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Curso: Geometria intermediária > Unidade 8

Lição 1: Noções básicas de circunferência

Preparação para os círculos

Tudo o que aprendemos sobre relações e proporções de ângulos em outras figuras também se aplica em figuras com círculos e partes de círculos.

Vamos repassar alguns conceitos que serão úteis quando você der início à unidade de círculos do curso de geometria do Ensino Médio. Você vai ver um resumo de cada conceito, um item de exemplo, links para mais exercícios e algumas informações sobre por que você vai precisar desse conceito na unidade.

Este artigo inclui somente conceitos de cursos anteriores. Há também conceitos nesse curso de geometria do Ensino Médio que são importantes para entender sobre círculos. Se você ainda não dominou a lição sobre Definições de semelhança, pode ser útil fazer uma revisão dela antes de nos aprofundarmos na unidade.

Circunferência e área de partes de círculos

O que é isso e por que precisamos disso?

Qual é a área de um semicírculo (um meio círculo)? Ela é metade da área do círculo inteiro. Qual é o comprimento do arco de

\frac{1}{3}

de um círculo? Ele é

\frac{1}{3}

da circunferência do círculo inteiro. Na geometria do Ensino Médio, vamos fazer generalizações a partir dessas frações comuns para podermos calcular o comprimento do arco e a área de partes de círculos dados o raio e qualquer medida de ângulo central.

Prática

Problema 1.1

Calcule o comprimento do arco do círculo parcial.
Insira uma resposta exata em função de $π$ ‍ ou use $3, 14$ ‍ para $π$ ‍ e insira sua resposta como um número decimal.

unidades

Para mais exercícios, acesse Circunferência de setores circulares e Área de setores circulares.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de circunferência e área de partes de círculo pode ser útil:

Resolução de proporções

O que é isso e por que precisamos disso?

Uma relação entre duas quantidades é proporcional se a razão entre essas quantidades for sempre equivalente. A razão entre a área de um setor e a área do círculo inteiro é igual à razão entre a medida do ângulo central do setor e a medida do ângulo central do círculo inteiro. O mesmo é verdadeiro para a razão entre o comprimento de arco de um setor e a circunferência do círculo inteiro.

Prática

Problema 2.1

Encontre o valor de $n$ ‍.

\frac{11}{n} = \frac{8}{5}

n =

Para mais exercícios, acesse Resolução de proporções.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de proporções pode ser útil:

Simplificação de frações complexas

O que é isso e por que precisamos disso?

Uma fração complexa é uma fração na qual o numerador, o denominador ou os dois também são frações. Qualquer relação proporcional poderia envolver valores fracionários, mas as frações são particularmente comuns quando usamos radianos como uma medida de ângulo.

Prática

Problema 3.1

Qual expressão é equivalente à fração complexa a seguir?

\frac{(\frac{7}{4})}{(\frac{9}{8})}

Para mais exercícios, acesse Simplifique frações complexas.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de frações complexas pode ser útil:

Uso de relações entre ângulos

O que é isso e por que precisamos disso?

Todas as propriedades dos ângulos quando eles compartilham um vértice ou são parte do mesmo triângulo se aplicam quando esses ângulos estão em uma figura com um círculo. Os ângulos são combinados para formar um ângulo raso? Então a soma das medidas deles é

180 °

. Eles são combinados para formar uma volta completa? Então a soma das medidas deles é

360 °

. Podemos encontrar a medida total do ângulo das formas inscritas e circunscritas fazendo a decomposição delas em triângulos.

Prática

Problema 4.1

Qual é o valor de $x$ ‍ na figura a seguir?

Observação: os ângulos não estão necessariamente desenhados em escala.

x =

°

Para mais exercícios, acesse Como calcular a medida de ângulo entre retas que se cruzam e Ângulos de um polígono.

Onde vamos usar isso?

Temos aqui alguns dos exercícios para os quais a revisão de relações entre ângulos pode ser útil:

Resolução de equações com a incógnita nos dois lados

O que é isso e por que precisamos disso?

Partes congruentes de figuras têm medidas iguais. Quando essas medidas envolvem a incógnita, muitas vezes ainda podemos calcular o valor da incógnita reescrevendo a equação.

Prática

Problema 5

Encontre o valor de $b$ ‍.

7 b - 15 = 5 b + 17

b =

Para mais exercícios, acesse Equações com variáveis em ambos os lados.

Onde vamos usar isso?

Veja um exercício para o qual a revisão sobre resolução de equações com a incógnita nos dois lados pode ser útil:

Medida do arco com equações

Cálculo de medidas de ângulos em triângulos isósceles

O que é isso e por que precisamos disso?

Os ângulos opostos aos lados congruentes de um triângulo isósceles são congruentes. Como todos os raios de um círculo são congruentes, os triângulos que têm esses raios como lados devem ser isósceles. Vamos usar esse fato para provar uma relação importante entre ângulos centrais e ângulos inscritos no mesmo arco.