Retas paralelas e perpendiculares a partir do gráfico

RKA8JV - Neste vídeo, vamos fazer alguns exemplos envolvendo retas paralelas e perpendiculares. Retas paralelas, retas perpendiculares, e lembre-se, também, de que temos casos em que retas não são nem paralelas, nem perpendiculares. Agora, uma pequena revisão. Lembre-se de que as retas paralelas nunca se interceptam, nunca se cruzam. Vou colocar um exemplo aqui. Aqui estão os eixos coordenados, eixo "x" e eixo "y". Se eu tiver uma reta aqui em cor-de-rosa, uma outra reta paralela a ela, que seria esta amarela, estaria em uma situação como esta. Evidentemente, estas duas não são a mesma reta, mas elas têm a mesma inclinação. Se tomarmos nesta reta uma variação em "y" e uma variação em "x" e fizermos a divisão, vamos ter um resultado, que é o mesmo resultado que se fizermos na reta amarela, a mesma variação em "x" e em "y", e dividirmos. Esse é o motivo pelo qual elas nunca se cruzam, têm a mesma inclinação. Importante frisar: retas paralelas têm a mesma inclinação. No caso das retas perpendiculares, elas não só se cruzam em um ponto, mas elas se cruzam formando um ângulo reto, um ângulo de 90°. Uma informação importante sobre o coeficiente angular das retas perpendiculares, que eu não vou demonstrar aqui, mas vou demonstrar na playlist de Álgebra Linear, é que, por exemplo, se na reta amarela, o coeficiente angular, ou seja, a inclinação dela é indicada por "m", na reta laranja, que é perpendicular a ela, o coeficiente angular vai ser -1/m. Ou seja, entre retas perpendiculares, os coeficientes angulares são um o inverso do oposto do outro. Com essas informações, podemos, se tivermos algumas retas, identificar se elas são paralelas, perpendiculares, ou nenhuma dessas situações. A chave para isso é olhar para as inclinações das retas, para os coeficientes angulares. Vamos observar neste exemplo. Uma reta passa pelos pontos (4, -3) e (-8, 0). Outra reta, passa pelos pontos (-1, -1) e (-2, 6). Vamos olhar para os coeficientes angulares destas duas retas. Vou começar pela primeira. Vamos dizer que esta primeira reta é a reta 1, e eu vou indicar por m₁ o coeficiente angular dela. Para calcular o coeficiente angular dela devo fazer a variação em "y" dividida pela variação em "x" entre dois pontos conhecidos. Neste caso aqui, vamos entender que o primeiro ponto é o final e o segundo ponto inicial, então em "y" a variação é "-3 - 0", e isso sobre a variação em "x", que seria 4 -(-8), ou seja, 4 + 8. Vamos ficar, então, com -3 sobre, 4 + 8, dá 12, e isso resulta em -1/4. Este é, então, o coeficiente angular para a primeira reta. Vamos analisar, agora, a segunda. Seguindo a mesma ideia, o m₂, que é o coeficiente angular da segunda reta, vai ser igual ao -1 do "y" menos o 6, que é o "y" do outro ponto, estamos falando da variação em "y", dividido por -1 do "x" agora menos -2. Vamos ter, então, -7 no numerador e no denominador -1 -(-2), que é -1 + 2, vai resultar em 1 positivo. Este coeficiente angular, então, é simplesmente -7. Comparando os dois coeficientes angulares, primeiro notamos que um é diferente do outro, então, elas não são retas paralelas. E observando também, facilmente percebemos que um não é o oposto do inverso do outro, portanto, também não são perpendiculares. Então, estas duas retas entre si não são nem paralelas, nem perpendiculares. Podemos ter certeza de que estas duas retas se cruzam, mas o ângulo formado entre elas não é um ângulo de 90°. Vamos a um outro exemplo. Uma reta passa pelos pontos (-3, 14) e (1, -2). Outra reta passa pelos pontos (0, -3) e (-2, 5). Vou considerar a primeira reta aqui, que passa pelos pontos (-3, 14) e (1, -2), e para calcular o seu coeficiente angular m₁, vou fazer a variação em "y", que seria -2 -14, sobre, agora a variação em "x", na mesma ordem que eu peguei antes, eu peguei do segundo ponto menos o primeiro, então, vou fazer a mesma coisa no "x". Teremos 1 - (-3). Teremos, então, -2 - 14 = -16 no numerador, e no denominador 1 + 3, temos 4. -16/4 resulta em -4. O coeficiente angular da reta 1 é -4. Para a segunda reta, o coeficiente angular m₂ vai ser igual à variação em "y", 5 menos -3, sobre a variação em "x", -2 menos zero. Vamos ter então no numerador, 5 - (-3) resulta em 8, dividido por -2. Então, o coeficiente angular desta segunda reta é -4. E como os coeficientes angulares das duas retas são iguais, podemos garantir que estas retas são paralelas, elas têm exatamente a mesma inclinação. Eu sugiro que você construa o gráfico representando estas duas retas para você verificar que de fato elas são paralelas. Temos aqui mais um exemplo. Uma reta passa pelos pontos (3, 3) e (-6, -3), outra reta passa pelos pontos (2, -8) e (-6, 4). Vamos, novamente, calcular os coeficientes angulares para tirar alguma conclusão. Para a primeira reta, m₁ vai ser igual à variação em "y", 3 - (-3) sobre a variação em "x", 3 - (-6). No numerador, 3 + 3 = 6, no denominador, 3 + 6 = 9. Então, simplificando, o coeficiente angular da primeira reta é 2/3. Vamos para o coeficiente angular da segunda reta. Variação em "y", - 8 - 4 sobre a variação em "x", 2 - (-6). No numerador, -8 - 4 = -12 e no denominador, 2 - (-6), 2 + 6 resulta em 8. Simplificando, ao dividir por 4, -3/2 é o coeficiente angular da segunda reta. Agora, compare os dois coeficientes angulares. Está bem claro que um é o oposto do inverso do outro. Para verificar, se eu tomar -1 dividido por 2/3, que é o coeficiente angular da primeira reta, isso vai ser igual a -1 vezes o inverso da fração 2/3, que é 3/2, que resulta em -3/2, que é justamente o coeficiente angular da segunda reta. E como isso está garantido, podemos tranquilamente afirmar que estas duas retas são perpendiculares. Eu sugiro que você, mais uma vez, represente graficamente estas retas e verifique que, de fato, elas são perpendiculares. Até o próximo vídeo!