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Demonstração de que as medianas de um triângulo se interceptam em um ponto

Demonstre que, para qualquer triângulo, as medianas se interceptam em um ponto a dois terços do caminho entre cada vértice e o ponto central do lado oposto.

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Transcrição de vídeo

RKA10MP – E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos falar um pouco a respeito de mediana e vamos ver que as medianas de um triângulo se interceptam em um único ponto. Isso é bastante interessante, não é? Porque você até espera que duas retas com diferentes inclinações se interceptem em um ponto. Agora três retas diferentes, três segmentos diferentes se interceptarem em um único ponto é algo muito interessante. E, claro, isso é verdade para qualquer triângulo. Para ver isso, coloquei um triângulo genérico aqui, e ele tem um vértice na origem porque isso vai facilitar bastante os nossos cálculos. E também coloquei um outro ponto aqui no eixo "x" que tem as coordenadas (a, 0), e coloquei mais um ponto aqui com as coordenadas (b, c), um ponto qualquer. O que eu quero mostrar é que isso serve para qualquer triângulo. Basicamente, se conseguirmos provar que as medianas deste triângulo qualquer se interceptam em um único ponto, conseguimos provar para qualquer outro triângulo. E lembrando que a mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. Basicamente, a mediana parte de um vértice e vai até o ponto médio do lado oposto. E desenhando as medianas aqui, temos algo parecido com isto e vamos provar que elas se encontram neste ponto. A primeira coisa que eu te pergunto é: Que ponto é esse aqui? Sugiro que você pause o vídeo e tente pensar a respeito dele. Este é o ponto médio deste segmento, ou seja, ele está no meio do segmento, o que faz com que estes pedaços do segmento sejam iguais. E, basicamente, para descobrir que ponto médio é este, você deve calcular a média aritmética das coordenadas. Então, para calcular a média da coordenada "x", vamos calcular a média entre "b" e "a" e que vai ser "a + b", dividido por 2, e a média da coordenada "y" vai ser "c + 0", dividido por 2. "c" mais zero é "c", então vamos ter apenas "c" dividido por 2. E podemos fazer isso com estes outros dois pontos. Começando por este ponto, vamos ter que a média aritmética das coordenadas "x" vai ser zero mais "a", dividido por 2. Zero mais "a" é igual a "a", então vamos ter "a" dividido por 2. E olhando para o "y", zero mais zero dividido por 2 vai ser igual a zero. E, por último, mas não menos importante, este ponto pode ser calculado do mesmo jeito, mas eu sugiro que você pause o vídeo e tente descobri-lo sozinho. Para determiná-lo, vamos fazer a mesma coisa. Zero mais "b" é igual a "b", dividido por 2 vai ser "b" dividido por 2. Zero mais "c" é igual a "c", dividido por 2 vai ficar "c" dividido por 2. Para mostrar que as três de medianas se interceptam neste ponto, só temos que mostrar que ele pertence aos três segmentos ao mesmo tempo. E quero que você saiba que este ponto é 2/3 distante de cada um destes vértices. A distância de um vértice até este ponto é 2/3 do comprimento da mediana. Ou seja, este ponto está duas vezes mais longe do vértice. Para calculá-lo, vamos utilizar uma média ponderada das coordenadas "x" e "y". Quando fizemos o ponto médio, tínhamos a mesma distância para cada coordenada, ou seja, você ponderou igualmente. Você só tirou a média aritmética deles, Mas, como você está mais perto deste ponto, terá que fazer uma média ponderada. E fazendo isso aqui, temos 2/3 que multiplica "a" mais "b", dividido por 2, mais 1/3 que multiplica zero, que é este zero. E fazendo o mesmo com a coordenada "y", vamos ter 2/3 que multiplica "c" sobre 2, mais 1/3 que multiplica zero, que é este zero. E, de novo, temos 2/3 e 1/3 aqui porque estamos duas vezes mais perto deste ponto do que estamos deste. E se quisermos simplificar isso aqui, podemos cancelar este 2 com este 2. 1/3 vezes zero vai dar zero, podemos cancelar também. E aí vamos ficar com "a" mais "b", dividido por 3. Eu só esqueci de fechar este parêntese. Simplificando o "y", aqui 1/3 vezes zero vai dar zero, e cancelando este 2 com este 2 vamos ficar com "c" dividido para 3. E acabamos de encontrar um ponto que pertence à mediana azul. E vamos utilizar o mesmo pensamento nesta mediana rosa. Vamos achar a coordenada deste ponto. Ele está duas vezes mais perto do vértice do que este. É o mesmo pensamento, só que vamos utilizar estas coordenadas. Então 2/3 que multiplica "b" dividido por 2, mais 1/3 que multiplica o "a", que é este "a". E olhando para o "y" agora, vamos ter 2/3 que multiplica "c" sobre 2, mais 1/3 que multiplica zero, que é este zero desta coordenada. Simplificando isto aqui, podemos cancelar este 2 com este 2. Também podemos cancelar este 2 com este 2, e também 1/3 vezes zero vai dar zero. Se ajeitarmos, vamos ficar com "a" mais "b", dividido por 3 e "c" sobre 3. E observe que esta coordenada é igual a esta, o que significa que este ponto pertence tanto à mediana azul quanto à mediana rosa. Ou seja, estas medianas se tocam no mesmo ponto. Agora falta descobrir se este ponto também pertence a esta mediana laranja. E pensando do mesmo jeito, e até sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho, tente calcular o valor deste ponto sozinho, lembrando que ele está duas vezes mais distante do vértice. Utilizando a média ponderada neste ponto e neste, e aí vamos ter 2/3 vezes "a" dividido para 2, que é este camarada, e somamos isso com 1/3 de "b", então 1/3 vezes "b", que é este "b". E agora olhando para o "y", vamos ter 2/3 de zero, que é este zero, mais 1/3 de "c", então 1/3 vezes "c", que é este "c". E se simplificarmos isso aqui, podemos cancelar este 2 com este 2. Também podemos cancelar isso aqui, já que 2/3 vezes zero vai dar zero. E, se ajeitarmos, também vamos ter "a" mais "b", dividido por 3 e "c" dividido por 3. Com isso, vemos que esta coordenada é igual a estas outras duas, o que significa que esta mediana se intercepta com esta mediana e com esta mediana em um mesmo ponto. E isso vale para qualquer triângulo. Este ponto que é o encontro das três medianas nós chamamos de baricentro. Espero que esta aula tenha te ajudado. Até a próxima, pessoal!