Prova: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular

RKA8JV - O que eu quero fazer, neste vídeo, é provar que retas paralelas têm a mesma inclinação, ou o mesmo coeficiente angular. Vou desenhar duas retas paralelas. Aqui estão as duas retas paralelas. Vou desenhar, agora, duas retas transversais a elas. Farei aqui uma transversal na direção que vamos chamar de horizontal e uma outra na direção que vamos chamar de vertical. Nessas condições, a reta verde e a reta azul são perpendiculares entre si. O ângulo formado entre elas, portanto, é reto. Agora, vou utilizar propriedades dos ângulos que envolvem paralelas e transversais para provar que estes dois triângulos são semelhantes, e vou usar essa informação para provar que as duas retas paralelas amarelas têm o mesmo coeficiente angular, a mesma inclinação. Vou nomear alguns pontos aqui, "A", "B", "C", "D", "E". Primeiro, já sabemos que o ângulo "CED" é congruente ao ângulo "AEB", ambos são ângulos retos e são opostos pelo vértice. Sabemos, também, algumas coisas sobre ângulos correspondentes formados entre paralelas e transversais. Então, este ângulo aqui com vértice "B" é correspondente a este ângulo aqui com vértice "C", eles são, portanto, congruentes, têm a mesma medida. Aqui no vértice "B", este outro ângulo tem a mesma medida daquele que eu já havia marcado porque eles são opostos pelo vértice. Isso nós já analisamos em outros vídeos. Isso nos permite concluir, agora, que o ângulo "ABE" é congruente ao ângulo e "ECD". Aqui também poderíamos ter usado a informação de que estes ângulos são alternos internos, portanto, congruentes. Olhando, então, para os triângulos "CED" e"ABE", é fácil perceber que eles têm dois pares de ângulos congruentes entre eles. E se há dois pares de ângulos congruentes entre os triângulos, o terceiro par de ângulos também será. Este ângulo, portanto, vai ser congruente a este aqui com vértice em "A", bastando lembrar que, para saber a medida dele, eu devo tirar os outros dois de 180 em ambos os triângulos, e o resultado há de ser o mesmo. Assim, nestes dois triângulos, todos os ângulos entre os triângulos têm a mesma medida. Os ângulos correspondentes nos dois triângulos têm a mesma medida. Este ângulo azul tem a mesma medida deste ângulo azul, este ângulo rosa tem a mesma medida deste ângulo rosa, e aqui, os ângulos retos em ambos os triângulos. Então, podemos concluir que o triângulo "AEB" é semelhante ao triângulo "DEC". Isso, garantido pelo caso ângulo, ângulo, ângulo, "AAA". Ou seja, a situação em que todos os ângulos correspondentes são congruentes, isso garante a semelhança dos triângulos. Nós sabemos que a razão entre lados correspondentes em triângulos semelhantes é constante, então, a razão entre os lados "BE" aqui em azul e o lado "AE", aqui em verde, será igual a, observe, eu fiz aqui a medida deste lado dividido pela medida deste lado, e agora, vamos localizar os lados correspondentes no outro triângulo. O correspondente ao lado "BE" no outro triângulo é o lado "CE". Então, na igualdade vamos ter "CE" dividido por "DE", que é correspondente ao lado "AE". Isto é uma consequência da semelhança dos triângulos envolvidos. Então de novo, uma vez que estabelecemos a semelhança dos triângulos, a razão entre lados correspondentes é igual. Mas agora, o que é essa a razão entre os lados "BE" e "AE"? A razão aqui entre o "BE" e o "AE" é exatamente o coeficiente angular desta reta amarela superior, então, é a inclinação da reta "AB". Lembre-se de que, entre os pontos "A" e "B", determinamos a inclinação da reta fazendo a variação em "y" dividida pela variação em "x" entre estes dois pontos. Então, aqui, o lado "BE" é a variação em "y", enquanto o lado "AE" é a variação em "x". Vamos para a segunda parte da igualdade, "CE" sobre "DE". Aqui no desenho, CE/DE. E o que temos é justamente a variação em "y" dividida pela variação em "x" entre os pontos "C" e "D" da nossa segunda reta amarela aqui. Então, o que temos aqui nesta parte da igualdade, é a inclinação da reta "CD". Portanto, as inclinações das duas retas paralelas são as mesmas. Obtivemos isso pelo fato de que os triângulos analisados são semelhantes, o que garante que a razão entre lados correspondentes deles seja sempre constante. Até o próximo vídeo!