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Construções geométricas: tangente da circunferência

Transcrição de vídeo

RKA - Você ficaria maravilhado com as coisas que pode fazer usando um compasso e uma régua. E esta régua é aquela régua sem graduação. Você só vai desenhar com ela linhas retas, nada mais. Um compasso é aquela ferramenta que vai ajudar a desenhar círculos com um raio determinado. Você centra esse compasso em um ponto, que vai ser um raio, e faz a abertura que você quiser. Um compasso típico é aquele que tem uma ponta de metal e na outra ponta, um grafite. E ele faz o formato de ângulos que você usará para poder desenhar o seu círculo. Aqui, eu não tenho um compasso físico e nem uma régua, mas eu tenho um compasso virtual. Eu posso colocar o centro onde eu quiser e fazer o círculo do tamanho que eu quiser, mudando o raio dele. E eu posso também fazer retas. Olha aí. Eu posso mudar a direção delas, posso fazer linhas retas aqui, tranquilamente. Então, com essas únicas duas ferramentas, eu quero construir uma reta que passe pelo ponto "P" que é tangente a este círculo, a esta circunferência aqui. E a tentação pede logo para a gente pegar a régua, fazer assim e construir essa reta tangente da seguinte maneira: a reta tangente é aquela reta que passa em um único ponto aqui, não é? Então, ela vai apenas tocar esse ponto "P" e vai embora. Mas uma outra maneira de pensar sobre a reta tangente é que ela pode ser uma reta perpendicular a esse ponto aqui e a esse ponto aqui, o centro do círculo. Então, se eu fizer algo perpendicular aqui, uma reta perpendicular, que é exatamente 90 graus, então, essa reta será uma reta tangente. Esse esboço que eu fiz me parece razoável, mas eu não tenho certeza que ele toca a circunferência apenas em um único ponto, nesse ponto "P", nem que é perfeitamente perpendicular a esse segmento imaginário que, digamos, liga o centro da circunferência a este ponto "P". O que eu vou fazer, então, é usar o meu compasso virtual e a minha régua virtual para fazer um desenho mais preciso disso. Então, vamos fazer isso. Uma das maneiras de eu pensar sobre isso é que eu posso fazer esse ponto "P" como o ponto médio de uma reta que passe pelo centro da circunferência. Então, vamos fazer. Eu vou colocar um compasso centralizado no centro e vou fazer, aqui, um raio igualzinho ao da circunferência que eu tinha antes. Agora, deixe eu movimentá-lo até ficar centralizado nesse ponto "P". Por que eu fiz isso? Bem, pense comigo: se eu traçar o diâmetro desse novo círculo que passe por esse ponto aqui e que passe pelo ponto "P", então, eu vou ter que o "P" vai ser exatamente o ponto médio desse segmento, que é o diâmetro, certo? Ele vai estar bem no centro. Então, vamos fazer isso. Vou colocar a régua aqui. A régua vai estar sobre esse centro da circunferência original e vai passar pelo ponto "P". Olha aí. Então, assim. Agora é o seguinte: isso foi útil de eu ter feito porque, agora, posso fazer muito bem um segmento ou uma reta que seja perpendicular a esse diâmetro, passando pelo ponto "P", não é? Como eu sei que esse segmento aqui, desse ponto até o "P", é o raio desse círculo original, então, esse segmento perpendicular vai ser exatamente a tangente desse círculo original e nós vamos ter concluído o problema. Vamos lá. Como eu faço esse segmento? Ora, primeiro eu adiciono o compasso, aqui, vou centralizá-lo nesse círculo original e, aí, eu vou fazer o raio desse círculo um pouquinho maior, digamos por aqui. Um pouquinho maior que o raio original desse círculo que está em preto. E agora nós vamos fazer outro. Então, vamos lá. Vou construir um outro círculo centralizado aqui, no mesmo lugar, só para eu poder fazer com o mesmo raio. Aí está, no mesmo raio. Agora, eu não quero que o centro dele fique aqui. Eu quero que o centro dele fique aqui, neste outro ponto, certo? Então, eu tenho esses dois círculos e você já pode rapidamente perceber onde isso vai parar. Eu posso agora desenhar uma reta aqui, que vai ser exatamente perpendicular a esse diâmetro que nós desenhamos e, automaticamente, perpendicular também a esse raio, que é o que nós queremos, não é? Mas, antes disso, por que é interessante a gente ter essa intersecção desses dois círculos grandes que nós fizemos? Porque esse ponto aqui e esse aqui também serão equidistantes a esse ponto e a esse ponto, sim ou não? É só você se lembrar que esses dois círculos grandes que nós desenhamos têm exatamente o mesmo raio. Logo, esse ponto de encontro dos dois círculos, na verdade ,esses dois pontos de encontro, vão ser equidistantes aos dois pontos ali. Está claro? E eu sei o seguinte: um ponto que está equidistante de outros dois pontos vai pertencer exatamente à mediatriz de um segmento. Portanto, como esse ponto é equidistante desses dois aqui e esse ponto é equidistante desses dois aqui, então, posso muito bem traçar uma reta passando por esses dois pontos, que essa reta vai ser a minha reta mediatriz. E essa reta mediatriz faz o quê? Ela corta esse segmento perpendicularmente, fazendo um ângulo perfeito de 90 graus. Vamos desenhar a nossa mediatriz passando por esse ponto e indo até esse ponto aqui. Você percebe que ela passa exatamente no ponto "P", como nós queremos. Agora, como eu tenho a garantia que esse "P" pertence a essa mediatriz? Ora, porque esse ponto é equidistante a esse e a esse, esse ponto é equidistante a esse e a esse e "P" é o centro desse círculo. Então, "P" pertence também a esta reta. E relembrando que esta reta vai ser perfeitamente perpendicular a esse raio, que era o que nós queríamos fazer desde o início do problema, certo? E, agora, eu tenho a garantia que essa reta, essa mediatriz que eu acabei de desenhar, é a minha reta tangente, ela vai cortar essa circunferência em preto exatamente em um único ponto, que vai ser esse ponto "P", na maneira como nós construímos isso tudo. Aí, você vai pensar assim: "Caramba, é muito trabalho para mim. Eu poderia muito bem ter feito uma reta no 'olhômetro', poderia ficar razoável". Beleza, só que agora eu tenho a garantia da precisão, da exatidão dessa reta tangente. Imagine, por exemplo, que você é um engenheiro e queira fazer uma reta tangente. Dessa forma, você não vai poder fazer no 'olhômetro', pois não vai ficar legal, não vai ficar preciso. E obra de engenharia precisa ser exata, precisa ter uma exatidão bem precisa, não é? Então, você vai ter que usar esses instrumentos. É bom que você saiba usar esses instrumentos. No passado e sem o advento do computador, era dessa forma que as pessoas faziam esse tipo de desenho. Até o próximo vídeo!