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Geometria intermediária
Curso: Geometria intermediária > Unidade 6
Lição 5: Equações de retas paralelas e perpendiculares- Retas paralelas a partir da equação
- Retas paralelas a partir da equação (exemplo 2)
- Retas paralelas a partir da equação (exemplo 3)
- Retas perpendiculares a partir da equação
- Retas paralelas e perpendiculares a partir da equação
- Como escrever equações de retas perpendiculares
- Como escrever equações de retas perpendiculares (exemplo 2)
- Escreva equações de retas paralelas e perpendiculares
- Prova: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular
- Demonstração: retas perpendiculares têm coeficientes angulares opostos e inversos.
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Prova: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular
Neste vídeo, demonstramos que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular usando a semelhança de triângulos.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - O que eu quero fazer,
neste vídeo, é provar que retas paralelas
têm a mesma inclinação, ou o mesmo coeficiente angular. Vou desenhar duas retas paralelas. Aqui estão as duas retas paralelas. Vou desenhar, agora,
duas retas transversais a elas. Farei aqui uma transversal na direção
que vamos chamar de horizontal e uma outra na direção
que vamos chamar de vertical. Nessas condições,
a reta verde e a reta azul são perpendiculares entre si. O ângulo formado entre elas,
portanto, é reto. Agora, vou utilizar
propriedades dos ângulos que envolvem paralelas e transversais para provar que estes dois
triângulos são semelhantes, e vou usar essa informação para provar que as duas
retas paralelas amarelas têm o mesmo coeficiente angular,
a mesma inclinação. Vou nomear alguns pontos
aqui, "A", "B", "C", "D", "E". Primeiro, já sabemos que o ângulo "CED" é congruente ao ângulo "AEB", ambos são ângulos retos e são opostos pelo vértice. Sabemos, também, algumas coisas
sobre ângulos correspondentes formados entre paralelas e transversais. Então, este ângulo aqui com vértice "B" é correspondente a este
ângulo aqui com vértice "C", eles são, portanto, congruentes,
têm a mesma medida. Aqui no vértice "B", este outro ângulo tem a mesma medida daquele
que eu já havia marcado porque eles são opostos pelo vértice. Isso nós já analisamos em outros vídeos. Isso nos permite concluir, agora, que o ângulo "ABE" é congruente
ao ângulo e "ECD". Aqui também poderíamos
ter usado a informação de que estes ângulos
são alternos internos, portanto, congruentes. Olhando, então, para os
triângulos "CED" e"ABE", é fácil perceber que eles têm dois pares
de ângulos congruentes entre eles. E se há dois pares de ângulos
congruentes entre os triângulos, o terceiro par de ângulos também será. Este ângulo, portanto, vai ser congruente a este
aqui com vértice em "A", bastando lembrar que, para saber a medida dele,
eu devo tirar os outros dois de 180 em ambos os triângulos,
e o resultado há de ser o mesmo. Assim, nestes dois triângulos, todos os ângulos entre os triângulos têm a mesma medida. Os ângulos correspondentes nos dois
triângulos têm a mesma medida. Este ângulo azul tem a mesma
medida deste ângulo azul, este ângulo rosa tem a mesma
medida deste ângulo rosa, e aqui, os ângulos retos
em ambos os triângulos. Então, podemos concluir
que o triângulo "AEB" é semelhante ao triângulo "DEC". Isso, garantido pelo caso
ângulo, ângulo, ângulo, "AAA". Ou seja, a situação em que todos os
ângulos correspondentes são congruentes, isso garante a semelhança dos triângulos. Nós sabemos que a razão entre lados
correspondentes em triângulos semelhantes é constante, então, a razão entre os lados
"BE" aqui em azul e o lado "AE", aqui em verde, será igual a, observe, eu fiz aqui a medida deste lado
dividido pela medida deste lado, e agora, vamos localizar os lados
correspondentes no outro triângulo. O correspondente ao lado "BE"
no outro triângulo é o lado "CE". Então, na igualdade vamos ter
"CE" dividido por "DE", que é correspondente ao lado "AE". Isto é uma consequência da
semelhança dos triângulos envolvidos. Então de novo, uma vez que
estabelecemos a semelhança dos triângulos, a razão entre lados
correspondentes é igual. Mas agora, o que é essa a razão
entre os lados "BE" e "AE"? A razão aqui entre o "BE" e o "AE" é exatamente o coeficiente angular
desta reta amarela superior, então, é a inclinação da reta "AB". Lembre-se de que, entre os pontos "A" e "B",
determinamos a inclinação da reta fazendo a variação em "y"
dividida pela variação em "x" entre estes dois pontos. Então, aqui, o lado "BE"
é a variação em "y", enquanto o lado "AE"
é a variação em "x". Vamos para a segunda parte da igualdade, "CE" sobre "DE". Aqui no desenho, CE/DE. E o que temos é justamente
a variação em "y" dividida pela variação em "x" entre os pontos "C" e "D"
da nossa segunda reta amarela aqui. Então, o que temos aqui
nesta parte da igualdade, é a inclinação da reta "CD". Portanto, as inclinações das duas
retas paralelas são as mesmas. Obtivemos isso pelo fato de que
os triângulos analisados são semelhantes, o que garante que a razão entre
lados correspondentes deles seja sempre constante. Até o próximo vídeo!