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Demonstração: retas perpendiculares têm coeficientes angulares opostos e inversos.

Por meio da semelhança de triângulos, demonstramos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares opostos e inversos.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - O que eu quero com este vídeo é usar argumentos geométricos para provar que os coeficientes angulares de retas perpendiculares são um o inverso do oposto do outro. Temos aqui duas retas, "L" e "M", e estamos assumindo que elas são perpendiculares, ou seja, forma-se um ângulo reto na sua intersecção. Vou, agora, desenhar outras retas aqui que vão nos ajudar a construir este argumento geométrico. Vou desenhar uma reta na direção que eu vou chamar de horizontal, passando justamente pelo ponto de intersecção das duas retas perpendiculares. Vou chamar o ponto de intersecção de ponto "A". Vou agora desenhar segmentos de retas na direção que seria a vertical. Um deles eu vou desenhar aqui por exemplo, e um outro vou desenhar exatamente aqui. Temos aqui ângulos retos evidentemente, já que esta reta está na direção que eu adotei como referência para a horizontal, e eu determinei que eu iria desenhar dois segmentos verticais. Vou nomear alguns pontos. Seja aqui este ponto "A" que já temos, aqui o ponto "B", aqui o ponto "C", aqui o "D", aqui o "E". Vamos escrever agora o coeficiente angular, ou seja, a inclinação da reta "L". Observe que a reta "L" passa pelos pontos "A" e "C", portanto a reta "L" é a mesma coisa que falar reta CA ou AC, e o coeficiente angular desta reta é definido pela variação em "y" dividida pela variação em "x" entre 2 pontos dela. A variação em "y" para esta reta "L", entre os pontos " C" e "A", vai ser justamente o segmento CB. CB é a variação em "y" nesta situação. Agora a variação em "y", que é CB dividida pela variação em "x", entre os mesmos dois pontos. E esta variação é exatamente a medida do segmento "BA". Esta é então a inclinação da reta "L". Vamos olhar agora para a reta "M". A reta "M", que também pode ser indicada como reta AE. Vamos escrever o coeficiente angular dela. Olhando entre os pontos "A" e "E", a variação em "y" sobre a variação em "x" vai nos dar o coeficiente angular da reta "M". A variação em "y" entre esses dois pontos está aqui no segmento DE. Estamos na vertical, indo do "D" até o "E", deste nível até este nível, para baixo. Então, a variação em "y" é justamente o comprimento do segmento DE, porém, com um sinal negativo, porque de "D" até "E", os valores de "y" estão diminuindo. Quando vamos do nível do "y" na altura do ponto "A" até o nível do "y" na altura do ponto "E", os valores de "y" estão diminuindo, portanto, a variação em "y" deve ser um valor negativo. Agora vamos para a variação em "x". Quando vou de "A" até "E", a variação em "x" vai ser justamente a medida do segmento AD. Então, a inclinação, o coeficiente angular da reta "M" vai ser o oposto da medida do segmento "DE" dividido pela medida do segmento "AD". Agora, um fato que você pode ter já percebido, estamos olhando para lados de triângulos retângulos, mas ainda, estes dois triângulos, poderemos concluir que são semelhantes. E é isso que nós vamos demonstrar agora para poder chegar à conclusão que estamos procurando. Vamos começar indicando este ângulo com uma medida "x", este outro ângulo com uma medida "y", e podemos, sabendo que aqui temos um ângulo de 90°, afirmar que "x + 90 + y" resulta em 180°. Escrevendo, temos "x + 90 + y = 180°". É fácil observar que subtraindo 90 dos dois lados, chegamos à conclusão que "x + y = 90°". E o que isso nos permite concluir a respeito de outros ângulos dos dois triângulos? Neste triângulo à esquerda, é fácil você perceber que "x" mais a medida deste outro ângulo aqui tem que ser igual a 90°, porque o terceiro ângulo é de 90°. Ou seja, "x" mais 90 mais alguma outra medida tem que resultar em 180°. Então, "x" mais 90 mais o quê resulta em 180°? Ora, é o "y" que falta aqui. "x + 90 + y" tem que dar 180° pela conclusão que já tínhamos anteriormente. No triângulo à direita, a mesma ideia, "y" mais 90 mais alguma outra medida tem que resultar em 180°. E essa medida que falta, então, só pode ser "x", pelo mesmo argumento, já sabemos ali atrás que é o "x" mais 90 mais o "y" que resulta em 180. Então, observe aqui, que os três ângulos dos dois triângulos têm, respectivamente, as mesmas medidas. Conclusão, o triângulo ABC e o triângulo EDA são semelhantes. Então, pelo critério AAA, já que temos o "x" ali e o "x" aqui, o "y" aqui e o "y" lá e o 90° também nos dois triângulos, concluímos que o triângulo EDA é semelhante ao triângulo ABC. O mais importante de tudo isso neste momento é a garantia de que a razão entre lados correspondentes nos dois triângulos vai ser sempre constante, sempre a mesma. Vamos então escrever isso. Podemos, por exemplo, no triângulo da esquerda, escrever a razão entre o CB e o BA. Escrevendo aqui, CB/BA, há de ser igual. Agora, vamos tomar os lados correspondentes no outro triângulo. O lado correspondente ao CB, que é o lado oposto ao ângulo cuja medida está indicada por "x", no outro triângulo vai ser o lado AD. Ele está oposto ao ângulo indicado por "x". Aqui na proporção então, igual a AD dividido por, do mesmo modo, o lado BA do triângulo da esquerda é correspondente ao lado DE do triângulo da direita porque eles são ambos opostos, cada um no seu triângulo, ao ângulo de medida "y". Portanto aqui, temos AD/DE. Observe agora que CB/BA é a inclinação da reta "L", ou o coeficiente angular da reta "L". Esta outra razão, AD/DE, podemos perceber que tem alguma relação com coeficiente angular da reta "M". Observe bem que é o inverso do coeficiente angular da reta "M", além do que, tem o sinal oposto. Quando calculamos o coeficiente angular da reta "M", indicamos o sinal negativo na variação de "y". Portanto, o que temos aqui em AD/DE é o inverso do oposto do coeficiente angular da reta "M". E essa é a nossa conclusão, o coeficiente angular da reta "L" é igual ao inverso do oposto do coeficiente angular da reta "M". Isso acontece porque elas são perpendiculares. Até o próximo vídeo!