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Curso: Geometria intermediária > Unidade 8

Lição 5: Comprimento de arco (a partir de radianos)

Desafios: comprimento de arco (radianos) 1

Resolva três problemas desafiadores que pedem que você calcule o comprimento do arco sem lhe informar diretamente a medida do arco.

Problema 1

Na figura abaixo,

\overset{―}{A C}

é um diâmetro do círculo

P

. O comprimento de

\overset{―}{P C}

25

unidades.

Qual é o comprimento exato de $\overset{⌢}{B C A}$ ‍?

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

B

, passa pelo ponto

C

e termina no ponto

A

Vamos calcular a circunferência completa primeiro, depois resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco, com base nos radianos na medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

25

unidades, pois

\overset{―}{P C}

é um raio.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (25) \\ = 50 π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco é igual à medida do ângulo central que cruza o arco.

Há

2 π

radianos em um círculo, então, a medida de qualquer arco maior é igual à

2 π

menos a medida do arco menor correspondente.

$m \overset{⌢}{B C A} = 2 π - \frac{3}{10} π$ ‍

A medida do arco de

\overset{⌢}{B C A}

\frac{17}{10} π

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{radianos em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{50 π} & = \frac{(\frac{17}{10} π)}{2 π} \\ comprimento do arco & = \frac{17}{10} π \cdot \frac{50 π}{2 π} \\ = \frac{85}{2} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de $\overset{⌢}{B C A}$ ‍ é $\frac{85}{2} π$ ‍.

Problema 2

Na figura abaixo, o comprimento de

\overset{―}{P A}

3

unidades.

Qual é o comprimento exato de $\overset{⌢}{D A C}$ ‍ no círculo $P$ ‍?

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

C

, passa pelo ponto

A

e termina no ponto

D

Vamos calcular a circunferência completa primeiro, depois resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco, com base nos radianos na medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

3

unidades, pois

\overset{―}{P A}

é um raio.

\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (3) \\ = 6 π \end{aligned}

A medida do arco é igual à medida do ângulo central que cruza o arco.

Há

2 π

radianos em um círculo, então, a medida de qualquer arco maior é igual à

2 π

menos a medida do arco menor correspondente.

m \overset{⌢}{D A C} = 2 π - \frac{π}{3}

A medida do arco de

\overset{⌢}{D A C}

\frac{5}{3} π

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{radianos em uma circunferência} \\ \frac{comprimento do arco}{6 π} & = \frac{(\frac{5}{3} π)}{2 π} \\ comprimento do arco & = \frac{5}{3} π \cdot \frac{6 π}{2 π} \\ = 5 π \end{aligned}

O comprimento de $\overset{⌢}{D A C}$ ‍ é $5 π$ ‍.

Problema 3

Na figura abaixo,

\overset{―}{A D}

\overset{―}{B E}

são diâmetros do círculo

P

. O comprimento de

\overset{―}{P B}

10

unidades.

Qual é o comprimento exato de $\overset{⌢}{C D}$ ‍?

Estamos tentando descobrir o comprimento da parte da circunferência do círculo

P

que começa no ponto

C

e termina no ponto

D

Vamos calcular a circunferência completa primeiro, depois resolver proporcionalmente para encontrar o comprimento do arco, com base nos radianos na medida do arco.

Sabemos que o círculo

P

tem um raio de

10

unidades, pois

\overset{―}{P B}

é um raio.

$\begin{aligned} Circunferência & = 2 π r \\ = 2 π (10) \\ = 20 π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco é igual à medida do ângulo central que cruza o arco.

As medidas de

∠ A P E

∠ B P D

são congruentes, pois são ângulos verticais.

$\begin{aligned} m ∠ A P E & = m ∠ B P D \\ \frac{19}{36} π & = \frac{π}{3} + m ∠ C P D \\ \frac{7}{36} π & = m ∠ C P D \end{aligned}$ ‍

A medida do arco de

\overset{⌢}{C D}

\frac{7}{36} π

Por fim, podemos definir uma proporção para encontrar a parte da circunferência cruzada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{comprimento do arco}{circunferência} & = \frac{medida do arco}{radianos em um círculo} \\ \frac{comprimento do arco}{20 π} & = \frac{(\frac{7}{36} π)}{2 π} \\ comprimento do arco & = \frac{7}{36} π \cdot \frac{20 π}{2 π} \\ = \frac{35}{18} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de $\overset{⌢}{C D}$ ‍ é $\frac{35}{18} π$ ‍.

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