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Curso: Geometria intermediária > Unidade 8

Lição 3: Comprimento de arco (a partir de graus)

Desafios: comprimento de arco 1

Resolva quatro problemas desafiadores que pedem que você calcule o comprimento do arco sem lhe informar diretamente a medida do arco.

Problema 1

Na figura abaixo,

\overset{―}{D B}

\overset{―}{A C}

são diâmetros do círculo

P

. O comprimento de

\overset{―}{P B}

é de

8

unidades.

Qual é o comprimento de $\overset{⌢}{D C}$ ‍?

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

D

e termina no ponto

C

Vamos calcular a circunferência total primeiro, e então resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco com base nos graus da medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

8

unidades, pois

\overset{―}{P B}

é o raio.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (8) \\ = 16 π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco é igual à medida do ângulo central que cruza o arco.

Como

\overset{―}{C A}

é um diâmetro,

∠ C P D

∠ D P A

são complementares.

$m ∠ C P D + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ ‍

A medida do arco de

\overset{⌢}{D C}

120^{\circ}

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{graus em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{16 π} & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\ comprimento do arco & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 16 π \\ = \frac{16}{3} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de

\overset{⌢}{D C}

\frac{16}{3} π

Problema 2

Na figura abaixo, o raio do círculo

P

6

unidades.

Qual é o comprimento de $\overset{⌢}{A B C}$ ‍?
Dê uma resposta exata em função de $π$ ‍ ou use $3, 14$ ‍ para $π$ ‍ e escreva sua resposta na forma decimal.

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

A

, passa pelo ponto

B

e termina no ponto

C

Vamos calcular a circunferência total primeiro, e então resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco com base nos graus da medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

6

unidades, pois

\overset{―}{C P}

é um raio.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (6) \\ = 12 π \end{aligned}$ ‍

A medida de um arco é igual à medida do ângulo central que o cruza.

As medidas de

\overset{⌢}{A B}

\overset{⌢}{B C}

somadas resultam na medida de

\overset{⌢}{A B C}

$111^{\circ} + 129^{\circ} = 240^{\circ}$ ‍

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{graus em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{12 π} & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \\ comprimento do arco & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 12 π \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de

\overset{⌢}{A B C}

8 π

Problema 3

Na figura abaixo,

\overset{―}{B C}

é o diâmetro do círculo

P

. O comprimento de

\overset{―}{B P}

3

unidades.

Qual é o comprimento de $\overset{⌢}{A C D}$ ‍?
Digite uma resposta exata em função de $π$ ‍ ou digite sua resposta arredondando para o inteiro mais próximo.

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

A

, passa pelo ponto

C

e termina no ponto

D

Vamos calcular a circunferência total primeiro, e então resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco com base nos graus da medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

3

unidades, pois

\overset{―}{B P}

é um raio.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (3) \\ = 6 π \end{aligned}$ ‍

Pela imagem, vemos que precisamos de todo o círculo, exceto o arco de

35^{\circ}

$360^{\circ} - 35^{\circ} = 325^{\circ}$ ‍

A medida de

\overset{⌢}{A C D}

325^{\circ}

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{graus em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{6 π} & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \\ comprimento do arco & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 6 π \\ = \frac{65}{12} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de

\overset{⌢}{A C D}

\frac{65}{12} π

Problema 4

Na figura abaixo,

∠ A P B ≅ ∠ B P C

. O comprimento de

\overset{―}{P B}

4

unidades.

Qual é o comprimento de $\overset{⌢}{B C}$ ‍ no círculo $P$ ‍?
Dê uma resposta exata em função de $π$ ‍ ou use $3, 14$ ‍ para $π$ ‍ e insira sua resposta na forma decimal, arredondada para a segunda casa decimal.

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

B

e termina no ponto

C

Vamos calcular a circunferência total primeiro, e então resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco com base nos graus da medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

4

unidades, pois

\overset{―}{P B}

é um raio.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (4) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco é igual à medida do ângulo central que cruza o arco.

A soma dos ângulos centrais de qualquer círculo é

360^{\circ}

. Sabemos que

∠ A P B

∠ B P C

são congruentes.

$\begin{array}{r} m ∠ A P B + m ∠ B P C + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ 2 (m ∠ B P C) + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ m ∠ B P C = 104^{\circ} \end{array}$ ‍

A medida de

∠ B P C

104^{\circ}

. De maneira semelhante, a medida do arco de

\overset{⌢}{B C}

104^{\circ}

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{graus em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{8 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ comprimento do arco & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 8 π \\ = \frac{104}{45} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de

\overset{⌢}{B C}

\frac{104}{45} π

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