If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:4:58

Comprimento do arco a partir do ângulo subtendido

Transcrição de vídeo

RKA - Tenho um círculo com uma circunferência de "18π". Se a gente desse toda a volta ao redor do círculo teria "18π", também temos um ângulo central. Este é o centro do círculo. Este ângulo central que eu vou desenhar tem uma medida de 10 graus. Então, este ângulo tem 10 graus. O que eu quero saber é o comprimento do arco compreendido neste ângulo central. Qual é o comprimento do que destaquei em rosa? A maneira de pensar a respeito é que a proporção do comprimento deste arco em relação a toda a circunferência deve ser igual a proporção do ângulo central em relação ao número total de ângulos. Se a gente desse a volta no círculo a 360 graus. Vamos pensar. Sabemos que a circunferência é "18π" e queremos descobrir o comprimento do arco. Vou chamar de "a" para o comprimento do arco. E isso é o que vamos tentar descobrir. Sabemos que o ângulo central tem 10 graus. Tem então 10 graus sobre 360 graus. Daria para simplificar multiplicando os dois lados por "18π". E tem que o comprimento do nosso arco é igual a... Bom, 10/360 é a mesma coisa que 1/36. Ele é igual a 1/36 vezes "18π". É 18π/36 que é a mesma coisa que π/2. Então este arco terá o comprimento de π/2, independentemente da unidade que estamos usando. Vamos pensar agora em outro cenário. Vamos imaginar o mesmo círculo. É o mesmo círculo. Nossa circunferência ainda é "18π". Eu estou bem fanhozo, circunferência nem sai direito, mas enfim. É "18π". Agora eu vou fazer o ângulo central como um ângulo obtuso. Digamos que eu vou começar aqui. Este é um lado do ângulo. Vou continuar e fazer um ângulo de 350 graus. Vou dar toda essa volta e aqui é um ângulo de 350 graus. Eu estou curioso sobre a medida desse arco que subtende este ângulo enorme. Eu quero descobrir o comprimento deste arco. Descobrir o comprimento deste arco, o arco que subtende este ângulo obtuso. Exatamente a mesma lógica. A proporção entre o comprimento do nosso arco e a circunferência de todo o círculo, "18π", deve ser igual a proporção entre o nosso ângulo central subtendido pelo arco. Então, 350 sobre o número total de graus em um círculo, sobre 360. Multiplicamos os dois lados por "18π", temos que "a" é igual a... é 35 vezes 18 sobre "36π". 350/360 é 35/36. Então, é 35 vezes 18 vezes "π", sobre 36. 36 e 18 são divisíveis por 18, então vamos dividir os dois por 18. Ficamos com "35/2π". Vou escrever assim. "35π/2" ou, se quiserem escrever como um decimal, seria "17,5π". E faz sentido. Esse outro comprimento do arco quando o nosso ângulo central tinha 10 graus, tinha o comprimento de arco de "0,5π". Assim, quando somamos esses dois, esse comprimento de arco com esse comprimento de arco, 0,5 + 17,5 obtemos "18π", que era a circunferência original. O que faz total sentido porque se somarem esses ângulos, 10 graus e 350 graus vai ter 360 graus em um círculo.