dividido por 2.
"c" mais zero é "c", então vamos ter apenas
"c" dividido por 2. E podemos fazer isso com estes
outros dois pontos. Começando por este ponto,
vamos ter que a média aritmética das coordenadas "x" vai ser zero
mais "a", dividido por 2. Zero mais "a" é igual a "a",
então vamos ter "a" dividido por 2. E olhando para o "y",
zero mais zero dividido por 2 vai ser igual a zero. E, por último,
mas não menos importante, este ponto pode ser calculado do mesmo jeito,
mas eu sugiro que você pause o vídeo e tente descobri-lo sozinho. Para determiná-lo,
vamos fazer a mesma coisa. Zero mais "b" é igual a "b", dividido por 2 vai ser
"b" dividido por 2. Zero mais "c" é igual a "c", dividido por 2 vai ficar
"c" dividido por 2. Para mostrar que as três de medianas
se interceptam neste ponto, só temos que mostrar que ele pertence
aos três segmentos ao mesmo tempo. E quero que você
saiba que este ponto é 2/3 distante de cada
um destes vértices. A distância de um vértice
até este ponto é 2/3 do comprimento
da mediana. Ou seja, este ponto está duas
vezes mais longe do vértice. Para calculá-lo, vamos utilizar uma média
ponderada das coordenadas "x" e "y". Quando fizemos o ponto médio, tínhamos
a mesma distância para cada coordenada, ou seja, você ponderou igualmente. Você só tirou a média aritmética deles, Mas, como você está mais perto deste ponto,
terá que fazer uma média ponderada. E fazendo isso aqui,
temos 2/3 que multiplica "a" mais "b", dividido por 2, mais 1/3 que multiplica zero,
que é este zero. E fazendo o mesmo com a coordenada "y",
vamos ter 2/3 que multiplica "c" sobre 2, mais 1/3 que multiplica zero,
que é este zero. E, de novo, temos 2/3 e 1/3
aqui porque estamos duas vezes mais perto deste
ponto do que estamos deste. E se quisermos simplificar isso aqui,
podemos cancelar este 2 com este 2. 1/3 vezes zero vai dar zero,
podemos cancelar também. E aí vamos ficar com
"a" mais "b", dividido por 3. Eu só esqueci de fechar
este parêntese. Simplificando o "y",
aqui 1/3 vezes zero vai dar zero, e cancelando este 2 com este 2 vamos ficar com "c" dividido para 3. E acabamos de encontrar um ponto
que pertence à mediana azul. E vamos utilizar o mesmo
pensamento nesta mediana rosa. Vamos achar a coordenada
deste ponto. Ele está duas vezes mais perto
do vértice do que este. É o mesmo pensamento, só que vamos
utilizar estas coordenadas. Então 2/3 que multiplica "b"
dividido por 2, mais 1/3 que multiplica o "a",
que é este "a". E olhando para o "y" agora,
vamos ter 2/3 que multiplica "c" sobre 2, mais 1/3 que multiplica zero,
que é este zero desta coordenada. Simplificando isto aqui,
podemos cancelar este 2 com este 2. Também podemos cancelar
este 2 com este 2, e também 1/3 vezes
zero vai dar zero. Se ajeitarmos, vamos ficar com "a" mais "b", dividido por 3
e "c" sobre 3. E observe que esta coordenada
é igual a esta, o que significa que este ponto pertence tanto à mediana azul
quanto à mediana rosa. Ou seja, estas medianas
se tocam no mesmo ponto. Agora falta descobrir se este ponto
também pertence a esta mediana laranja. E pensando do mesmo jeito,
e até sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho, tente calcular o valor
deste ponto sozinho, lembrando que ele está duas
vezes mais distante do vértice. Utilizando a média ponderada
neste ponto e neste, e aí vamos ter 2/3 vezes "a" dividido para 2,
que é este camarada, e somamos isso
com 1/3 de "b", então 1/3 vezes "b",
que é este "b". E agora olhando para o "y",
vamos ter 2/3 de zero, que é este zero,
mais 1/3 de "c", então 1/3 vezes "c",
que é este "c". E se simplificarmos isso aqui,
podemos cancelar este 2 com este 2. Também podemos cancelar isso aqui,
já que 2/3 vezes zero vai dar zero. E, se ajeitarmos, também vamos
ter "a" mais "b", dividido por 3 e "c" dividido por 3. Com isso, vemos que esta coordenada
é igual a estas outras duas, o que significa que esta mediana se intercepta com esta mediana e com esta mediana
em um mesmo ponto. E isso vale para
qualquer triângulo. Este ponto que é o encontro das três
medianas nós chamamos de baricentro. Espero que esta aula tenha te ajudado.
Até a próxima, pessoal!