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Demonstração: retas perpendiculares têm coeficientes angulares opostos e inversos.

Transcrição de vídeo

o que eu quero com este vídeo é usar argumentos geométricos para provar que os coeficientes angulares de retas perpendiculares são 11 inverso do oposto do outro temos aqui duas retas l&m e estamos assumindo que elas são perpendiculares ou seja forma se um ângulo reto na sua intersecção vou agora desenhar outras retas aqui que vão nos ajudar a construir este argumento geométrico vou desenhar uma reta na direção que eu vou chamar de horizontal passando justamente pelo ponto de intersecção das duas retas perpendiculares ao chamar o ponto de intersecção de ponto a vou agora desenhar segmentos de retas na direção que seria vertical um deles eu vou desenhar aqui por exemplo e um outro vou desenhar exatamente aqui temos aqui ângulos retos evidentemente já que esta reta está na direção que eu adotei como referência para a horizontal e eu determinei que iria desenhar dois segmentos verticais vamos nomear alguns pontos aqui seja que este ponto a que já temos aqui o ponto b aqui o ponto c aqui o de wii vamos escrever agora o coeficiente angular ou seja a inclinação da reta l observe que a reta é lhe passa pelos pontos a e c portanto a reta é a mesma coisa que falar retas ea ou a ser e o coeficiente angular dessa reta definido pela variação em y dividida pela variação em x entre dois pontos dela a variação em y para essa reta l entre os pontos c ea vai ser justamente o segmento c b e c b é a variação em y nesta situação agora variação y que receber dividida pela variação em x entre os mesmos dois pontos e essa variação é exatamente a medida do segmento b a esta então a inclinação da reta l vamos olhar agora para a reta m a reta m que também pode ser indicado como reta aí vamos escrever o coeficiente lar dela olhando entre os pontos aí a variação y sobre a variação x vai nos dar o coeficiente angular da reta em mim a variação em y entre esses dois pontos está aqui no segmento de estamos na vertical em do de até o destino viveu até este nível para baixo então a variação em y é justamente o comprimento do segmento d porém com um sinal negativo porque de até e os valores de y estão diminuindo quando vamos do nível do y na altura do ponto até o nível do y na altura do ponto e os valores de y estão diminuindo portanto a variação y deve ser um valor negativo agora vamos para a variação em x quando vou de a até e a variação em x vai ser justamente a medida do segmento a de então a inclinação o coeficiente angular da reta m vai ser o oposto da medida do segmento de dividido pela medida do segmento a de agora um fato que você pode ter já percebido estamos olhando para lados de triângulos retângulos mais ainda estes dois triângulos poderemos concluir que são semelhantes e é isso que nós vamos demonstrar agora para poder chegar à conclusão que estamos procurando vamos começar indicando este ângulo com uma medida x este outro ângulo com uma medida y e podemos sabendo que aqui temos um ângulo de 90 graus afirmar que x mais 90 mais y resulta em 180° escrevendo temos x mais 90 mais y igual a 180 graus é fácil observar que subtraindo 90 dos dois lados chegamos à conclusão que x mais y é igual a 90 graus e o que isso nos permite concluir a respeito de outros ângulos dos dois triângulos neste triângulo à esquerda é fácil você perceber que x mais à medida deste outro ângulo aqui tem de ser igual a 90 graus porque o terceiro ângulo é de 90 graus ou seja x mais 90 mas alguma outra medida tem que resultar em 180graus então x mas 90 mas o que resulta em 180 graus ora é o y que falta que x mais 90 mais y não tem que dar 180graus pela conclusão que já tínhamos anteriormente no triângulo à direita a mesma ideia y mais 90 mas alguma outra medida tem que resultar em 180 graus e essa medida que falta então só pode ser x pelo mesmo argumento já sabemos ali atrás que é o x mas 90 mas o y que resulta em 180 então observe aqui que os três ângulos dos dois triângulos têm respectivamente as mesmas medidas conclusão o triângulo abc e o triângulo e de a são semelhantes então pelo critério ângulo ângulo ângulo já que temos o x ali o xis aqui o y aqui o y la e 90 graus também nos dois triângulos concluímos que o triângulo e de a é semelhante ao triângulo abc e o mais importante de tudo isso neste momento é a garantia de que a razão entre lados correspondentes nos dois triângulos vai ser sempre constante sempre a mesma vamos então aqui escrever isso podemos por exemplo no triângulo da esquerda escrever a razão entre o cb e o bea escrevendo aqui cb sobre o bea a descer igual agora vamos tomar os lados correspondentes no outro triângulo o lado correspondente ao cb que é o lado oposto ao ângulo cuja medida indicada por x no outro triângulo vai ser o lado a de que ele está o posto ao ângulo indicado por x ac na proporção então igual a add / do mesmo modo o lado b a do triângulo da esquerda é correspondente ao lado de do triângulo da direita porque eles são ambos opostos cada um seu triângulo ao ângulo de medida y portanto aqui temos a de sobre de observa agora que cb sobre ea é a inclinação da reta l ou o coeficiente angular da reta l esta outra razão há-de sobre de podemos perceber que têm alguma relação com coeficiente angular da reta m observe bem que é o inverso do coeficiente angular da reta m além do que tem o sinal oposto quando calculamos o coeficiente angular da reta m indicamos o sinal negativo na avaliação de y portanto que temos aqui em a de sobre de é o inverso do oposto do coeficiente angular da reta m e essa é a nossa conclusão o coeficiente angular da reta l é igual ao inverso do oposto do coeficiente angular da reta em mim isso acontece porque elas são perpendiculares até o próximo vídeo